2022年北京市石景山区中考数学一模试卷（含解析）

02022年北京市石景山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 在中，，，，的值可能是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是

A. 长方体
B. 正方体
C. 三棱柱
D. 圆柱

3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，中，，，分别为，上的点，，，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 方程组的解为

A.  B.  C.  D.

7. 研究与试验发展经费是指报告期为实施研究与试验发展活动而实际发生的全部经费支出．基础研究活动是研究与试验发展活动的重要组成．下面的统计图是自年以来全国基础研究经费及占经费比重情况．
   
   根据统计图提供的信息，下面四个推断中错误的是

A. 年至年，全国基础研究经费逐年上升
B. 年至年，全国基础研究经费占经费比重逐年上升
C. 年至年，全国基础研究经费平均值超过亿元
D. 年全国基础研究经费比年的倍还多

8. 已知二次函数的与的部分对应值如表：

根据表格中的信息，得到了如下的结论：
二次函数可改写为的形式
二次函数的图象开口向下
关于的一元二次方程的两个根为或
若，则
其中所有正确的结论为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
10. 分式方程的解为______ ．
11. 如图，将沿方向平移一定的距离得到请写出一条正确的结论，可以为______．
    
     

12. 在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为______．
13. 已知，，若，，请借助如图直观分析，通过计算求得的值为______．
    
     

14. 如图，为的直径，点在的延长线上，，分别与相切于点，，若，则的度数为______．
     

15. 某班学生分组做抛掷瓶盖实验，各组实验结果如下表：

根据表中的信息，估计掷一枚这样的瓶盖，落地后盖面朝上的概率为______ 精确到

16. 如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨．有，两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”吨数运输路程千米数最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库填“”或“”装运；若公司计划从原料库安排一辆装有吨的运输车向，，三个工地运送当日所需的水泥，且：：：：，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序______按运送的先后顺序依次排列即可．

三、解答题（本大题共12小题，共68分）

17. 计算：
18. 解不等式组：，并写出它的最大整数解．
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知：如图，中，，．
    求作：线段上的一点，使得．
    作法：
    以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
    分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的右侧相交于点；
    作直线，交于点．
    即为所求．
    根据小伟设计的尺规作图过程，
    使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接，，．
    ，，
    是的垂直平分线______填推理的依据．
    ．
    ．
    ．
    ．
    ______填推理的依据．
21. 已知：关于的一元二次方程．
    求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
    选择一个你喜欢的整数的值代入原方程，并求出这个方程的解．
22. 如图所示，中，，，分别为，的中点，连接并延长到点，使得，连接，，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．
23. 在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．
    当时，求，的值；
    过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别是，当时，点位于点上方，直接写出的取值范围．
24. 如图，为的直径，，为上两点，，连接，，，，过点作交的延长线于点．
    求证：直线是的切线；
    若，，求，的长．
25. 年是中国共产主义青年团成立周年，某中学为普及共青团知识，举行了一次知识竞赛百分制为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了名学生的成绩，并对数据成绩进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．
    七年级学生竞赛成绩的频数分布表及八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：

七年级学生竞赛成绩数据在这一组的是：

七、八两年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数以及方差如下：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中，的值：______，______；八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是______；
在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是______填“七”或“八”年级，理由为______；
竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七、八年级各有名学生，估计这两个年级成绩优秀的学生共约______人．

26. 在平面直角坐标中，点在抛物线上．
    求抛物线的对称轴；
    抛物线上两点，，且，．
    当时，比较，的大小关系，并说明理由；
    若对于，，都有，直接写出的取值范围．
27. 如图，中，，，为边上一点不与点重合，，点在的延长线上，且，连接，过点作的垂线，交边于点．
    依题意补全图形；
    求证：；
    用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点的“关联三角形”．
    已知点，求点的“关联三角形”的面积；
    如图，已知点，的圆心为，半径为若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围；
    已知的半径为，，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：中，，，，
，
符合，
故选：．
首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，然后得到值．
考查了三角形的三边关系及在数轴上表示不等式的解集的知识，解题的关键是正确的利用三边关系列出不等式，难度不大．
 

