2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高一下学期期中数学试题含解析
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这是一份2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高一下学期期中数学试题含解析,共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高一下学期期中数学试题一、单选题1.“,”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由正切函数性质,应用定义法判断条件间充分、必要关系.【详解】当,,则,当时,,.∴“,”是“”的充分不必要条件.故选:A2.若角是第四象限角,且,则角是第( )象限角.A.一 B.二 C.三 D.四【答案】B【分析】首先根据所在象限,求得的取值范围,由此求得的取值范围,结合,求得所在象限.【详解】由于是第四象限角,所以,所以,所以是第二或者第四象限角;由于,所以是第二象限角.故选:B【点睛】本小题主要考查根据所在象限,判断所在象限,考查三角函数在各个象限的符号,属于基础题.3.设函数,,值域为,则以下结论错误的是( )A.的最小值为 B.a不可能等于,C.的最大值为 D.b不可能等于,【答案】D【分析】作出正弦函数y = sinx的图象,并加以观察并根据函数的单调性对A、B、 C、D各项的结论进行推理论证,结合取特殊的a、b值检验,可得选项.【详解】解:作出正弦函数y = sinx的图象,加以观察得:对于A,当时,函数在上单调递增,此时函数的最小值为,函数的最大值,此时函数的值域为,达到最小值,故A正确;对于B,如果,由于没有达到最小值-1,则才能出现函数的最小值-1.而此时函数的最大值为1,而不是,与题设矛盾,因此,故B正确; 对于C,当时,函数在上先单调递增,再单调递减,此时函数的最小值为,函数的最大值,此时函数的值域为,达到最大值,故C正确;对于D,当时,此时函数的值域为,所以b可能等于,,故D不正确;故选:D.【点睛】本题给出正弦函数的几个结论要求找出其中的假命题,考查了正弦函数的图象与性质等知识,属于中档题.4.设函数,其中m,n,,为已知实常数,,则下列4个命题:(1)若,则对任意实数x恒成立;(2)若,则函数为奇函数;(3)若,则函数为偶函数;(4)当时,若,则,其中错误的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系,再反代入原函数,从而可判断(1)(2)(3)的正确与否,利用反例可判断(4)的正误.【详解】对于(1),即为,即,两边平方后可得,故或.若,则,故,此时,若,则,故,此时,若或,则,故(1)成立.对于(2),因为,则, 若均为零,则,其定义域为,且,故为奇函数;若不全为零,不妨设,则,故,此时函数的定义域为,而,故为奇函数;故(2)正确.对于(3),因为,则, 若均为零,则,此时函数的定义域为,而,故为偶函数;若不全为零,不妨设,则,故,此时函数的定义域为,而,故为偶函数;故(3)正确.对于(4),因为,故,整理得到:,取,则,即,故,令,则,而,故,故(4)错误,故选:A.【点睛】思路分析:对多变量的三角函数问题,需根据题设条件得到参数的关系,再根据关系式的形式合理消元反代,从而简化问题的讨论. 二、填空题5.若扇形的面积是,圆心角为2弧度,则半径是___________.【答案】【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.【详解】设圆心角为2弧度所对的弧的弧长为,半径为,所以有,故答案为:6.已知角的终边经过点,则___________.【答案】【分析】由三角函数定义可得,利用诱导公式可求得结果.【详解】角的终边经过点,,.故答案为:.7.若,是第四象限角,则___________.【答案】【分析】利用二倍角的正弦公式求解.【详解】解:因为,且是第四象限角,所以,所以,故答案为:8.函数y=tan的单调增区间为________.【答案】,k∈Z【详解】,所以单调增区间为,k∈Z9.若是以为周期的奇函数,且,则______.【答案】【分析】由奇函数的性质以及周期性求解即可.【详解】故答案为:【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用以及周期性的应用,属于基础题.10.将函数的图像上的所有点向右平移个单位,则所得的图像的函数表达式为___________.【答案】【分析】直接利用三角函数图象的变换知识求解.【详解】解:将函数的图像上的所有点向右平移个单位,则所得的图像的函数表达式为.