2021-2022学年江西省宜春中学高二下学期开学考数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江西省宜春中学高二下学期开学考数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省宜春中学高二下学期开学考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式解法求出集合A，再根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合，，所以，故选：D.2．在中，“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断，在时，利用作商用正弦定理化边为角，并转化为的函数式，利用的范围证处此式大于1，从而得充分条件，反之，可举例说明不正确．【详解】若，则，，，.因此.易知不等式不能得到等式关系.例如：，，时，，.故选：A.3．函数的图象大致为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值法排除即可；【详解】解：因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，又，故排除A、C；又，即，故排除D；故选：B4．某算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的的值可能为A． B． C． D．【答案】C【详解】执行程序可得：，可将备选答案代入进行验证即可，当x=时，输出的y值显然是负值所以不成立，当x=时，也不成立，当时输出所以选C5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且．所以，应选答案B．6．已知，则 A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意设，则，故函数是单调递减函数，又，即，所以，应选答案A．7．设满足条件，若目标函数的最大值为2，则的最小值为（　　）A．25 B．19 C．13 D．5【答案】A【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值2，即，而 ．故选A．点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（       ）A．136π B．144π C．36π D．34π【答案】D【详解】分析：作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积．详解：由三视图可知几何体为四棱锥E﹣ABCD，直观图如图所示：其中，BE⊥平面ABCD，BE=4，AB⊥AD，AB=，C到AB的距离为2，C到AD的距离为2，以A为原点，以AB，AD，及平面ABCD过A的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（,0，0），C（2，2， 0），D（0，4，0），E（,0，4）．设外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD=ME，∴x2+y2+z2=（x﹣）2+ y2+z2=（x﹣2）2+（y﹣2）2+z2=x2+(y﹣4）2+z2=(x﹣）2+y2+（z﹣4）2，解得x=，y=2，z=2．∴外接球的半径r=MA==，∴外接球的表面积S=4πr2=34π．故选D．点睛：：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.9．在区间上任取两个实数，则函数在区间没有零点的概率为（　　）A． B． C． D．【答案】D【详解】在区间[0，2]上任取两个数，则，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为2×2=4，∵，∴抛物线的对称轴为，则当时，函数取得最小值，∵ ∴，即当上，∴要使函数在区间没有零点，则函数的最小值，即，作出不等式对应的平面区域如图：（阴影部分），对应的面积，则对应的概率，故选D．               点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．10．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前2023项和为（       ）A．0 B．2023 C．-2023 D．1【答案】B【分析】根据条件，得到数列是等差数列，由，得到，进而推导出，，最后，求得数列的前2023项和【详解】∵，∴数列是等差数列，∵， ∴∵函数，∴，∵，， ，同理则数列的前2023项和故选B．11．已知，分别是椭圆的下顶点和左焦点，过且倾斜角为的直线分别交轴和椭圆于两点，且点的纵坐标为，若的周长为，则的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，与椭圆方程联立可得，由可求得，可知为椭圆右焦点，由焦点三角形周长可构造方程求得的值，进而得到，由此可得到所求三角形面积.【详解】设，；由得：，，，解得：，，，即为椭圆的右焦点，的周长为，即，，解得：，，，.故选：A.12．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先研究时，的单调性和极值，然后画出分段函数的图象，再令，通过换元后数形结合，可转化为一元二次方程根的分布问题，从而即可求解.【详解】解：当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，；当时，；作出大致图象如下：由函数恰有5个不同零点，即方程恰有5个不等实根，令，则方程，令函数，①方程在区间和上各有一个实数根，则，解得；②方程在区间和各有一个实数根，则，不等式组无解；③方程的两根为1和5，此时无解．综上，．故选：C.二、填空题13．已知，，，若，则__________.【答案】【分析】利用平面向量的坐标的线性运算求得，利用向量平行的坐标表示得到方程求得的值，进而利用向量的模的坐标公式求得结论.【详解】∵，，∴，又∵，，∴,∴,∴,∴，故答案为：14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，当点P在C上运动时，的最小值为，则双曲线C的离心率为______．【答案】【分析】设，则，求出,求出的值即得解.【详解】解：设，则，，，当时等号成立，的最小值是，，解得，又，，故答案为：15．立德中学对2022届高三学生的某项指标进行抽样调查，按性别进行分层抽样，抽查男生24人，其平均数和方差分别为12、4，抽查女生16人，其平均数和方差分别为10、6，则本次调查的总样本的方差是__________.【答案】5.76【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.【详解】设男生的指标数分别为，女生的指标数分别为，则，，所以，，所以本次调查的总样本的平均数为，本次调查的总样本的方差是故答案为：16．已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：①；          ②；                 ③④函数在上是增函数，在上是减函数.