2.【答案】

【解析】解：由图可知，这个几何体是长方体．
故选：．
根据四棱柱的展开图解答．
本题考查了展开图折叠成几何体，熟记四棱柱的展开图的形状是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由题知：，，，
，，，，
符合题意．
故选：．
由题知：，，进而解决此题．
本题主要考查数轴上的点表示的实数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的实数以及绝对值是解决本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、，无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
．
故选：．
根据勾股定理的逆定理得到，根据，得到，根据等腰三角形的两底角相等得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质得到是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
故选：．
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

7.【答案】

【解析】解：由频数分布直方图得，年至年，全国基础研究经费逐年上升，故A正确，不符合题意；
由条形统计图得，年至年，全国基础研究经费占经费比重和年持平，故B错误，符合题意；
年至年，全国基础研究经费平均值为，故C正确，不符合题意；
，故D正确，不符合题意，
故选：．
根据统计图逐项分析可得答案．
本题考查折线统计图，能从统计图中得到相关的信息是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：和时的函数值相同，都是，
抛物线的对称轴为直线，
当时，
抛物线的顶点为，
二次函数可改写为的形式，
所以正确；
由表格可知时函数的值最小，
抛物线的开口向上，
故错误；
与关于对称轴对称，
时，，时，，
关于的一元二次方程的两个根为或，
故正确；
抛物线的开口向上，和时，，
若，则或，
故错误；
综上所述：其中正确的结论有．
故选：．
根据表格数据求出顶点坐标，即可判断；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断；根据函数的图象和性质可以判断．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
 

9.【答案】

【解析】解：代数式有意义，
，即．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键
 

10.【答案】

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

11.【答案】答案不唯一

【解析】解：将沿方向平移一定的距离得到，
则答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
根据平移的性质即可得到结论．
本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：点，都在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：．
根据反比例函数系数得到，进而即可得到．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数系数得到是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，

由图形可得：，
，
，，
．
故答案为：．
结合图形得出等式：边长为的正方形的面积个边长为的正方形面积和边长为的正方形面积个长为宽为的长方形面积的和，再利用平方根的意义解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，利用图形中的面积关系得出等式是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，，如图，

，分别与相切于点，，
，，，
，．
四边形的内角和为，
，
．
．
故答案为：．
连接，，利用切线的性质定理和切线长定理求得，，利用四边形的内角和定理和圆周角定理解得即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的性质定理和切线长定理，圆周角定理，四边形的内角和，连接，是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：掷一枚这样的瓶盖，落地后盖面朝上的概率为．
故答案为：．
根据用频率估计概率解答即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，

若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从料库装运，
故答案为：；
，，，，
，，
：：：：，
，．
当按运输时，总的“吨千米数”为：；
当按线路运输时，总的“吨千米数”为：；
当按线路运输时，总的“吨千米数”为：，
，
当按线路运输时，总的“吨千米数”最小．
故答案为：．
通过计算，比较与的大小即可得出结论；按向三个工地运送水泥的顺序的路线分别计算总的“吨千米数”后，比较大小即可得出结论．
本题主要考查了有理数的混合运算，方案的优选，勾股定理，利用图形经过计算得出结论是解题的关键．
 

17.【答案】解：


．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是，
它的最大整数解是．

【解析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集．
 

19.【答案】解：

，
当时，
原式

．

【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序，用了整体代入思想．
 

20.【答案】线段垂直平分线的性质  余角的性质

【解析】解：如图所示，即为所求；
证明：连接，，．
，，
是的垂直平分线线段垂直平分线的性质，
．
．
．
．
余角的性质，
故答案为：线段垂直平分线的性质，余角的性质．
根据题意画图即可；
连接，，根据线段垂直平分线的性质和余角的性质健康得到结论．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，余角的性质，正确地作出图形是解题的关键．
 

