2022年内蒙古通辽市科左中旗中考数学二模试卷（含解析）

2022年内蒙古通辽市科左中旗中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，直线，相交于点，平分，，则

A.
B.
C.
D.

3. 一年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为米其中，数据用科学记数法表示正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 变量，的一些对应值如下表：

根据表格中的数据规律，当时，的值是

A.  B.  C.  D.

5. 计算的结果为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点是内一点，，平分，是边的中点，延长线段交边于点，若，，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，为的直径，，，则的长度为

A.
B.
C.
D.

10. 在平面直角坐标系中，将抛物线为常数向右平移个单位长度所得图象的顶点坐标为，当时，代数式的最大值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

11. 因式分解：______．
12. 上学期间聪聪连续天的体温数据如下单位：：，，，，关于这组数据的中位数为______．
13. 若关于的分式方程有增根，则的值为______．
14. 若抛物线与轴两个交点间的距离为，对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后抛物线的顶点坐标为______．
15. 如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是______．
16. 函数的自变量的取值范围是______ ．
17. 已知，，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

18. ．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题，原文如下：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚疼减一半，六朝才得到其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．大意为：有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了多少里路？
21. 在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．要求仅用无刻度直尺；保留画图痕迹．
    在图中，在直线上找到一点，作，使得；
    在图中，在直线上找到一点，作，使得．

22. 某校社团活动开设的体育选修课，篮球，足球，排球，羽毛球，乒乓球，每个学生选修其中的一门．学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图．
    请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
    该校共有名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球的学生约有多少人？
    该班的其中某各同学，人选修篮球，人选修足球，人选修排球若要从这人中任选人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的人恰好是人选修篮球，人选修足球的概率．

23. 我市准备在相距千米的，两工厂间修一条笔直的公路，但在地北偏东方向、地北偏西方向的处，有一个半径为千米的住宅小区如图，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？参考数据：，

24. 新华书店决定用不多于元购进甲乙两种图书共本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的倍，若用元购进甲种图书的数量比用元购进的乙种图书的数量少本．
    甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
    新华书店决定甲种图书售价为每本元，乙种图书售价每本元，问书店应如何进货才能获得最大利润？购进的两种图书全部销售完
25. 如图，为的直径，为的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，连接．
    求证：；
    若，，求的长．
     

26. 已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．
    抛物线的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______；
    如图，是否存在点，使四边形的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    如图，连接交于点，当：：时，请求出点的坐标；
    如图，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
本题考查了相反数，正确把握相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
平分，
，
．
故选：．
先根据对顶角相等求得的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后利用邻补角的定义可求答案．
本题考查了角平分线的定义以及对顶角相等的性质，是基础题，比较简单．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】解：由表格知：
当时，．
故选：．
根据表格找到，的关系，再求值．
本题考查求函数值，根据表格找到，之间的对应关系是求解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：原式
，
故选：．
先利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算乘方，然后再算单项式除以单项式．
本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的除法底数不变，指数相减，幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：延长交于，
平分，
，
在和中，
，
≌
，，
，，
，
，
，
，
故选：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：点在直线上，
，
解得，，
由图象可得，在点的右侧，直线在直线的下方，
不等式的解集为，
故选：．
根据点在直线上，可以得到的值，然后根据函数图象，可以得到在点的右侧，直线在直线的下方，从而可以得到不等式的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】

【解析】解：，，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形，，，
，，，
，，
平行四边形为矩形，
，
故选：．
由菱形的性质和勾股定理求出，再证出平行四边形为矩形，得即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：连接，如图：

，
，
为的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
连接，由，得，又为的直径，可得，故是等腰直角三角形，可得．
本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握同等圆中相等的圆周角所对的弦相等．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线为常数的顶点坐标为，
将抛物线为常数向右平移个单位长度所得图象的顶点坐标为，
，，
，
当时，代数式的值随的增大而减小，
在范围内，当时，代数式的有最大值，最大值为：，
故选：．
先求得抛物线的的顶点坐标，进而求得平移后的顶点，根据题意得出，根据二次函数的性质求得即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，求得代数式关于的关系式是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解： ，
，
．
故答案为 ．   

12.【答案】

【解析】解：这组数据从小到大排列为，，，，，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
直接根据中位数的定义求解即可．
此题考查了中位数，将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数．
 

13.【答案】

【解析】解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，．
故答案为．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