其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）【答案】①④【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，所以的轨迹的几何意义是以为圆心为半径的球面．则是的函数，当时，以为圆心为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长弧长，相邻三个侧面的面积之和是，故答案①正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案②不正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案③不正确；由于时，单调递增且当时，最大；当，单调递减，故答案④正确；应填答案①④．点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的新信息，分别逐一验证所给的四个命题的真伪，进而做出正确判断，从而使得问题获解．难点是如何发挥空间想象能力，求解时充分借助图形的直观，借助与发挥空间想象，探求到轨迹的形状（圆弧、线段），进而求得其长度，以便做出正确的判断．三、解答题17．已知数列是前项和为(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）减项作差即可，注意对首项单独讨论；（2）先求出的通项公式，再分组求和.【详解】(1)∵当时，当时，满足上式，所以数列的通项公式为.(2)由（1）得，，则.18．已知分别为锐角三个内角的对边，且（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）A=;（Ⅱ）.【详解】【试题分析】（1）运用正弦定理及余弦定理进行求解；（2）运用三角变换公式将表达式化为角的函数，再借助函数的定义域求其值域即是取值范围．（Ⅰ）因为，由正弦定理有   即有由余弦定理得，又A为锐角，∴ A=（Ⅱ）由题，    又在锐角中，有，所以，所以， ∴的取值范围是.19．某地区2022年清明节前后3天每天下雨的概率为，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率.用随机数（，且）表示是否下雨；当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：332     714     740     945     593     468     491     272     073     445992     772     951     431     169     332     435     027     898     719(1)求出的值，并根据上述数表求出该地区2022年清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；(2)从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.时间201220132014201520162017201820192020年份123456789降雨量292826272523242221 经研究表明：从2012年至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量与年份成线性回归，求回归直线方程，并用此回归直线方程计算：如果该地区2022年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？【答案】(1)，(2)，【分析】（1）由，可得，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨，从而根据古典概型的概率计算公式即可求解；（2）由题中所给的数据可得，，根据公式，，求出回归直线方程，即可估计该地区2022年清明节有降雨的话，降雨量是多少.【详解】(1)解：由题意可知，，解得，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨，所给的20组数据中714，740，491，272，073，445，435，027，共8组表示3天中恰有两天下雨，故所求的概率为；(2)解：由题中所给的数据可得，，，，所以，，所以回归方程为，当时，，所以该地区2022年清明节有降雨的话，估计降雨量为.20．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点，F在SE 上，且.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，【解析】（1）由已知可得，所以，又由已知可证底面，所以，问题得解；（2）以为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面的法向量为，平面的法向量为，所以有，求解即可.【详解】（1）由是的中点，所以因为平面，所以在，，所以因此所以则，即平面，又，底面则，又，所以平面.（2）假设满足条件的点存在，并设，以为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系则：，则设平面的法向量为取，则，设平面的法向量为，，取化简得：于是满足条件的点G存在，且.【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题.21．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【详解】试题分析：（1）由焦点坐标可得，再根据及点在椭圆上，可得，进而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，与判别式为正可得，再根据平行四边形性质及韦达定理可得点的纵坐标范围是，可判定点不在椭圆上，所以这样的直线不存在．试题解析：（1）设椭圆的焦距为，则，因此椭圆方程为在椭圆上，解得故椭圆的方程为．（2）假设存在这样的直线       设直线的方程为，设，，，，的中点为，由得，所以，且，则，          由知四边形为平行四边形，而为线段的中点，因此，也是线段的中点，所以，可得，又，所以，因此点不在椭圆上．所以这样的直线l不存在【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.22．设函数.(1)若，求在点处的切线方程；(2)求的单调递减区间；(3)求证：不等式恒成立.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程；（2）求导后，根据时，可得单调递减区间；（3）设，将问题转化为证明；利用导数可说明，使得在上单调递减，在上单调递增，由此可得，结合基本不等式可知，由此得，由此可得结论.【详解】(1)当时，，，，又，在点处的切线方程为：，即.(2)由题意得：定义域为，；令，解得：，当时，；当时，；的单调递减区间为.(3)设，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，使得，则，，在上单调递减，在上单调递增，（当且仅当时取等号），又，，，即恒成立.