2021-2022学年新疆乌苏市第一中学高二3月月考数学(理)试题(解析版)
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这是一份2021-2022学年新疆乌苏市第一中学高二3月月考数学(理)试题(解析版),共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年新疆乌苏市第一中学高二3月月考数学(理)试题一、单选题1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】化简集合A,B,根据交集计算即可.【详解】由已知可得,,所以.故选:C2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S的值等于( )A.2 B.6 C.14 D.30【答案】C【分析】模拟运行程序,直到得出输出的S的值.【详解】运行程序框图,,,;,,;,,;,输出.故选:C3.“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断.【详解】时,成立,是充分的,但时,,不满足,必要性不满足,因此是充分不必要条件.故选:A.4.设实数满足约束条件,则的最小值为A.-5 B.-8 C.5 D.8【答案】A【详解】试题分析:画出可行域如下图所示,由图可知目标函数在点处取得最小值为.【解析】线性规划.5.设函数在上可导,则等于( )A. B. C. D.以上都不对【答案】C【分析】根据目标式,结合导数的定义即可得结果.【详解】.故选:C6.设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )A.若,,,则B.若,,则C.若,,,则D.若,,,则【答案】C【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对四个选项逐个分析可得答案.【详解】对于A,若,,,则或或与相交但不垂直.故A不正确;对于B,若,,则或.故B不正确;对于C,若,,则,又,则.故C正确;对于D,若,,,则或或与相交但不垂直.故D不正确.故选:C7.已知向量,,且与互相平行,则( )A.1 B. C. D.2【答案】B【分析】根据空间向量加减法的坐标表示,先求解出向量和 ,再根据向量平行求解参数的值即可.【详解】根据题意, 根据两向量平行得,,解得 .故选:B.8.如图,在正方体中,点E是上底面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】建立空间直角坐标系,利用向量夹角求解.【详解】以为原点,为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示,设正方体棱长为2,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:B9.( )A. B. C. D.【答案】C【分析】结合几何意义求得定积分.【详解】,.,表示圆心在原点,半径为的圆的上半部分.在圆上,所以,所以.所以.故选:C10.设的内角的对边分别为的面积,则( )A. B. C. D.【答案】A【分析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有,再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.【详解】由,∴,在中,,∴,解得.故选:A.11.曲线在处的切线的倾斜角为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】求出函数的导数,再由导数的几何意义即可得切线斜率,进而得解.【详解】因,则,当时,,由导数的几何意义知,曲线在处的切线斜率为1,其倾斜角为,所以切线的倾斜角为.故选:C12.已知等差数列的前n项和为,且,则( )A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【分析】根据等差数列前n项和公式,结合等差数列下标的性质、等差数列通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为,,,故选:B13.已知圆,圆,,分别为圆和圆上的动点,为直线上的动点,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析圆与圆的圆心和半径,求出与圆关于直线对称的圆,再设圆上的点与圆上点对称,分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题,据此分析可得答案.【详解】圆,即,圆心为,半径,圆,即,圆心为,半径,设点关于直线对称的点为 则 ,解得:, 圆关于直线对称的圆为圆,其圆心为,半径,则其方程为,设圆上的点与圆上点对称,则有,原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题,连接,与直线交于点,此时点是满足最小的点,此时,即的最小值为,故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查直线与圆的位置关系,涉及圆与圆关于直线的对称问题,解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程,原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.二、填空题14.已知向量,满足,,且,则与的夹角等于________.【答案】【分析】由,得,进而利用向量夹角公式即得.【详解】由条件,可得,即,得到,所以,又,所以.故答案为:.15.在运动会火炬传递活动中,有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手.若从中任选2人,则选出火炬手编号相连的概率为______.【答案】【分析】先求出基本事件总数,再求出选出的火炬手的编号相连包含的基本事件个数,由此能求出选出的火炬手的编号相连的概率.【详解】有编号为的名火炬手,从中任选人,基本事件有,共10个;选出的火炬手的编号相连包含的基本事件有,共个;所以选出的火炬手的编号相连的概率.故答案为:.16.已知命题p:,若命题P为假命题,则实数a的取值范围是___.【答案】[0,4]【分析】命题P为假命题,则为真命题,进而求出a的范围.【详解】根据题意,恒成立,所以.故答案为:.17.如图,在四棱锥中,平面,底面为矩形,分别为的中点,连接,则点到平面的距离为__________.【答案】【分析】利用转化法,根据线面平行的性质,结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.【详解】设是的中点,连接,因为是的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,因此点到平面的距离等于点到平面的距离,设为,因为平面,所以,,于是有,底面为矩形,所以有,,因为平面,所以,于是有:,由余弦定理可知:,所以,因此,,因为,所以,故答案为:18.若指数函数(且)与五次函数的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】依题意方程有两个不同的解,两边取对数可得,从而可转化为与在图象上有两个不同的交点,利用导数说明函数的单调性,即可求出的最值,从而得到,即可求出参数的取值范围;【详解】解:指数函数(且)与五次函数的图象恰好有两个不同的交点,等价于方程有两个不同的解.