2021-2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中质量检测数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中质量检测数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中质量检测数学试题一、单选题1．九章算术是我国古代的数学专著，卷一方田三三“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语，其意思为：有一块扇形的田，弧长步，其所在圆的直径是步，问这块田的面积是多少平方步？计算可知，这块田的面积是（       ）A．平方步 B．平方步 C．平方步 D．平方步【答案】C【分析】根据弧长与直径计算即可【详解】解：因为弧长为步，所在圆的直径为步，所以这块田的面积（平方步）故选：C．2．已知等边三角形ABC的边长为1，，那么（    ）A．3 B．-3 C． D．【答案】D【解析】利用向量的数量积即可求解.【详解】解析：.故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.3．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（       ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意可得，故 ，，，故 ，由于 ，故，故选：C4．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120，转盘直径为110设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t后距离地面的高度为H，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10，结合摩天轮最高点距离地面高度为120，可得时，，再利用排除法可得答案.【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20，所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10，又因为摩天轮最高点距离地面高度为120，所以时，，对于A，时，，不合题意；对于B，时，，符合题意；对于C，时，，不合题意；对于D，时，，不合题意；故选：B.【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.5．函数的图象大致为（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先结合奇偶性排除D，再采用特殊值法直接选出答案.【详解】整体为奇函数，整体为偶函数，故为奇函数，排除D，当时，，，故函数值为负，只有A项符合.故选：A6．已知偶函数在时，满足，若，则下列不等关系正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可得，，，再根据函数的单调性比较大小.【详解】时，满足，设，可得，偶函数在上单调递减，，则；；；又，故，故，故选：C.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.7．函数，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，则方程所有解的和为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，进而求出，代入特殊点坐标，求出，得到，从而得到方程，结合，求出，，得到答案.【详解】由题意得：，所以，因为，所以，所以，又，，解得：，所以，故，因为，所以，当或时，，此时满足题意，解得：，故.故选：B8．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为，所以有，，设，，因此有因为，所以有，而，所以，当时，xy有最大值，当，或时，xy有最小值，故选：B【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.二、多选题9．下列能化简为的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由向量加减法运算法则直接化简求解即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：ABC.10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．与图象的所有交点的横坐标之和为【答案】BCD【解析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项．【详解】由题意，，∴，又，，又，∴，∴．∵，∴不是对称轴，A错；，∴是对称中心，B正确；时，，∴在上单调递增，C正确；，，或，即或，，又，∴，和为，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．11．以下结论错误的有：（       ）A．终边落在第四象限角的集合为B．角的终边过点，则C．D．函数的图象向右平移得到的图象【答案】ABC【分析】对于A：直接表示出终边落在第四象限角的集合，即可判断；对于B：直接求出的值，即可判断；对于C：用诱导公式直接求解；对于D：利用相位变换直接得到答案.【详解】对于A：终边落在第四象限角的集合为或.故A错误；对于B：角的终边过点，当时，；当时，.故B错误；对于C：.故C错误；对于D：函数的图象向右平移得到.故D正确.故选：ABC12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是（       ）A．1 B． C． D．【答案】BD【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出参数的取值范围，从而得解；【详解】解：因为，，因为有唯一解，所以或，即，故选：BD三、填空题13．已知向，若在方向上的投影为4，则实数的值为____________.【答案】【分析】先利用数量积的坐标运算求出，代入投影公式即可解出实数的值.【详解】依题意，得，所以在方向上的投影为，解得．故答案为：【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，属于容易题.14．已知向量，O为坐标原点，若点C在函数的图象上，实数的值是_________．【答案】2【分析】先求出点C的坐标，代入函数解析式，即可求解.【详解】因为，所以，即.所以，所以.故答案为：215．已知函数，其中，若的值域是，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】先作出函数的图像，再由函数的值域为，结合，，观察图像即可得解.【详解】解：由，可知，因为且，所以要使的值域是，结合图象可知只要，即，故答案为.【点睛】本题考查了由三角函数的值域求参数的范围，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.16．在直角三角形ABC中，C为直角，，I是的内心，MN是的内切圆的直径，则的取值范围是_________．【答案】【分析】根据直角三角形，可建立直角坐标系，写出圆的参数方程，进而可得点坐标，根据向量的坐标表示，在坐标运算下，求出数量积的表达，然后根据三角函数的最值确定数量积的范围.【详解】设内切圆的半径为，由等面积法可得建立如图所示的平面直角坐标系圆的参数方程为，设因为的中点为,所以从而其中,故答案为:四、解答题17．已知，．(1)当时，求；(2)若和的夹角为钝角，求x的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得到，再求的模长即可.（2）根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】(1)因为，所以，解得，所以，，.(2)和的夹角为钝角，所以，解得且.故的取值范围18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，求出即可；（2）由三角形面积公式得，再由余弦定理即可得结果.【详解】(1)由正弦定理得，即，由于，所以，由于，所以.(2)由 可得： ∴，由余弦定理得：，∴19．已知函数的部分图象如下图所示.（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.【答案】（1），递增区间为；（2）.【解析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得，根据的图象关于直线对称，求得的值，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由图象可知，，所以，所以，由图可求出最低点的坐标为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，由，可得.所以函数的单调递增区间为.（2）由题意知，函数，因为的图象关于直线对称，所以，即，因为，所以，所以.当时，，可得，所以，即函数的值域为.【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.20．在中，为直角，，AD与BC相交于点M，．(1)试用表示向量；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过M，设，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用三点共线的结论：若A、B、C三点共线，则，且．【详解】(1)∵C、M、B三点共线，则，又∵D、M、A三点共线，则，可得，解得∴．(2)∵Ｅ、M、Ｆ三点共线，则∴，整理得：．21．如图所示，在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．D为BC边上一点，，回答下列问题：(1)求面积的大小；(2)求AC的长度．【答案】(1)(2)【分析】(1)将已知条件化简得到∠BAC，再由正弦定理、余弦定理可解答；(2)由正弦定理、余弦定理及勾股定理可解答【详解】(1)由，由正弦定理得，变形整理得，又所以，又因为，所以，在中，由余弦定理有，解得或（因为可知，故舍去），所以.(2)在中，由余弦定理有，所以，因为，所以，在中，由正弦定理有，即，解得22．已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数．(1)求的解析式；(2)若关于x的方程在上有三个解，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再根据为奇函数求解即可；（2）根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质求出函数的单调区间，从而得到函数的草图，令，即，，首先判断时不符合题意，依题意方程在上有两不相等实数根，且，，再讨论和，结合二次函数的性质计算可得；【详解】(1)解：因为图象相邻两对称轴之间的距离是，所以函数的最小正周期，解得，即，因为为奇函数，所以，，即，，又因为，所以，，(2)解：因为，，所以，所以，当时，解得，时，解得，即在上单调递增，在上单调递减，且，，，函数，的图象如下所示：因为关于的方程在上有三个解，令，即，，若为方程的根，此时，则，不符合题意；依题意方程在有两不相等实数根、，不妨令，且，；若为方程的根，此时，则，此时符合题意；若时，令则，即，解得，综上可得．