2021-2022学年重庆市石柱中学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市石柱中学校高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（       ）

A．30° B．45° C．120° D．60°

【答案】D

【分析】根据直线方程求得直线的斜率，得到，即可求解.

【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，

由直线，可得斜率为，所以，

又因为，可得，即直线的倾斜角为.

故选：D.

2．过两点和的直线在轴上的截距为（       ）

A． B． C．3 D．-3

【答案】A

【分析】求得过点的直线方程，令，即可求得直线在轴上的截距.

【详解】由题意，两点和，可得直线的斜率为，

所以的方程为，即，

令，可得，即直线在轴上的截距为.

故选：A.

3．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的三角形法则可得，结合平行六面体的性质分析解答．

【详解】平行六面体中，M为与的交点，，，，

则有：

，

所以.

故选：A

4．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.

【详解】由，

得，

由该曲线表示圆，

可知，

解得或，

故选：B.

5．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】对于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,对应l2也符合,

6．直线的倾斜角的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用直线的斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出．

【详解】设直线的倾斜角为．则， ，，

，即，解得．故选D．

【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数的单调性，属于基础题．

7．若点在直线：上，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据的几何意义为点到点距离的平方，其最小值即可转化为点到直线：的距离的平方.

【详解】由已知的几何意义为点到点距离的平方，

故其最小值为点到直线：的距离的平方，

即，

故选：B.

8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与其侧面三角形底边上的高的比值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知，画出正四棱锥的图像，根据题意条件，找到正四棱锥的高，侧面三角形的斜高，底面边长a之间的等量关系，然后带入中，借助勾股定理列出等量关系，即可求解出的值.

【详解】

由已知，可画出正四棱锥的图像，底面是边长为的正方形，顶点在底面的投影为，，为中点，为侧面的高，设，由已知可得：

，，即，

则，即，解得

或（舍去）.

故选：B.

二、多选题

9．下列直线中与直线：平行且距离为的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据两直线互相平行设直线方程，再结合两直线间距离公式解方程即可.

【详解】设与与直线：平行的直线为，

又，

解得或，

即该直线为或，

故选：AC.

10．已知集合，，且，则的值可以为（       ）

A．-6 B．-3 C．-2 D．2

【答案】AC

【分析】由集合表示直线上的点作为元素构成的点集，且除去点，结合两直线平行或直线过点，分类讨论，即可求解.

【详解】由方程，可得，即，

即集合表示直线上的点作为元素构成的点集，且除去点，

又由集合，

要使得，

当直线与平行时，可得，解得；

当直线过点时，即，解得，

所以的值可以为为或.

故选：AC.

11．已知向量，，，其中，均为正数，且，下列说法正确的是（       ）

A．与的夹角为钝角 B．

C．的最大值为2. D．，时，，，三个向量共面.

【答案】BCD

【分析】由，得到与的夹角为锐角，可判定A错误；根据，列出方程组，可判定B正确；由，结合基本不等式，可得判定C正确；设，列出方程组，求得的值，可判定D正确.

【详解】对于A中，向量，，可得，

所以与的夹角为锐角，所以A错误；

对于B中，由且，

因为，可得，即，

可得，可得，所以B正确；

对于C中，因为，均为正数，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以，解得，即的最大值为，所以C正确；

对于D中，当时，向量，

设，可得，

所以，解得，即，

所以向量三个向量共面，所以D正确.

故选：BCD.

12．如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（       ）

A．直线BC与平面所成的角等于 B．点到平面的距离为

C．异面直线和所成的角为. D．线段长度的最小值为

【答案】ABD

【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.

【详解】解：由题意得：

正方体的棱长为2

对于选项A：连接，设交于O点

平面

即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确；

对于选项B：连接，设交于O点

平面

点到平面的距离为,故B正确；

对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥

故异面直线和所成的角即为和所成的角

又

为等边三角形

故C错误；

对于选项D：过作，过作，连接PQ

为异面直线之间的距离，这时距离最小；

设，为等腰直角三角形，则，

也为等腰直角三角形，则

为直角三角形

故

当时，取最小值，故，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．直线：恒过的定点坐标为____________.

【答案】

【分析】首先变形直线方程，再利用即可得解.

【详解】由可得，

由可得，

所以该直线恒过的定点.

故答案为：.

14．若点在圆内，则实数的取值范围为____________.

【答案】

【分析】根据点在圆内可得不等式，求解即可.

【详解】解：由题意得

点在圆内

，解得

所以实数的取值范围为

故答案为：

15．已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________.

【答案】

【分析】通过对称转化，使得两点在直线异侧后求解

【详解】点在直线的同侧

设点关于的对称点为

解得，即

由题意，点为直线与的交点

直线的方程为：

故点的坐标为

故答案为：

16．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱和的中点，是侧面内的动点，且平面，当的外接圆面积最小时，三棱锥的外接球的表面积为____________.