对方程两边同时取对数,得,即.因为,所以,从而可转化为与在图象上有两个不同的交点,.当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以函数在处取到极大值,也是最大值,且最大值为.又因为当时,;当时,,所以.解得,即.故答案为:三、解答题19.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为.若,,.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意列出方程可求出公差与公比,即可求出等差数列与等比数列的通项公式;(2)根据等差数列与等比数列的求和公式计算即可.【详解】(1)由,,则,设等差数列的公差为,则,所以,所以设等比数列的公比为由,,解得,所以,(2),数列的前项和【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列,熟记通项公式、前n项和公式即可,属于中档题.20.设函数,曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的解析式;(2)设曲线在处的切线为,求与两直线和所围成的三角形的面积.【答案】(1);(2).【分析】(1)先求导,根据两直线垂直,斜率之积为求出在处的切线的斜率,进而列出关于的方程,即可求出;(2)求出直线,求出直线与轴和直线的交点,再利用三角形面积公式求出答案.【详解】(1)解:,因为在处的切线与直线垂直,所以在处的切线斜率为,所以,解得,所以.(2)解:由得,,所以,切点为,所以直线,与轴交点,与交点,所以与两直线和所围成的三角形的面积.21.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,分别是的中点.(1)证明:平面;(2)求平面与平面夹角的大小.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证得平面.(2)利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值,进而求得夹角的大小.【详解】(1)因为四棱锥中,底面是矩形,平面,,分别是的中点,以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,故,因为,所以平面.(2)是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,设平面与平面所成角为,则,由于,所以.22.已知函数 (1)求函数单调区间;(2)若时,函数恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)函数在上单调递减,在上单调递增(2)【分析】(1)利用导数即可求出单调区间;(2)分离参数,构造函数,求出函数的最小值即可.【详解】(1) ,当时,;当时,.所以函数在上单调递减,在上单调递增.(2)由于,恒成立,即恒成立构造函数,则求导可得,当时,恒成立.所以在上单调递增,则,所以.23.已知关于x,y的方程C:(1)当m为何值时,方程C表示圆;(2)在(1)的条件下,若圆C与直线l:相交于M、N两点,且|MN|=,求m的值.【答案】(1)m<5;(2)m=4【解析】(1)求出圆的标准方程形式,即可求出m的值;(2)利用半径,弦长,弦心距的关系列方程求解即可.【详解】解:(1)方程C可化为,显然只要5−m>0,即m<5时,方程C表示圆;(2)因为圆C的方程为,其中m<5,所以圆心C(1,2),半径,则圆心C(1,2)到直线l:x+2y−4=0的距离为,因为|MN|=,所以|MN|=,所以,解得m=4.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键.24.某学校进行体检,现得到所有男生的身高数据,:从中随机抽取50人进行统计(已知这50个男生的身高介于155cm到195cm之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组,第二组,…,第八组,并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组和第七组还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为5∶2. (1)根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数:(2)用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为5的样本,从样本中任意抽取2位男生,求这两位男生身高都在内的概率.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据频率分布直方图中频数、频率的计算方法求得第六组和第七组的频数以及频率,再求中位数即可;(2)先根据分层抽样求得抽取5人所在的组,再利用古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】(1)根据题意,第六组和第七组的男生人数之和为:,又第六组和第七组人数的比为5∶2,故第六组和第七组分别为人和2人;设男生身高的中位数为,则,解得.故这50位男生身高的中位数为.(2)根据频率分布直方图可得:身高在中的男生有:人,身高在中的男生有:人,若从这两组中抽取15人,则从抽取人,记作从抽取人,记作则从5人中抽取人,共有如下10种情况:,,,两位男生身高都在的有如下3种:,故这两位男生身高都在内的概率.25.已知等边的边长为4,是边上的高,E,F分别是和边的中点,现将沿翻折成直二面角.(1)求直线与平面的夹角的正弦值;(2)在线段上是否存在一点,使?证明你的结论.【答案】(1)(2)见解析【分析】(1)以点为坐标原点,建立如下图所示的空间直角坐标,利用向量法证明即可;(2)以点为坐标原点,建立如下图所示的空间直角坐标,设,利用向量法证明即可【详解】(1)以点为坐标原点,建立如下图所示的空间直角坐标系则,设平面的法向量为则,即取设直线与平面的夹角为又,(2)假设在线段上存在一点,使得令,即则,于是因为,所以整理得,解得,符合题意.故线段上存在一点,使得26.已知函数.(1)当时,求证:;(2)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)详见解析;(2).【分析】(1)由,得到,,再用导数法论证即可;(2)求导,令,则,再分,讨论求解.【详解】(1)证明:当时,,.当时,;当时,.故在上单调递减,在上单调递增,,∴.(2),令,则.①当,即时,在上,,单调递增,,即,∴在上为增函数,∴,∴当时满足条件.②当,即时,令,解得,在上,,单调递减,∴当时,有,即,∴在区间上为减函数,∴,不合题意.综上,实数的取值范围为【点睛】方法点睛:恒(能)成立问题的解法:若在区间D上有最值,则(1)恒成立:;;(2)能成立:;.若能分离常数,即将问题转化为:(或),则(1)恒成立:;;(2)能成立:;.
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