2022年广东省实验中学中考数学二模试卷（含解析）

2022年广东省实验中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 据报道，年全国高考报名人数达到万，这是连续第四年全国高考人数超过万，其中万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，直线，被所截，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 下列几何体是由个相同的小正方体搭成的，从左往右看得到的视图是

A.
B.
C.
D.
 

7. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，由边长为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点和点，则

A.
B.
C.
D.

10. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，过作，交于，过作于，若，，则下列结论中：；；，其中结论正确的是

A. 只有
B. 只有
C. 只有
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
12. 因式分解：______．
13. 方程的解是______ ．
14. 曹老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子接缝忽略不计，如果圆锥形帽子的半径是，则这张扇形纸板的圆心角是______．
15. 抛物线经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是______．
16. 如图，为等边三角形，点，分别在，上，将沿折叠，使点落在边上的点处，连接，，若，则 ______ 结果用含的代数式表示
     

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
     
18. 如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求四边形的面积．
     

19. 先化简，再求值：，从，，中取一个合适的数作为的值代入求值．
20. 年月日，届冬季奥林匹克运动会在北京开幕，北京某高校大学生积极参与志愿者活动，奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整的两种统计图：
    
    根据图中提供的信息，回答下列问题：
    该校参加志愿者活动的大学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
    扇形统计图中，______，安保对应的圆心角为______度；
    小文和小芳是名展示志愿者中的其中两位，奥组委决定在该校名展示志愿者中任选人参加北京冬季奥运会开幕式，请用列表法或树状图，求小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率．
21. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．
    求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
    若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于不考虑其他因素，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
22. 如图，在中，，过点作于点．
    尺规作图，作边的垂直平分线，交边于点．
    若：：，求的值．
    已知，若点为平面内任意一动点，且保持，求线段的最大值．

23. 如图，已知点在反比例函数上，过点分别作轴，垂足为点，轴，垂足为点连接，将绕点顺时针旋转到，交反比例函数图象于点．
    若点，求；
    若，：：，求反比例函数解析式．

24. 【基础巩固】如图，内接于，若，弦，则半径______；
    【问题探究】如图，四边形内接于，若，，点为弧上一动点不与点，点重合．
    求证：；
    【解决问题】如图，一块空地由三条直路线段、、和一条道路劣弧围成，已知千米，，的半径为千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度即四边形的周长最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

25. 如图，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过、两点，交轴于另一点．
    已知：，；
    求抛物线的解析式；
    过点作直线的垂线交轴于点，平移直线交抛物线于点、两点，连结、若为以为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．
    在的条件下，设对称轴直线与轴交于，点为抛物线上对称轴左侧一点，直线交抛物线于另一点，点关于抛物线对称轴对称点，直线交抛物线对称轴于点，在点运动过程中长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念和绝对值的性质进行解答．
解答本题的关键是弄清绝对值的性质和相反数的概念．
相反数：只有符号不同而绝对值相等的两个数互为相反数．还可用相反数的性质解答：互为相反数的两个数相加为．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：，
．
，
．
，
．
．
．
故选：．
利用平行线的性质先说明与的关系，再利用平角求出得结论．
本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”和互补关系是解决本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时．
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
 

7.【答案】

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：是的中位线，，
，
在中，，是边上的中线，
则，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：为直径，
，
在中，，
，
．
故选：．
先利用圆周角定理得到，，再利用正切的定义得到，从而得到的值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
正确．
延长到，使，连接，如图：
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
即，
正确．
连接，

，，
，
．
，
．
设，则，
，
．
，
，
，
．
．
故．
正确．
正确的结论为．
故选D．
根据、、、四点共圆得出，证≌，推出，即可判断；
延长到，使，连接，证≌，推出，，求出，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可判断；
连接，证明，，根据，求出，根据，求出，即可得到答案．
本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，三角形全等的定方理和性质定理，勾股定理，锐角三角函数定义．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意知：，
，
故答案为：．
要使代数式有意义，需使被开方数，分母，得，即可知答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，关键是被开方数，分母，再进行求解．
 

12.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.【答案】

【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】

【解析】解：设扇形纸板的圆心角是，
根据题意得：，
解得：，
所以扇形的圆心角为，
故答案为：．
根据底面周长等于扇形的弧长列式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】，

【解析】解：关于的一元二次方程变形为，
把抛物线沿轴向右平移个单位得到，
因为抛物线经过点、，
所以抛物线与轴的两交点坐标为，，
所以一元二方程的解为，．
故答案为：，．
由于抛物线沿轴向右平移个单位得到，从而得到抛物线与轴的两交点坐标为，，然后根据抛物线与轴的交点问题得到一元二方程的解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】

