2022年河北省唐山市迁安市中考数学一模试卷（含解析）

2022年河北省唐山市迁安市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分）

1. 若，填上运算符号使得结果最大的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是

A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形

3. 若，在数轴上表示如图所示，则

A.  B.
C.  D.

4. 下列各组数中相等的是

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

5. 如图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为

A.
B.
C.
D.

6. 估计的值应在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7. 一副三角板如图放置，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 抛物线的顶点一定不在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9. 如图，动点在反比例函数图象上，轴于点，是轴上动点．当点从原点往轴正半轴运动时，的面积将会

A. 逐渐减小，接近
B. 不变，永远是
C. 不变，永远是
D. 不变，但不知道具体值
 

10. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，抛物线交轴于、两点，则下列判断中，错误的是

A. 图象的对称轴是直线
B. 当时，随的增大而减小
C. 一元二次方程的两个根是和
D. 当时，
 

12. 如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
    作线段的垂直平分线；
    作线段的垂直平分线，交于点；
    以为圆心，长为半径作．
    结论：点是的外心；结论：
    则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是

A. 和Ⅱ都对
B. 和Ⅱ都不对
C. 不对，对
D. 对，Ⅱ不对

13. 阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．某中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型科普，文学，体育，其他数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是

A. 类型的人数为人
B. 类型所占百分比为
C. 类型所对应的扇形的圆心角为
D. 样本容量为

14. 问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，求证：四边形是菱形．
    几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是
    甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
    乙：连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形；
    丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．

A. 甲、乙对，丙错 B. 乙、丙对，甲错
C. 三个人都对 D. 甲、丙对，乙错

15. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为将二次函数的图象经过左右平移个单位再上下平移个单位得到图象，使得图象的顶点落在线段上．下列关于，的取值范围，叙述正确的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

16. 如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共12分）

17. 记者从科技局获悉，某市今年将继续加大科技投入力度，科研经费投入总量达到亿元，比去年增加，则去年某市的科技经费投入总量为______亿元，今年科研经费投入总量达到亿元，用科学记数法表示为______元结果保留二位小数．
18. 如图，已知圆的半径，以为边分别作正五边形和正六边形，则______，图中阴影部分的面积为______结果保留．
     

19. 如图，小明在甲楼某层的点测得乙楼底点的俯角为，此时他距地面的高度为米，甲楼顶点距离点米，当他站在甲楼顶时，测得乙楼顶点的仰角为，则甲乙两楼之间的水平距离为______，乙楼的高度为______结果保留根号
    
    
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

20. 对于任意的实数，，规定运算“”如下：．
    当，时，求的值；
    若，，求与的值．
21. 某中学八年级班名老师决定带领本班名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为元，现有、两种购票方案可供选择：方案：教师全价，学生半价；方案：不分教师与学生，全部六折优惠．
    请用含的代数式分别表示选择，两种方案所需的费用；
    当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
22. 为了更好的学习如何阻止新冠肺炎传播知识，某校举行“新冠肺炎疫情防控”答题活动．甲、乙两班各选出名学生参加答题，其答题成绩满分为分如下表所示：

甲、乙两个班这名学生答题成绩的中位数是______，众数是______．
求出乙班学生答题成绩的平均数．
若从甲、乙两班答题成绩“分”的名学生中随机抽取名参加全县知识答题，求这名学生恰好来自同一个班的概率．

23. 如图是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上，现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图所示，根据图象解答下列问题：
    图中折线表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系；铁块的高度为______；
    求的函数表达式；
    求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间．

24. 如图，是的直径，是的切线，点在上，与相交于点．
    若，求证：≌；
    若，，求的长；
    若，，求劣弧的长．
25. 如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
    当小张滑到离处的水平距离为米时，其滑行高度为米，求出，的值；
    在的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
    若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于米，求的取值范围．

26. 问题提出：
    如图，是边长为的等边三角形，是边上一点且平分的面积，则线段的长度为______；
    如图，的半径为，弦，是上一动点，试判断的面积是否存在最大值．若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：
    如图，某市要规划一块形状不规则的四边形公园，满足米，米，，规划局打算过点修一条笔直的小路，把四边形分成面积相等且尽可能大的两部分，分别规划成不同的景观以供市民休闲观赏．问是否存在满足上述条件的小路？若存在，求出小路的长；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
填上运算符号使得结果最大的是选项．
故选：．
根据各个选项中的符号，可以计算出各自的结果，然后比较大小，即可解答本题．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是掌握有理数的加减乘除法的计算方法．
 

