2021-2022学年江苏省南京市金陵中学高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年江苏省南京市金陵中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，若，则的值为（       ）

A．－2 B．－ C． D．2

【答案】D

【分析】根据向量的平行的条件及同角三角函数的商数关系即可求解.

【详解】因为，，

所以，解得，

所以.

故答案为：D.

2．棣莫弗公式(其中为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】将转化成，化简出虚部和实部，即可求解.

【详解】根据棣莫弗公式可知，

,所以在复平面内所对应的点为

故选：D

3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求的值．

【详解】解：，

由正弦定理可得：，

可得，

由于为三角形内角，，，

，，

故选：C．

4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．“”是“是以C为直角的直角三角形”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用正弦定理将边角互化，结合充分条件、必要条件的定义计算可得；

【详解】解：若，由正弦定理可得，

，或，即或，

所以为等腰三角形或是以为直角的直角三角形，故充分性不成立；

若是以为直角的直角三角形，即，

所以，所以，即，

所以，则，故必要性成立；

故“”是“是以C为直角的直角三角形”的必要不充分条件；

故选：B

5．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=（    ）

A．5 B． C．2 D．1

【答案】B

【详解】由面积公式得：，解得，所以或，当时，

由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.

【解析】本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.

6．下列命题是真命题的是（       ）

A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

B．若四点不共面，则其中任意三点不共线

C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内

D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分

【答案】B

【分析】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.

【详解】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；

B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；

C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误；

D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.

故选：B

7．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【解析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.

【详解】因为，且为等边三角形，，

所以，所以，所以的最大值为，取等号时，

所以，不妨设，

所以，所以解得，

所以，所以，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.

8．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解.

【详解】因为，，

所以或；

若，则，

此时（舍）；

若，则，

此时（符合题意），

所以，

即；

因为且，

所以且，

解得，，

则，

所以.

故选：C.

二、多选题

9．设复数满足，则（       ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】BCD

【分析】由待定系数法先假设，则，根据共轭复数的概念判断A选项，根据模长的公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C选项，根据复数的几何意义判断D选项.

【详解】设复数，由，所以，

因此：，故A选项错误；

因为，所以B选项正确；

因为，所以，则

所以，所以C选项正确；

因为，

根据复数的几何意义可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

则由对称性可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

由的几何意义表示点与间的距离，由图可知：，故D选项正确；

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.

10．如图，在三棱柱中，E，F分别为棱A1B1和A1C1上的点(不包括端点)，且，则下列结论正确的是（       ）

A．B，C，E，F四点共面 B．P∈平面ABB1A1

C．平面AEF与平面BB1C1不相交 D．P，A1，A三点共线

【答案】ABD

【分析】对于A，根据两条直线相交可以确定一个平面即可求解；

对于B，C，D，根据点线面的位置关系即可求解；

【详解】对于A，因为，所以共面，所以A正确；

对于B，，平面，所以平面，故B正确，

对于D，，平面，平面，

所以平面∩平面=，故D正确；

对于C， 与相交，则平面与平面BB1C1相交，故C不正确.

故选：ABD.

11．已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量加法的三角形法则判断A，根据数量积的定义判断B，根据数量积的运算律判断C、D；

【详解】解：因为，，

对于A：，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，则，故C正确：

对于D：，即，故D错误；

故选：AC

12．由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N)多项式使得Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则（       ）

A．P3(t)＝4t3－3t B．当n≥3时，

C． D．

【答案】AD

【分析】根据题目定义以及二倍角公式即可判断A正确，令，可得，可判断出B错误，令可得，结合可判断出C错误，根据二倍角公式可知，D正确．

【详解】因为，

所以，即，故选项A正确；

令，则，则，则，即选项B错误；

令，则，可得，由B知，所以选项C错误；

因为，所以，

由A可得，

而，故即，

所以（负根舍去）即选项D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．如图，正八边形ABCDEFGH，其外接圆O半径为1.则___________.

