2022年北京市密云区中考数学二模试卷（含解析）

2022年北京市密云区中考数学二模试卷

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是

A.  B.  C.  D.

2. 年月日，神舟十三号载人飞船升空并与天和核心舱自主快速交会对接航天员翟志刚、王亚平、叶光富开始了长达半年的太空驻留．农历除夕三位航天员在遥远的太空专门发来视频向祖国和人民送上祝福这是中国人首次在距离地球米的“中国宫”里迎新春、过大年．将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，如果，那么下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动．深受运动员、志愿者、媒体记者及工作人员的喜爱．一枚小小的徽章不仅是参与奥运盛会的证明，更是交流奥林匹克精神与世界文化的小窗口．在年北京冬奥会上徽章交换依然深受欢迎．下列徽章图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

5. 五边形的内角和为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线，如果，，那么的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 某校在评选“交通安全在我心”优秀宣传小队的活动中，分别对甲、乙两队的名学生进行了交通安全知识考核，其中甲、乙两队学生的考核成绩如图所示，下列关系完全正确的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶，下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量升与行驶时间小时之间的相关对应数据，则与满足的函数关系是

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系
C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系

二．填空题（本题共8小题，共16分）

9. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是______．
10. 分解因式：______．
11. 如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，那么 ______ 填“”，“”或“”

12. 已知，则代数式的值为______．
13. 如图，点在的平分线上，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______只写一个即可不添加辅助线
     

14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、在双曲线上，轴于，轴于，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为______．

15. 某学习小组进行摸球试验，在一个暗箱里放了个只有颜色不同的小球，将小球搅匀后任意摸出一个记下颜色，并放回暗箱再次将球搅匀后任意摸出一个，不断重复．下表是实验过程中记录的摸到白球的相关数据：

请估计从暗箱中任意摸出一个球是白球的概率为______精确到，并以此推断暗箱中白球的个数为______．

16. 某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：
    为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在、两家图文社共印制了张宣传单，印制费用共计元，则街道居委会在图文社印制了______张宣传单；
    为扩大宣传力度街道，居委会还需要再加印张宣传单，在、两家图文社中选择图文社更省钱______填或．

三．计算题（本题共1小题，共5分）

17. 计算：．

四．解答题（本题共11小题，共63分）

18. 解不等式组，并写出它的非负整数解．
19. 阅读材料并解决问题：

使用直尺和圆规补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接和．
在和中，
，
≌，
，
平分，
____________，
即为的边的高线______填写推理的依据

20. 已知关于的一元二次方程．
    求证：此方程总有两个不相等的实数根
    如果方程有一个根为，求的值．
21. 如图，在平行四边形中，平分，点为边中点，过点作的垂线交于点，交延长线于点．
    求证：平行四边形是菱形；
    若，，求的长．

22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点．
    求这个一次函数的表达式；
    当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．

23. 如图，在中，，以为直径的与交于点，是的切线．
    计算的度数；
    若，，求线段的长．
     

24. 某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点水柱距离水面的高度为米．

请解决以下问题：
请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．
在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
求表格中的值．
以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升米．若圆形喷水池的半径为米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．其中

25. 共享单车近日成为市民新宠，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具．为了解甲、乙两个社区居民每周使用共享单车的时间情况，从这两个社区选择共享单车出行的居民中各随机抽取了人进行调研，获得了他们每周使用共享单车时间单位：小时的数据并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
    乙社区位居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布直方图如图．
    乙社区位居民每周使用共享单车的时间数据在这一组的是：，，，，，，，，，
    甲、乙两社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数和中位数如下：

根据以上信息回答下列问题：
写出表中的值；
在甲社区抽取的居民中，记每周使用共享单车的时间高于他们的平均时间的居民人数为在乙社区抽取的居民中，记每周使用共享单车的时间高于他们的平均时间的居民人数为比较和的大小并说明理由；
若甲社区共有位居民选择使用共享单车出行，估计甲社区居民每周使用共享单车的总时长直接写出结果．

26. 已知二次函数的图象经过点．
    用含的代数式表示；
    若该函数的图象与轴的一个交点为，求二次函数的解析式；
    当时该函数图象上的任意两点、，若满足，，求的取值范围．
27. 如图，在等边中点在的延长线上，点是边上的一个动点点不与点重合，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和．
    依据题意补全图形；
    比较与的大小，并证明；
    用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．
     

