人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一等奖ppt课件

人教版初中数学九年级上册

21.2.7 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计

一、教学目标：

1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）

2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）

二、教学过程：

复习回顾

1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)

2.一元二次方程的求根公式是什么？(b2-4ac≥0)

3.一元二次方程的根的情况怎样确定？

知识精讲

解下列方程并完成填空：

(1) x2-5x+6=0   (2) x2+3x-4=0   (3) x2+6x+8=0

以上方程有什么共同特点，你从中发现了什么？

三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.

思考

从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？

把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x1+x2)=-p，x1x2=q

思考

一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？

根据求根公式可知，，

由此可得

因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：，.

这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写.

把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？

x2+px+q=0→(x1+x2)=-p，x1x2=q

解方程2x2-3x+1=0，验证上述关系？

解：a=2，b=-3，c=1.
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0
方程有两个不等的实数根

即 x1=1，x2=

，.

典例解析

例1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：

(1) x2-6x-15=0    (2) 3x2+7x-9=0    (3) 5x-1=4x2

解：(1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15.
(2) x1+x2=，x1x2==-3.
(3) 方程化为 4x2-5x+1=0. x1+x2==，x1x2=.

【针对练习】

不解方程，求下列方程两根的和与积：

(1) x2-3x=15    (2) 3x2+2=1-4x    (3) 5x2-1=4x2+x    (4) 2x2-x+2=3x+1

解：(1)方程化为 x2-3x-15=0. x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15.
(2) 方程化为 3x2+4x+1=0. x1+x2=，x1x2=.
(3) 方程化为 x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.
(4) 方程化为 2x2-4x+1=0. x1+x2==2，x1x2=.

例2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.

    所以：x1•x2=2x2=

    即：x2=

    由于x1+x2=2+=

    得：k=－7.

答：方程的另一个根是，k=－7.

【针对练习】

已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.

    所以：x1+x2=1+x2=6，

    即：x2=5.                 

    由于x1•x2=1×5=

    得：m=15.

答：方程的另一个根是5，m=15.

例3.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2 =0 的两个实数根，且x12+x22 =4，求k的值.

解：由方程有两个实数根，得Δ=4(k-1)2-4k2 ≥ 0         

即-8k+4≥0.

由根与系数的关系得   x1+x2=2(k-1), x1x2=k2.

∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2

=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.

由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,

解得 k1=0 , k2=4 .

经检验,k2 =4 不合题意，舍去.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

达标检测

1.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是(   )

A.1      B.5      C.-5     D.6

2.以3, -1为根，二次项系数为3的一元二次方程是(   )

A.3x2-2x+3=0        B.3x2+2x-3=0

C.3x2-6x-9=0        D.3x2+6x-9=0

3.如果关于y的方程y2+2 (m-1)y-9=0的两实数根互为相反数，那么m的值是(   )

A.1      B. -1      C.0      D.±1

4.关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为倒数，则p,，q应满足的条件为(   )

A. q=1    B.q=1且p2-4>0    C.p=1    D.q=1且p2-4≥0

5.如果关于x的一元二次方程5x2+mx-10=0的一根是-2,那么另一个根是_____,m的值为_____.

6.已知: x1、x2是方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=2，则a= ____，b=_____.

7.关于x的方程2x2+(m2-9)x+m+1=0，当m=_____时,两根互为倒数;当m=_____时，两根互为相反数.

8．已知x1，x2 是一元二次方程的两根，则

______．

9．已知m，n是关于的一元二次方程的两个根，若，则a的值为________．

三、教学反思：

    教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.