【解析】解：过点作于点，

是等边三角形，
，
将沿折叠，使点落在边上的点处，
，，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，
，
设，则，
，，
，，
在中，，
解得，
，
．
故答案为．
由等边三角形的性质得出，由折叠的性质得出，，证明∽，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，设，则，由直角三角形的性质求出，则可求出答案．
本题考查了等边三角形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
 

17.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：，，
，
平行四边形是菱形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积．

【解析】证≌，得，再由，即可得出结论；
由等腰三角形的性质得，则平行四边形是菱形，再由勾股定理求出，则，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
 

19.【答案】解：


，
，，
取，
当时，原式．

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：该校参加志愿者活动的大学生共有：人，
则联络的人数为：人，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如下：

扇形统计图中，展示所占的百分比为：，
，
安保对应的圆心角为：，
故答案为：，；
解：根据题意列表如下：

共有种等可能的情况，其中小文和小芳同时被选中参加开幕式的有种情况，
小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率为：．
由运行的人数除以所占百分比得出该校参加志愿者活动的大学生共有人数，即可解决问题；
由展示的人数除以参加的总人数得出的值，再由乘以安保所占的比例即可；
列表得出共有种等可能的情况，其中小文和小芳同时被选中参加开幕式的有种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件，注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设第一次购进冰墩墩个，则第二次购进冰墩墩个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩个．
由知，第二次购进冰墩墩的数量为个．
设每个冰墩墩的标价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每个冰墩墩的标价至少为元．

【解析】设第一次购进冰墩墩个，由题意：第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．列出分式方程，解方程即可；
设每个冰墩墩的标价为元，由题意：全部销售完后的利润率不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：如图，

设，，
，
，
，
，
，
，
；
如图，以为直径作圆，连接交圆于两点，，则最大．连接，，

，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得负值舍去，
线段的最大值是．

【解析】由题意画出图形即可；
由勾股定理及锐角三角函数的概念可得出答案；
以为直径作圆，连接交圆于两点，，则最大．连接，，证明∽，得出，则可求出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，点和圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可知，
，
；
设的坐标为，
点在反比例函数上，过点分别作轴，垂足为点，轴，垂足为点，
，，
将绕点顺时针旋转到，
，，
，
，
，
，
：：，
，
，
，即，
反比例函数图象过、点，
，整理得，，
，即，
解得或，
当时，，
当时，不合题意，舍去，
，
，
反比例函数的解析式为．

【解析】由的坐标，根据题意即可求得，利用三角形面积公式即可求得；
设的坐标为，根据题意，根据：：，即可得到，即，利用反比例函数系数的几何意义得到，整理得，，从而得到，即，求得，进而求得为，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，性质的性质，三角形的面积，根据题意表示出点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】

【解析】解：连接，，作，

，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
证明：在上取点，使，连接，，

，，
为等边三角形，
，，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
≌，
，
；
解：存在．
千米，
当取得最大值时，四边形的周长最大，
连接，过点作于点，设，

，，，
≌，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
，
、、、四点共圆，
，
由可知，
故当是直径时，最大值为，
四边形的周长，
四边形的周长的最大值为：，
即四条慢跑道总长度即四边形的周长的最大值为．
连接，，得出的度数，作，由直角三角形的性质即可得出答案；
在上取点，使，连接，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
连接，过点作于点，设，证明≌，得出，可得出，由勾股定理求出，由可知，故当是直径时，最大值为，则可得出答案．
此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数值的知识，综合性较强，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线过，，且对称轴为，
，
解方程组得，
，
抛物线的解析式为：．
平移后的图像如下图所示：
直线解析式为：，且，
直线的解析式设为，代入，
，
解析式为：，
设平移后的解析式为：，
联立，
解得，
，，
过点作轴于，过点作轴于点，
则，
，
，
，
∽，
：：，
即：：，
解得，，
平移后的直线解析式为：或．

连接，如图所示，

点与点关于抛物线对称轴对称，
，
，
又，
，
可设的解析式为，的解析式为，分别代入，
得，，
解析式为：，
的解析式为：，
联立，解得，
，
，
同理可得，
设直线的解析式为，
代入、点坐标，
直线解析式为：，
当时，得．
，
在点运动过程中长是定值．

【解析】先根据对称轴和点、点坐标，代入解析式中，求解方程组即可；
画出平移后的直线根据，作和分别垂直轴，根据∽，对应边成比例，列方程求解即可；
根据抛物线上、两点关于对称轴对称，可推出，分别设、的解析式与抛物线联立，求出、点坐标，解得直线的解析式，代入点横坐标，即可求出纵坐标．
本题考查了二次函数表达式，二次函数与直角三角形的综合以及定值问题等，分类讨论以及用解析法解决定值问题是解决本题的关键．