28. 对于平面直角坐标系中的点与图形给出如下定义：在点与图形上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形关于点的“宽距”．
    如图，的半径为且与轴分别交于，两点．
    线段关于点的“宽距”为______，关于点的“宽距”为______．
    点为轴正半轴上的一点，当线段关于点的“宽距”为时，求的取值范围．
    已知一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，的圆心在轴上且的半径为若线段上的任意一点，都能使得关于点的“宽距”为，直接写出圆心的横坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有是锥体．
故选：．
主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．
此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，互为相反数，
原点在，中间，，
选项不符合题意；
在原点右侧，在原点左侧，
，
，
，选项符合题意；
，，
，选项不符合题意；
，选项不符合题意．
故选：．
利用，可得，互为相反数，从而判断出，，表示的数，推理即可．
本题考查实数的大小比较，解题的关键是观察数轴，确定各点表示的数．
 

4.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】

【解析】解：五边形的内角和是故选B．
边形的内角和是，由此即可求出答案．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
 

6.【答案】

【解析】解：直线，
，
，，
，
故选：．
由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质可求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，求解的度数是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意可知，，，
，
由折线统计图可得，
故选：．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：从表格可看出，货车每行驶一小时，耗油量为升，即余油量与行驶时间成一次函数关系．
故选：．
从表格可看出，货车每行驶一小时，耗油量为升，即余油量与行驶时间成一次函数关系．
此题主要考查了一次函数，根据已知得出与的函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：二次根式有意义，
，
．
故答案为：．
二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．
此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

10.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了角的大小比较，关键是掌握叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
取格点 ，作射线 ，则 ，依据叠合法即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，取格点 ，作射线 ，则 ，

由图可得， ，
，
故答案为： ．   

12.【答案】

【解析】解：原式


，
，
，
则原式，
故答案为：．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，继而代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

13.【答案】答案不唯一

【解析】解：，理由：
点在的平分线上，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
添加，利用判断得出≌．
此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
 

14.【答案】

【解析】解：过作轴，交轴于点，如图所示：
，，
为的中点，即，
，
又，及点都在反比例函数上，
，
，
则．
故答案为：．
过作垂直于轴，交轴于点，由，利用三线合一得到为的中点，根据等底同高得到三角形的面积等于三角形的面积，再由，及三点都在反比例函数图象上，根据反比例的性质得到三角形，三角形及三角形的面积都相等，都为，由反比例解析式中的值代入，求出三个三角形的面积，根据阴影部分的面积等于三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积，即为，即可得到阴影部分的面积之和．
此题考查了反比例函数的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的面积求法，反比例函数图象上的点到坐标轴的垂线，此点到原点的连线及坐标轴围成的直角三角形的面积等于，熟练掌握此性质是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到白球的频率稳定在左右，
则．
暗箱中白球的个数为个；
故答案为：，．
根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在左右，即为摸出白球的概率，然后乘以箱子里总球的个数即可．
此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
 

16.【答案】 

【解析】解：设街道居委会在图文社印制了张，在图文社印制了张，根据题意得：
，
解得，
故街道居委会在图文社印制了张宣传单；
故答案为：；
在图文社印制张宣传单所需费用为：元，
在图文社印制张宣传单所需费用为：元，
，
所以选择图文社印制更省钱
故答案为：．
两家图文社印制此种宣传单的收费标准列方程组解答即可；
分别求出在、两家图文社所需费用，再比较即可．
本题考查了一次函数的应用，根据题意得出、两家图文社所需费用与印制数量的关系是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：


．

【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

18.【答案】解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
不等式组的解集是，
非负整数解是：，．

【解析】分别解两个不等式，求解集的公共部分，然后再根据解集找出非负整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知解一元一次不等式的步骤．
 

19.【答案】    三线合一

【解析】解：如图，线段即为所求．

证明：连接和．

在和中，
，
≌，
，
平分，
，
即为的边的高线三线合一．
故答案为：；；；三线合一．
根据几何语言画出对应的几何图形．
先证明≌，可得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．
本题考查作图基本作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握等腰三角形的性质．
 

20.【答案】证明：在方程中，



，
此方程总有两个不相等的实数根．
解：将代入中，
，解得：或．
如果方程有一个根为，的值为或．

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出此方程总有两个不相等的实数根；
将代入原方程，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程求出值．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：连接，交于，如图所示：
由得：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
点为边中点，
，
在中，，
，
，
．