21.【答案】证明：
，
不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
解：取，此时方程化为，
，
或，
所以，．

【解析】先计算根的判别式的值得到，从而根据根的判别式的意义得到结论；
可以取，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了数轴．
 

22.【答案】证明：点为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
是边的中点，，
，
平行四边是菱形；
解：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
在中，，
，
，
，
，
菱形的面积．

【解析】先证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，即可得出结论；
由三角形中位线定理和和勾股定理，求出和的长，再根据菱形的面积公式即可求出结论．
本题考查菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形菱形是解题的关键．
 

23.【答案】解：将代入，
，
．
，
将点代入，
，
；

当时，
，，
点位于点上方，
，
，
当时，点位于点上方，
，
．

【解析】将代入，求出的值，得到点坐标，再将点代入，即可求出的值；
把分别代入直线与直线的解析式，求出，两点的纵坐标，根据，即可求解．
本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，表示出、的坐标．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
解：连接，

为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长为，的长为．

【解析】连接，根据已知易得，从而利用平行线的性质可求出，即可解答；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出，，然后再利用等腰直角三角形的性质，平行线的性质，以及同弧所对的圆周角相等证明，再利用圆内接四边形对角互补可得，从而证明∽，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】      八  八年级成绩的平均分大于七年级年级成绩的平均分答案不唯一，合理均可 

【解析】解：，，
八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，，；

在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是八年级，理由如下，
八年级成绩的平均分大于七年级年级成绩的平均分，
八年级的成绩好，
故答案为：八，八年级成绩的平均分大于七年级年级成绩的平均分答案不唯一，合理均可；

估计这两个年级成绩优秀的学生共约：人，
故答案为：．
根据频率频数总数可得的值，根据中位数的概念可得的值，乘以八年级表示这组数据的百分比即可求解；
从平均数和中位数及方差等方面比较得出答案答案不唯一，合理均可；
用总人数乘以样本中七、八年级成绩分及以上的学生人数和所占比例即可得．
本题主要考查方差、中位数、众数及扇形统计图，解题的关键是掌握众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用．
 

26.【答案】解：将代入得，
抛物线与轴交点坐标为，
又抛物线经过，
抛物线对称轴为直线．
，
抛物线开口向上，
当时，点，．
，，
点到对称轴距离小于点到对称轴距离，
．
设点关于直线的对称点为，
则，
，
，
，
，
当或时，，
解得或．

【解析】由抛物线解析式可得抛物线与轴交点坐标，再由抛物线经过可得抛物线对称轴．
由可得与的取值范围，从而可得点，到对称轴的距离大小关系，进而求解．
设点关于直线的对称点为，由可得，，通过解不等式求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

27.【答案】解：如图所示：

证明：过点作于，如图所示：

，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，证明：
≌，
，
≌，
，
．

【解析】根据题意作出相应的图形即可；
过点作，则利用可证得≌，从而有，再证得，利用证得≌，即有；
结合可得，，可求求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系．
 

28.【答案】解：点关于轴对称的对称点，点关于轴对称的点，
；

的圆心为，半径为，
四边形是的外接四边形如图中，

，
点的“关联三角形”与有公共点，且，
；

当与相切于点时，如图中，

，，
，
，
当时，点的“关联三角形”与有四个公共点．
当与相切于点时，如图中，

，，
，
当时，点的“关联三角形”与有四个公共点，
综上所述，点的“关联三角形”与有四个公共点，的取值范围为：或．

【解析】根据轴，轴对称，求出相应的对称点坐标，根据三角形面积公式求出面积即可；
四边形是的外接四边形，求出点的坐标，即可判断；
分两种情形：当与相切于点时，如图中，当与相切于点时，如图中，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点的“关联三角形”的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．