14.【答案】

【解析】解：抛物线与轴两个交点间的距离为，对称轴为直线，
抛物线与轴两个交点坐标为，，
抛物线解析式为，即；
，
抛物线的顶点坐标为，
点向左平移个单位，再向下平移个单位得到对应点的坐标为，
平移后抛物线的顶点坐标为．
故答案为．
先利用对称性得到抛物线与轴两个交点坐标为，，利用交点式写出抛物线解析式为，利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，利用点平移的坐标变换规律得到平移后抛物线的顶点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
连接 ，易求得圆 的半径为 ，扇形的圆心角的度数，然后根据 即可得到结论．
【解答】
解：连接 ，

， ，
是等边三角形，
，
的半径为 ，
，
，
，
，
，
，
于点 ，
， ，
，


．
故答案为 ．   

16.【答案】且

【解析】解：根据二次根式的意义可知：，即，
根据分式的意义可知：，即，
且．
根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

17.【答案】

【解析】解：，，
．
故答案为：．
首先将原式提取公因式，进而分解因式求出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式再分解因式是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

．

【解析】先计算三角函数，负整数指数幂，零指数幂及去绝对值，再根据实数的混合运算进行运算即可．
本题主要考查实数的混合运算，本题是中考必考题，题目比较简单，属基础题．掌握实数混合运算顺序及特殊三角函数值是本题解题基础．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，
原式

．

【解析】先通分算括号内的，再约分，化简后将的值代入．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式化简．
 

20.【答案】解：设这个人第一天走了里，则第二天走了里，根据题意得
，
解得：，
里，
答：这个人第二天走了里．

【解析】可设第一天走了里，从而可表示出其余天所走的路程，即可列出方程求解．
本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
 

21.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，即为所求．
 

【解析】构造等腰直角三角形解决问题即可；
取格点，，作直线交直线于点，连接，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：总人数人，组的人数人，
所以组的人数人，
频数分布直方图为：


估计该校学生体育选修课选修篮球的学生约有人；

列表如下：

共有种等可能的结果数，其中选出的人恰好人选修篮球，人选修足球的结果数为，
所以选出的人恰好人选修篮球，人选修足球的概率为．

【解析】利用组的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，再计算出组人数，然后计算出组人数后补全频数分布直方图；
用总人数乘以样本中项目人数所占比例即可；
利用列表法展示所有种等可能的结果数，再找出选出的人恰好人选修篮球，人选修足球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．也考查了统计图．
 

23.【答案】解：过点作于
，
，
，
即，
．
答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．

【解析】根据题意，在中，，，千米，是否搬迁看点到的距离与的大小关系，若距离大于千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求点到的距离，作于点．
考查了解直角三角形的应用方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线高，原则上不破坏特殊角、、．
 

24.【答案】解：设乙种图书进阶每本元，则甲种图书进阶为每本元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种图书进阶每本元，乙种图书进阶每本元；
设书店甲种图书进货本，总利润为元，
由题意得：，
，
解得：，
随的增大而增大，
当最大时最大，
当时，最大元，
此时，乙种图书进货本数为本
答：书店甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润是元．

【解析】设乙种图书进阶每本元，则甲种图书进阶为每本元，由题意：用元购进甲种图书的数量比用元购进的乙种图书的数量少本．列出分式方程，解方程即可；
设书店甲种图书进货本，总利润为元，由题意：甲种图书售价为每本元，乙种图书售价每本元，求出，再由新华书店决定用不多于元购进甲乙两种图书共本进行销售，列出的一元一次不等式，解得，再由一次函数的性质求出最大利润即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】证明：连接，

是的切线，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
在中，，
，
，
，
或舍去，
，
，，
∽，
，
，
在中，，
，
，
，
的长为．

【解析】连接，根据切线的性质可得，再利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，即可解答；
根据同弧所对的圆周角相等可得，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而利用勾股定理求出，的长，然后证明∽，利用相似三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：函数的表达式为：，
即：，
解得：．
故抛物线的表达式为：．
顶点坐标为；
故答案是：；；

不存在，理由：
如答图，连接，过点作轴的平行线交于点，

直线的表达式为：，
设点，点，
则，
整理得：，
解得：，故方程无解，
则不存在满足条件的点；

，
，
：：，
，，
则点；

如答图，设直线交轴于点，

，，
，
，
则直线的表达式为：，
联立方程，得
解得：舍去正值，
故点
函数的表达式为：，即可求解；
利用，即可求解；
：：，则，即可求解；
，，则，故，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．