【解析】证，得出，即可得出结论；
连接，交于，由菱形的性质得，，，再证，则四边形是平行四边形，得出，，求出，然后由锐角三角函数求出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：将和点代入，
得：，
解得，
一次函数解析式为；
由题意得：，得：，
当时，不合题意，舍去；
当时，，
，解得：，
的取值范围为：．

【解析】通过待定系数法将和点代入解析式求解即可．
解不等式，得到：，再分情况讨论即可．
本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
 

23.【答案】解：连接，，

是的切线，点为切点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为；
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
或舍去，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
的长为．

【解析】连接，，根据切线的性质可得，再利用直径所对的圆周角是直角可得，然后再利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，再利用角平分线和等腰三角形证明，最后利用平行线的性质，即可解答；
根据等边对等角可得，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，然后设，则，从而在中，利用勾股定理求出，的长，进而利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后证明∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】

【解析】解：水柱最高点距离水面的高度为米，
故答案为：；
如图，

设，
把代入得，，
与的关系式为，
当时，，
答：的值是；
水柱不会喷到水池外面．
理由：水枪的高度上升米，
上升后，
令，则，
解得负值舍去，
，
水柱不会喷到水池外面．
根据表格中的数据可得答案；
建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；
由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
 

25.【答案】解：将乙社区位居民每周使用共享单车的时间数据按从小到大排序，
可知第个数据落在这一组，
，
乙社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的中位数为．
．
．
理由：甲社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数为小时，中位数为小时，平均数低于中位数，
在甲社区抽调的居民中，每周使用共享单车的时间高于他们的平均时间的居民人数为，
乙社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数为小时，中位数为小时，平均数高于中位数，
在乙社区抽调的居民中，每周使用共享单车的时间高于他们的平均时间的居民人数为，
．
根据题意可得，
估计甲社区居民每周使用共享单车的总时长为小时．
答：估计甲社区居民每周使用共享单车的总时长为小时．

【解析】根据中位数的定义，将乙社区位居民每周使用共享单车的时间数据按从小到大排序，找出处在第位的数据即可．
根据和表示的意义，结合甲、乙两个社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数和中位数，可得出答案．
根据甲社区抽调居民每周使用共享单车的时间数据的平均数以及社区居民总数进行计算即可．
本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数和中位数的意义是解答本题的关键．
 

26.【答案】解：将点代入二次函数得，
，
；
由得，，
再将代入得，
，
，
，
二次函数的解析式为；
由得，，
二次函数的对称轴为直线，
，
当时，随的增大而增大，
，，
，
当时，随的增大而减小，
关于直线的对称点坐标为，
，
综上：或．

【解析】将点代入二次函数可得答案；
由得，，再将代入，即可解决问题；
由得，，则二次函数的对称轴为直线，再分当或，分别可得答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
 

27.【答案】解：如图所示：

，理由如下：
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
，理由如下：

如图，在上截取，连接，
由可知：，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．

【解析】依照题意可画出图形；
由旋转的性质可证是等边三角形，由三角形的内角和定理可求解；
由“”可证≌，可得，，可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

由图可知：，，
，
，
轴，
，，
线段关于点的“宽距”为；
作射线交于，，
则点与上各点连接的所有线段中，线段长度最大，的长度最小，
关于点的“宽距”为，
故答案为：，；
点为轴正半轴上的一点，
，
当时，长度是最大值，长度是最小值，“宽距”，不符合题意；
当时，
，
点到轴的最短距离为，即点到的最短距离为，
线段关于点的“宽距”为，
当长度是最大时，最大值是，
的最大值，
解得：或舍，
；
如图，在直线中，令时，，令时，，
，，
，
，
当点在点的左侧，如图，且经过点时，
的半径为，
，
由第二空可知，当时，线段上任意一点都能使得关于的“宽距”为，

当点在点的右侧，且与直线相切于点，如图，连接，则，

，
，
，
，
，
，
由第空可知：当时，线段上任意一点都能使得关于的“宽距”为，
综上，圆心的横坐标的取值范围为或．
根据“宽距”的定义分别计算线段关于点的“宽距”和关于点的“宽距”；
分两种情况：当时，“宽距”，不符合题意；当时，可得最大值是，列式为，可解答；
先计算点和的坐标，分两种情况：当点在点的左侧，如图，且经过点时，当点在点的右侧，且与直线相切于点，如图，连接，则，同理可得结论．
此题是圆与一次函数综合题，也是新定义问题，主要考查了平面内一点到圆上各点的最大值和最小值问题，“宽距”的定义，点到直线的距离和点到圆上最近距离的特点，掌握新定义是解本题的关键．