2021-2022学年陕西省安康市高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年陕西省安康市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合B，再利用并集运算求解.

【详解】∵，

∴.

故选：D

2．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据奇函数的性质即可求解.

【详解】时，，，∴，

故选：C.

3．（       ）

A．0 B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦公式即得.

【详解】

故选: A

4．已知，，，则（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据向量的坐标运算，可得，然后根据模长公式，求，再用数量积的坐标运算即可求.

【详解】,,所以，.

故选:B

5．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km，5 km，灯塔A在观察站C的北偏东方向上，灯塔B在观察站C的南偏东方向上，则灯塔A与B的距离为（    ）

A．6 km B． C．7 km D．

【答案】C

【分析】根据题意作出示意图，然后利用余弦定理可求解的长度即为灯塔A与B的距离.

【详解】由题意作出示意图如下：

由题意可得，

由余弦定理可知：，所以．

故选C.

【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.处理解三角形实际问题中的角度问题，可先作出示意图，根据示意图选用合适的正、余弦定理求解相关值.

6．设，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数的性质和对数函数的性质即可判断.

【详解】结合指数函数性质和对数函数性质可知，，，∴，

故选：A.

7．已知数列满足，则下列结论正确的是（       ）

A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为1的等差数列

C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为1的等比数列

【答案】B

【分析】通过构造和等差数列定义即得.

【详解】因为

故可得，∴，

∴是公差为1的等差数列.

故选：B

8．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】在中，因为，，，

由正弦定理可得：，代入数据可得：，

可得：，

因为，所以，

所以是锐角或钝角，

所以或，

故选：D.

9．已知函数在单调递增，在单调递减，则（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的单调区间求出对应的区间，结合正弦函数的性质可得，即可求.

【详解】当时，，

当时，，

由题意得：且，解得.

故选：A

10．已知，，分别为内角，，的对边，若，，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】由，利用正弦定理求得，再利用余弦定理结合，求得a，c的关系即可.

【详解】因为，

所，

∴，

∴，，

∴.

11．若，，，则下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式串 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.

【详解】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；

对于选项B： ，，∴B错误；

对于选项C ：，

因为 ∴C错误；

对于选项D：∵，当且仅当时取等号，

∴，D正确；

故选：D

12．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被4除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（       ）

A．168 B．169 C．170 D．171

【答案】B

【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列的通项公式，然后求解满足不等式的正整数的个数，即可得解.

【详解】设所求数列为，

由题意可得该数列为5､17､29､41､…，

所以数列为等差数列，

且首项为，公差为，

所以，

令，

即，

解得，

所以满足的正整数n的个数为169，

所以该数列共有169项.

故选：B.

二、填空题

13．已知向量，不共线，设向量，，若，则实数的值为______.

【答案】

【分析】由向量共线的充要条件可知存在实数使得，又，不共线，可得系数关系，即可求解.

【详解】由可得存在实数使得，即，∵，不共线，∴，解得

故答案为:

14．设等比数列的前项和为，若，则______.

【答案】

【分析】首先判断公比，再根据等比数列前项和公式得到，最后根据等比数列的通项公式计算可得；

【详解】解：依题意等比数列的公比，由可得，

∴，所以；

故答案为：

15．函数的图象可由函数的图象至少向左平移__________个单位长度得到．

【答案】

【详解】，将向左平移得到的图像.

16．的内角，，的对边分别为，，，其面积，且，，成等差数列，则的最大值为______.

【答案】

【分析】因为三角形内角和为，且，，成等差数列，故.利用面积公式,正弦定理和化一公式即得.

【详解】由已知可得，

∴

，

∴，

∴，

∴最大值为

故答案为: .

三、解答题

17．已知数列是等比数列，且，公比

(1)求数列的通项公式；

(2)数列满足，，求数列的前项和的最小值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）套用等比数列通项公式即可；

（2）由可得，为等差数列，利用等差数列求和公式即可得，讨论最小值即可

【详解】(1)由已知可得.

(2)，，

∴当或5时，取得最小值，且为.

18．已知、、分别为内角A、B、C的对边，．

(1)求；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)结合已知条件，根据正弦定理边化角和三角恒等变换即可求B；

(2)根据余弦定理求a，再根据三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)由已知及正弦定理得，

∵，C∈(0，π)，sinC≠0，

∴，即，∵B∈(0，π)，∴；

(2)由余弦定理得，解得或(舍)．

∴.

19．已知数列满足，（其中且）.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知得（，），利用累加法求通项公式；

（2）写出，利用裂项相消法求.

【详解】（1）（，）

∴，（），

当时满足上式，

∴.

（2）

∴

.

【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.

20．已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）设，，分别为内角，，的对边，已知，，且，求的值.

【答案】（1）()；（2）.

【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式将函数化为，再利用整体法结合正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间；

（2）由求出角，再由，求出，最后根据结合余弦定理即可求出答案.

【详解】解：（1），

令得()，

∴的单调递增区间为().

（2）由得，

∵，∴，∴，

∵，∴，∴，

由余弦定理得，∴.

21．已知，，分别为内角，，的对边，.

（1）证明：；

（2）请问角是否存在最大值？若存在，求出角的最大值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理把角全部化为边，然后化简即可

（2）利用（1）的结论结合基本不等式即可求解

【详解】（1）

由已知及正余弦定理得，

.

（2）由（1）可得，

∴，当且仅当，即时等号成立，

∴角存在最大值为.

22．已知数列的前项和为，且满足

(1)求，的值；

(2)证明是等比数列，并求数列的通项公式；

(3)设，求数列的前项和

【答案】(1)，

(2)证明见解析，

(3)

【分析】（1）由,可得，的值.

（2）根据的关系以及等比数列的定义即可证明，进一步可求数列的通项公式；

（3）化简得,用错位相减求数列的前项和

【详解】(1)由可得；由可得；

故,．

(2)时，，化简可得，

∴，∴是首项为4，公比为2的等比数列，

∴，∴．

(3)，

∴，则，

两式相减得，

∴．