故答案为:11.已知,,则___________.【答案】【分析】先通过角的范围求出,再利用展开计算即可.【详解】因为,则,,故答案为:12.函数的定义域为________.【答案】【解析】由表达式可得:,结合余弦函数图象可得结果.【详解】解:由表达式可得:,即,∴,函数的定义域为,故答案为:【点睛】本题考查余弦型复合函数的定义域,考查三角不等式的解法,属于基础题.13.关于x的方程在上的解集为___________.【答案】【分析】通过得到,再求出在范围上的解即可.【详解】由得,解得,令,解得,或,或,即解集为.故答案为:.14.如果直线是函数图像的一条对称轴,则的最小正值为___________.【答案】【分析】通过可得答案.【详解】由已知,解得当,取最小正值,且为故答案为: .15.在中,若,,,则的面积为___________.【答案】【分析】利用公式求出,利用正弦定理求出,利用三角形的面积公式可求出结果.【详解】因为,所以,,所以,所以,所以,所以,,所以,由正弦定理得,得,得,所以的面积.故答案为:【点睛】关键点点睛:利用正弦定理、三角形面积公式求解是解题关键.16.设是定义在R上的周期为4的函数,且,记,若函数在区间上零点的个数是8个,则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】分别作出与直线的图像,观察交点个数即可.【详解】作出,的图像如下:令,则,则函数在区间上零点的个数,即为与直线的图像交点个数,由图可知当是,图像有8个交点.故答案为:. 三、解答题17.已知:.求:(1)的值;(2)的值【答案】(1)2(2)1【分析】(1)利用两角差的正切公式计算即可;(2)将目标式变形,然后利用将目标式转化为用表示,再代入的值计算即可.【详解】(1)由已知,解得;(2),带入得18.已知:函数,(1)若,求的值;(2)设,求在区间上的最大值和最小值,并指出对应x的取值.【答案】(1)(2)最大值为,此时;最小值为,此时【分析】(1)利用,再利用倍角公式变形计算即可;(2)首先变形得,再利用余弦曲线的图像和性质求最值即可.【详解】(1)由已知,则;(2),,当,即时,在区间上取最大值,当,即时,在区间上取最小值,19.如图:我国近海某海域上有四个小岛,小岛B与小岛A,C相距都为5公里,与小岛D相距公里;已知∠BAD为钝角,且.(1)求小岛A与小岛D之间的距离;(2)求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积.(提示)【答案】(1)2(2)18【分析】(1)由∠BAD为钝角,且,得到,然后在中,利用余弦定理求解;(2)根据A、B、C、D四点共圆,得到∠BAD与∠BCD互补,进而得到,然后在中,利用余弦定理求得CD,由求解.【详解】(1)解:因为∠BAD为钝角,且,所以,在中,由余弦定理得,所以,解得或(舍去);.(2)因为A、B、C、D四点共圆,所以∠BAD与∠BCD互补,所以,在中,由余弦定理得,所以,解得或(舍去);.,,.20.已知函数,.(1)求函数的最小正周期和所有零点;(2)若存在,使等式成立,求实数m的取值范围.【答案】(1) ,(2)【分析】(1)利用倍角公式结合辅助角公式进行化简即可;(2)利用换元法设 ,结合一元二次函数的性质求出函数的值域即可【详解】(1) 由 ,所以函数 的最小正周期为 ;由 ,得(2)当 时, ,则 ,即 ;令 ;关于 的方程 在 上有解;即 在上有解;当 时, ,由,得 ;即实数 的取值范围是21.已知函数,,的部分图像如图所示,P,Q分别是该图像相邻的最高点和最低点,点P的坐标是,点R的坐标是,.(1)求的最小正周期与的值;(2)求A的值,并写出函数的单调递增区间;(3)若函数,请研究函数的奇偶性、最小正周期、单调区间、最大最小值.【答案】(1)最小正周期是,;(2),增区间是;(3)答案见解析.【分析】(1)由是最高点结合“五点法”可求得,由正弦函数周期可得的最小正周期;(2)由,得,结合周期可求得,得函数解析式,变形为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数的单调性得结论;(3)根据奇偶性定义判断奇偶性,由周期的定义判断并说明最小正周期是,求出函数在一个周期区间上单调区间,结合周期性写出单调区间,并求得最大值和最小值.【详解】(1)由题意,又,所以,,(2)因为,所以,,,,得,所以增区间是;(3)由题意,显然,函数为偶函数,,时,,不存在,使得,所以函数最小正周期是,时,,而,因此时,递增,时,递减,所以的增区间是,,减区间是,,时,,而,,所以的值域是.最大值为,最小值为.
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