【答案】

【分析】根据平面向量的基本运算，将转换为有关的表达式计算即可

【详解】易得的夹角为，再由图可得

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算与数量积运算，属于基础题

14．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______．

【答案】

【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小值，在，由勾股定理能求出的值．

【详解】解：如图，沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示：

则即为的周长的最小值，且，

在中，由勾股定理得：．

故答案为：

15．设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.

【答案】

【分析】利用余弦方程，解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可.

【详解】因为，

则有或，，，解得或，，，

又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，

所以，，，，，，…，

故，，

所以，即，

则，解得，

故.

故答案为：.

四、双空题

16．在中，角，B，C所对的边分别为a，b，C，，则的外接圆直径为______；若点P在边BC上，且，O为的外心，则OP的长为______．

【答案】         

【分析】根据已知条件，运用正弦定理将边化角，可推得，再结合外接圆的公式和余弦定理，即可求解．

【详解】解：因为，所以，

因为，所以，即，因为，

所以，所以，即的外接圆直径为；

所以，

，

，

，

，，

，

在中，根据余弦定理可得，，

即，解得．

故答案为：；；

五、解答题

17．已知复数z＝m－i(m∈R)，且为纯虚数．

(1)设复数，求|z1|；

(2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）求出，解不等式得解；

（2）求出，解不等式组得解.

【详解】(1)解：因为，则，

所以，为纯虚数，则，解得，

所以，

所以|z1|.

(2)解：，

因为复数在复平面对应的点在第一象限，

所以.

所以实数a的取值范围为.

18．已知,设函．

(1)求函数的最小正周期；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平面向量的数量积坐标公式，以及辅助角公式化简，再根据周期公式求最小正周期.

（2）根据的值计算,再利用和角公式计算.

【详解】(1)由已知条件得：

最小正周期

(2)，又

故，进而可得

19．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．

(1)若＝4，求AP的长；

(2)设＝3，||＝4，，，求实数x和y的值．

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）化简得到，得到答案.

（2），根据三点共线，故，，得到，解得答案.

【详解】(1)，

解得.

(2)因为，设

则，，所以，①

又因为，，，

所以，

由可知，

即，即 ②

联立①②解得，.

20．在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．

已知的内角、、的对边分别为，，，_____，是边上的一点，，且，，求线段的长．

【答案】答案不唯一，见解析.

【解析】若选①，利用该条件化简得，即，得，再利用余弦定理得，最后在中结合正弦定理求，再计算，求，在中结合正弦定理求即可；若选②，结合余弦定理化简得到，得，其他同①过程，即得结果；若选③，借助面积公式化简得，求得，得，其他同①过程，即得结果.

【详解】

解：若选①，，可得，

可得，因为为三角形内角，，可得，

因为，所以，可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得， ，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

若选②，，由余弦定理可得，整理可得，可得，因为，所以，可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得，，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

若选③，的面积，结合余弦定理可得，可得，可得，因为，所以，可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得，，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

【点睛】本题解题关键是选择一个条件，结合两角和与差的正弦公式、余弦定理或面积公式，化简整理得到角，即突破关键点，再结合和中的正弦定理求得结果即可.

21．在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠DCB＝，，BC＝2．

(1)求sin∠CBD；

(2)求AC的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，由余弦定理求得的长，再由正弦定理求出结果即可；

（2）由已知结合正弦定理及同角平方关系可求.

【详解】(1)（1）中，由余弦定理得，，

即，所以，

由正弦定理可得，

即.

(2)中，由正弦定理得，，

所以，

同理，中，由正弦定理得，

因为，，

所以，所以 ，

所以，

所以.

22．如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点处设立一个空气监测中心(大小忽略不计)，在点处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点和点处，再分别安装一套监测设备，且满足且为正三角形．

(1)若，求面积；

(2)设，试用表示的面积，并求最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据余弦定理求出，再根据面积公式代入数据即可解得.

(2) 设正的边长为，,在中由正弦定理得，然后根据面积公式，表达出面积表达式，利用三角函数的知识对其求最值即可.

【详解】(1)由余弦定理得:

,即

解得或(舍去)

因为为正三角形，所以

(2)设正的边长为，

在中由正弦定理

,

,故当时,面积最大此时，的最大面积.