2.【答案】

【解析】解：观察图形知，这个三角形可能是锐角三角形；
故选：．
根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类．
 

3.【答案】

【解析】解：由数轴得：，
，故选项A错误；
，故选项B错误；
，
，故选项C错误；
，
，故选项D正确，
故选：．
根据实数与数轴上的点之间的对应关系求解．
本题考查的是有理数的大小比较，解题的关键是利用好数轴．
 

4.【答案】

【解析】解：与，不相等，故此选项不合题意；
B.与，不相等，故此选项不合题意；
C.与，相等，故此选项符合题意；
D.与不相等，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：边长为、的长方形周长为，面积为，
，，
，



．
故选：．
根据边长为、的长方形周长为，面积为，得到，的值，代数式提公因式，整体代入求值即可得出答案．
本题考查了因式分解提公因式法，考查了整体思想，整体代入求值是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：原式


，
，
，
故选：．
先化简二次根式，再估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：延长交于，
是的外角，
，
同理：，
，
，
故选：．
延长交于，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

8.【答案】

【解析】解：，
该抛物线的顶点坐标为，
当时，，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；
当时，此时顶点在第四象限，故选项D不符合题意；
当时，，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；
故选：．
利用分类讨论的方法可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟知每个象限中点的坐标特征．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，

则，
设点，
则，
当点从原点往轴正半轴运动时，的面积将会不变，始终等于，
故选：．
设点，过点作可得，根据，可得出结果．
本题主要考查三角形面积和反比例函数系数的几何意义，熟练掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

10.【答案】

【解析】解：

，
故选：．
先对括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，即可解答本题．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：、对称轴为直线，正确，故本选项错误；
B、当时，随的增大而减小，正确，故本选项错误；
C、一元二次方程的两个根是和正确，故本选项错误；
D、应为当时，，故本选项正确．
故选：．
根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与轴的交点问题，以及二次函数与一元二次不等式的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故结论Ⅰ正确；
点，的位置不确定，
和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．
故选：．
根据三角形外心的定义对结论Ⅰ进行判断；利用点、有任意性可对结论Ⅱ进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心．
 

13.【答案】

【解析】解：人，
样本容量为，故D正确，不符合题意；
，
类型所对应的扇形的圆心角为，故C正确，不符合题意；
，
类型所占百分比为，故B错误，符合题意；
人，
类型的人数为人，故A正确，不符合题意；
说法错误的是，
故选：．
根据类人占可计算样本容量，根据占可计算其所对扇形的圆心角度数，根据类人总样本容量即可得所占百分比，总样本容量减去，，三类人数即可得类人数．
本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：甲：四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，≌，
，，
，
四边形是菱形；
乙：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：．
由全等三角形的性质证出，则四边形是菱形，故甲对；再由菱形的性质得，，，则，得四边形是平行四边形，然后由，得平行四边形是菱形，故乙对，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明、是解题的关键，属于中考常考题目．
 

15.【答案】

【解析】解：，
二次函数的顶点坐标为，
点坐标为，点的坐标为，
二次函数图象是向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象，
平移后的顶点坐标为，
图象的顶点落在线段上，
，，
解得：，，
故选：．
先求出二次函数的顶点坐标，根据题意，二次函数图象是向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象，平移后的顶点坐标为，进而得到满足条件的、的不等式，解之即可．
本题是一道二次函数与一元一次不等式的综合题，主要考查了二次函数的性质、图象平移等知识，解答的关键是认真审题，提取有效信息，运用数形结合法，进行推理计算．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，，为圆的直径，
，
与关于点对称，
，
点运动的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

点组成的图形与直线有且只有一个公共点，
直线与圆相切．
设直线直线与轴，轴相交于，，
作，垂足为，
，当时，，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，，
∽，
：：，
代入，，，
，
，
．
故选：．
根据点的对称性和直径所对的圆周角是直角，可知点的运动轨迹；当点所组成的图形与直线有且只有一个公共点时，即直线与圆相切，根据∽求出的值，即可求出的值．
本题考查了一次函数与圆的综合题，确定点的运动轨迹和点的坐标是解决本题的关键，本题难度较大．
 