【答案】

【分析】由已知，证明，取的中点，连接，证明，然后证明面平面，找到动点在侧面的轨迹，根据的外接圆面积最小确定点的位置，然后先计算外接圆半径，然后使用勾股定理再计算三棱锥的外接球半径，从而求得其表面积即可.

【详解】

由已知，如图所示，连接，因为，分别是棱和的中点，

所以且，所以四边形为平行四边形，所以,

平面，平面，所以平面，

取的中点，连接，取的中点，连接，，

因为，分别是棱和的中点，所以，平面，平面，所以平面，

而平面，， 所以平面平面，

而是侧面内的动点，且平面，

所以是棱内的动点，

因为平面， 平面，所以，

在中， ，所以外接圆半径为斜边的一半，

要使外接圆面积最小，即外接圆半径最小，即取得最小值，又，

所以为中点时取得最小值，

由，， ，为中点，所以，

设的外接圆半径为，，

三棱锥的外接球半径为，所以，

所以三棱锥的外接球表面积为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知，；

(1)若，且，求的坐标；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据向量模长的关系可得或，进而可得结果；

（2）分别求出的坐标，根据数量积为0可解出.

【详解】(1)因为，所以或，所以或

(2)因为

由得，

即，解得.

18．已知两条直线：和：，求满足下列条件的､的值.

（1），且过点；

（2），且坐标原点到这两条直线的距离相等.

【答案】（1），；（2），或，.

【分析】（1）由两线垂直的判定及点在直线上列方程组求参数即可；

（2）由两线平行的判定，两直线到原点距离相等即y轴截距互为相反数，列方程组求参数，注意验证所得结果是否存在两线重合的情况.

【详解】（1）知：，又过点有，

∴，代入得：，即，故.

（2）知：，则，

又坐标原点到这两条直线的距离相等，即y轴上的截距互为相反数，故，

∴

∴时，；时，；

将､代入直线方程验证可知： 均不重合，

∴，或，.

19．如图：在长方体中，，，，是的中点，是的中点.

(1)求异面直线，所成角的余弦值.

(2)求三棱锥的体积

【答案】(1)

(2)8

【分析】（1）以A为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用向量法即可求解；

（2）求出平面的法向量，即可用向量法求出到平面的距离，从而根据三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】(1)解：以A为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设异面直线，所成角为，则；

(2)解：，，，

设为平面的法向量，则，即，

令，得，

所以到平面的距离，

又，

所以.

20．已知圆经过坐标原点，且与直线相切，切点为.

(1)求圆的标准方程；

(2)过圆内点的最长弦和最短弦分别为和求四边形的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出直线的方程与线段的中垂线方程，联立这两条直线方程，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程；

（2）求出、，分析可知，进而可求得四边形的面积.

【详解】(1)解：设坐标原点为，则，线段的中点为，

线段的中垂线方程为，即，

直线的斜率为，由圆的几何性质可知，直线与直线垂直，

所以，直线的方程为，即，

联立，解得，即圆心，

圆的半径为，

故圆的标准方程为.

(2)解：过圆内点的最长弦为，

当过点的弦与直线垂直时，弦的长度取得最小值，即，此时，

由勾股定理可得，

此时，四边形的面积为.

21．如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.

（1）求直线与平面所成的角的大小；

（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）；（2）.

【详解】解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.

又平面平面，平面平面,

则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面，

延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.

OB=MO=，MO∥AB，则，，

所以，故，

所以AM与平面BCD所成的角为.

（2）CE是平面与平面的交线.

由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，

∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.

因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

，

，

所以，所求二面角的正弦值是.

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，

又平面平面,则MO⊥平面.

以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系如图.

OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），

M（0，0，），B（0，，0），A（0，，2），

（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.

因（0，，），平面的法向量为.

则有，所以，

即AM与平面BCD所成的角为.

（2），.

设平面ACM的法向量为，

由得.

解得，，取.

又平面BCD的法向量为，则

设所求二面角为，则.

22．已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点；

(1)求的取值范围；

(2)若，其中为坐标原点，点的轨迹与的中垂线交于点，求的面积.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由题意可得，直线斜率存在，联立直线和圆的方程，利用直线和圆有两个交点可知联立后所得方程，解方程即可.

（2）设，，利用可以表达出坐标的关系，根据韦达定理代入解得直线斜率，及长度，利用三角形面积公式求解.

【详解】(1)解：由题意得：

设直线的斜率为，由，得

解得

(2)设，，，

则

解得.

故直线方程为，故由圆的方程可知圆心坐标为，故该直线过圆心.

的中垂线方程为.

则的轨迹为，则

故，

若M在N的下方：，

若M在N的上方：

或.