2021-2022学年重庆市第八中学校高二艺术班下学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市第八中学校高二艺术班下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合A＝{x|2x﹣4＜0}，B＝{﹣1，0，2}，则A∪B＝（       ）

A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]

【答案】D

【分析】化简集合，根据并集的定义，即可求解.

【详解】,

所以.

故选：D.

2．下列函数的求导正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由基本初等函数求导公式与运算法则对选项逐一判断

【详解】由基本初等函数求导公式与运算法则知：

，，，故A，C，D错误

，B正确

 故选：B

3．若，则（       ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化简得到，即可求解.

【详解】由，可得.

故选：D

4．“”是“为偶函数”的（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：当时，为偶函数，故充分；

当为偶函数时，，故不必要；

故选：A

5．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依据函数的奇偶性排除选项A；依据图像上的特殊点排除选项CD.

【详解】令，则

故为偶函数，图像关于y轴轴对称，排除选项A；

又，即图像经过点，排除选项D；

又，即图像经过第四象限的点，排除选项C

故选：B

6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据图象变换规律，可得答案

【详解】函数，所以将图象向右平移个单位，可得函数的图象.

故选：B

7．已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解.

【详解】根据对数函数的性质，可得，，

又由指数函数的性质，可得，

所以.

故选：A.

8．下列函数中最小值为4的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

二、多选题

9．下列选项中，值为的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A. 利用两角和的余弦公式求解判断； B.利用二倍角的余弦公式求解判断； C.利用二倍角的正弦公式求解判断； D.利用两角和的正切公式求解判断.

【详解】A. ；

B. ；

C. ；

D. ；

故选：AC

10．如图是函数的部分图象，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据三角函数的图象，求得，得到，即，再根据，求得，得到，结合诱导公式得到，即可求解.

【详解】根据函数的部分图象，可得，即，

所以，所以，

又由，所以，

可得，解得，

当时，可得，所以；

又由.

故选：BC

11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．的解集为

C．

D．的解集为

【答案】AD

【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.

【详解】因为关于的不等式的解集为或，

所以且方程的两个根为，，

即.

因此选项A正确；

因为，，所以由，因此选项B不正确；

由可知：，因此选项C不正确；

因为，所以由，

解得：，因此选项D正确，

故选：AD

12．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（       ）

A．为偶函数 B．周期为2

C． D．是奇函数

【答案】CD

【分析】根据题意得到关于原点对称，且函数为奇函数，结合周期的定义和函数奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数关于中心对称，可得关于原点对称，

即，所以函数为奇函数，所以A错误；

又由是偶函数，可得关于对称，即，

因为，可得，

即，所以函数是周期为4的函数，所以B错误；

由，令，可得，所以C正确；

因为函数是周期为4的函数，可得，

所以函数为奇函数，所以D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．__________．

【答案】

【分析】根据指数幂与对数的运算性质，准确运算，即可求解.

【详解】由指数幂和对数的运算性质，可得.

故答案为：.

14．曲线在x=1处的切线方程是____________.

【答案】

【详解】分析：根据求导公式求出导数，再求出切线的斜率和切点的坐标，代入点斜式方程化为一般式即可.

详解：由题意得，，

在处的切线的斜率是，且切点坐标是，

则在处的切线方程是：，

即.

故答案为.

点睛：1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解.

15．函数的值域是_____________．

【答案】

【分析】由指对数函数性质求解

【详解】，故

故答案为：

16．已知函数，若的最大值为2，则的值为______．

【答案】

【分析】根据余弦的倍角公式化简为二次型，结合二次函数动轴定区间问题，进行分类讨论，即可求得参数值.

【详解】因为，令，

则根据题意的最大值为，且该二次函数对称轴，

当，即时，故，

解得，满足题意；

当时，即时，，

解得，满足题意；

综上所述：.

故答案为：.

四、解答题

17．记为等差数列的前项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求得，即可求得数列的通项公式；

（2）由，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】(1)解：设等差数列的公差为，

由，可得，即，

又由，可得，

所以数列的通项公式为.

(2)解：由，可得，

所以数列的前项和为.

18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得．

(1)求家庭的月储蓄对月收入的经验回归方程；

(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：经验回归方程中，，．

【答案】(1)

(2)千元

【分析】（1）由相关数据，求得，进而利用公式求得b，a，写出回归方程；

（2）将x=7代入（1）中的回归方程求解.

【详解】(1)解：由题意知，

所以，．

故所求回归方程为；

(2)将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千元）．

19．已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.

【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.

【详解】（Ⅰ），

所以的最小正周期为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

因为，所以.

要使得在上的最大值为，

即在上的最大值为1.

所以，即.

所以的最小值为.

点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.

20．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．

(1)求证：；

(2)求直线AB与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；

（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】(1)在三棱柱中，平面，则平面，

由平面，则，

，则，又为的中点，则，

又，则平面，

由平面，因此，.

(2)以为原点，以，，为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

可得：，，，，，，.

∴，，，，

设为面的法向量，则，令得，

设与平面所成角为，则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

21．已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆右焦点的直线交于两点，，，，且不在轴上，若，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆过，可得，再由四个顶点围成的四边形面积为，得，从而可求出，进而可得椭圆方程，

（2）由可得，由题意设直线为，代入椭圆方程，利用根与系数的关系，结合前面的式子可得到关于的方程，求出，从而可求出直线的方程

【详解】(1)因为椭圆过点，

所以，

因为四个顶点围成的四边形面积为30，所以，得，

所以椭圆的标准方程为；

(2)，

，

，

，

由（1）可知椭圆的右焦点，由题意可知直线的斜率存在且不为零，

设直线为，

由，得，

∴，，

，

解得，

直线方程为，

．

22．已知．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若轴为函数的切线，求的值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求得函数的导数，分，，和，四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；

（2）根据题意得到其中一个零点满足，由，取得，若时，得到，令，利用导数求得函数的单调性，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，函数的定义域为，

且，

①若，当时，；当时，，

所以在区间单调递减，在区间单调递增；

②若，可得，在区间单调递增；

③若，当时，；当或时，，

所以在区间单调递减，在区间，单调递增；

④若，当时，；当或时，，

所以在区间单调递减，在区间，单调递增．

(2)解：因为轴为函数的切线，所以其中一个零点满足，

若，则，解得，此时为的极小值点，符合题意；

若，，

令，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以，所以，

综上可得，即实数的取值为．