17.【答案】 

【解析】解：亿元，
亿元元元，
故答案为：，．
根据今年比去年增加求出去年某市的科技经费投入总量，根据科学记数法表示亿元，保留二位小数即可．
本题考查了科学记数法与有效数字，掌握亿是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：，
先根据多边形内角和公式计算出、的度数，再求出，利用扇形面积公式计算即可．
本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
 

19.【答案】米  米

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：
米，，，
在中，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
甲乙两楼之间的水平距离为米，乙楼的高度为米，
故答案为：米，米．
过点作，垂足为，根据题意可得米，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：当，时，



，
的值为；
，，
，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
原方程组的解为，
的值为，的值为．

【解析】根据规定运算“”，进行计算即可解答；
根据题意可得关于，的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程的步骤，以及理解材料中规定的运算是解题的关键．
 

21.【答案】解：方案：，
方案：；
当时，


元，


元，
，
选择方案更为优惠．

【解析】列出代数式化简即可；
将代入代数式求值比较大小即可得出答案．
本题考查了列代数式，代数式求值，根据题意列出两种方案所需费用的代数式是解题的关键．
 

22.【答案】分  分

【解析】解：将这个数据重新排列为：、、、、、、、、、，
所以甲、乙两个班这名学生答题成绩的中位数是分，众数为分，
故答案为：分，分；
乙班学生答题成绩的平均数为分；
甲、乙两班竞赛成绩“分”的名学生中甲班名学生分别记为、，乙班名学生分别记为、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中这名学生恰好来自同一个班的结果有种，即、、、，
这名学生恰好来自同一个班的概率为．
由中位数和众数的定义即可求解；
根据算术平均数的定义列式计算即可．
画树状图，共有种等可能的结果，其中这名学生恰好来自同一个班的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率以及统计表、中位数、众数等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】乙 

【解析】解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不同，
表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；
折线中，在点表示乙槽水深，也就是铁块的高度；
故答案为：乙，；
设的解析式为，将点，代入得：
，解得，
的解析式为；
设的解析式为，将点，代入得：
，解得，
的解析式为；
联立方程组，
，
答：注水分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同．
注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，铁块的高度为；
用待定系数法即得的解析式；
求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练运用待定系数法求出相关直线解析式．
 

24.【答案】证明：是直径，
，
，
是切线，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，，
∽，
，
，
；
连接，

，
，
，
是的直径，
，
，
，
劣弧的长．

【解析】根据证明三角形全等即可；
证明∽，利用相似三角形的性质求解即可；
连接，根据圆周角定理及直角三角形的性质可得，再利用弧长公式可得答案．
本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
 

25.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，
将其代入得：，
解得，．
，．
由可得抛物线方程为：，
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：
，
解得：，舍，
故运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米．
抛物线经过点，
，
抛物线：，
当时，运动员到达坡顶，
即，
．

【解析】根据题意将点和代入求出、的值即可；
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意列出方程，解出即可；
求出山坡的顶点坐标为，根据题意即，再解出的取值范围即可．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 

26.【答案】

【解析】解：如图中，

平分的面积，
，
，
，，
；
故答案为：；
存在．
如图，

当三角形的边上的高最大时，三角形的面积最大，即过圆心，连接．
，
，
，
，
的最大值为．
；
存在．
理由：如图中，如图，取的中点，连接，．

米，米，
，
，
是等边三角形，
，米，
，
，
，
，
，
米，
，的面积是定值，
要使得四边形的面积最大，只要的面积最大即可，
为定值，为定角，
当是等边三角形时，的面积最大，
四边形的面积的最大值平方米，
过点作于，则米，
平分四边形的面积，
平方米，
，
米，
米，
米，
米．
根据题意，是的中线，利用等腰三角形的性质推出，利用勾股定理求解即可解决问题．
当三角形的边上的高最大时，三角形的面积最大，即过圆心，连接由勾股定理求出的最大值即可得出答案；
取的中点，连接，首先证明，求出，推出的面积是定值，要使得四边形的面积最大，只要的面积最大即可，因为为定值，为定角，推出当是等边三角形时，的面积最大，求出四边形的面积，构建方程解决问题即可．
本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．