2021-2022学年内蒙古自治区赤峰市红山区高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年内蒙古自治区赤峰市红山区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标是（       ）

A．（0，－1） B．（－1，0） C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线标准方程，可得p的值，进而求出焦点坐标.

【详解】由抛物线可知其开口向下，，所以焦点坐标为，

故选：C.

2．“若”为真命题，那么p是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求不等式的解集，根据解集判断p.

【详解】由解得-2<x<4，所以p是.

故选：A.

3．某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（       ）

A．5 B．10 C．12 D．15

【答案】B

【分析】根据分层抽样的方法，列出方程，即可求解.

【详解】根据分层抽样的方法，可得选《西游记》的学生抽取的人数为．

故选：B.

4．下列求导运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直接利用导数公式计算判断即可.

【详解】对于A答案：，故A错误.

对于B答案：，故B正确.

对于C答案：，故C错误.

对于D答案：，故D错误.

故选：B

5．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（       ）

A．虚轴长为4 B．焦距为

C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为

【答案】D

【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可.

【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，

所以虚轴长为6，故A错误；

焦距为，故B错误；

渐近线方程为，故D正确；

焦点到渐近线的距离为，故C错误；

故选：D.

6．已知直线在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m的值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】求出直线方程在两坐标轴上的截距，列出方程，求出实数m的值.

【详解】当时，，故不合题意，故，，令得：，令得：，故，解得：.

故选：C

7．设命题，则为

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

8．执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)

A．8 B．9

C．27 D．36

【答案】B

【详解】执行程序框图，第一次循环， ，满足 ；第二次循环， ，满足 ；第三次循环， ，不满足 ，输出 ，故选B.

【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

9．过点且与直线垂直的直线方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两直线垂直时斜率乘积为，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.

【详解】因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，

所求直线的方程为，即，

故选：C．

10．已知函数，其导函数的图象如图所示，则(       )

A．在上为减函数 B．在处取极小值

C．在上为减函数 D．在处取极大值

【答案】C

【分析】首先利用导函数的图像求和的解，进而得到函数的单调区间和极值点.

【详解】由导函数的图象可知:当时，或；

当时，或，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和，

故在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值.

故选：C.

11．已知直线与直线垂直，则实数（       ）

A．10 B． C．5 D．

【答案】B

【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，直线与直线垂直，

可得，解得.

故选：B.

12．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为(　　)

A． B．2 C．－1 D．－4

【答案】C

【详解】，

令，解得或；

令，解得函数在上递增，在递减，在递增，

时，取极大值，极大值是时，函数取极小值，极小值是，

而时，时，，故函数的最小值为，

故选C.

13．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.

【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.

14．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，、分别是的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据的周长为得出，最后根据求出的值，即可求出的离心率.

【详解】因为椭圆的面积为，

所以长半轴长与短半轴长的乘积，

因为的周长为，

所以根据椭圆的定义易知，，，，

则的离心率，

故选：A.

15．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．

【解析】1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．

二、填空题

16．某市开展“爱我内蒙，爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示，记分员算得平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是______．

【答案】1

【分析】由平均数列出方程，求出x的值.

【详解】由题意得：，解得：.

故答案为：1

17．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.

【答案】1

【详解】若“ ”是真命题，则大于或等于函数在的最大值

因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，

所以， ，即实数 的最小值为1.

所以答案应填:1.

【解析】1、命题；2、正切函数的性质.

18．函数的极值点的个数是______．

【答案】0

【分析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况.

【详解】因为，，

所以在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以函数的极值点的个数是0，

故答案为：0.

19．已知抛物线C：，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则______．

【答案】9

【分析】过A、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.

【详解】由抛物线，可知，则，

所以抛物线的焦点坐标为，

如图，过点A作垂直于准线交准线于，

过点作垂直于准线交准线于，

过点作垂直于准线交准线于，

由抛物线的定义可得，

再根据为线段的中点，而四边形为梯形，

由梯形的中位线可知，

则，所以.

故答案为：9.

20．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．

【答案】

【分析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.

【详解】函数，

表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，

点关于轴的对称点，

所以，

所以的最小值为：.

故答案为：.

三、解答题

21．圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：

（1）周长最小的圆的方程；

（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．

【答案】（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.

【分析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；

（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.

【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；

（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，

AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.

由解得

即圆心坐标是C(3，2)．

又r＝|AC|＝＝2.

所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.

22．分别求满足下列条件的曲线方程

(1)以圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；

(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得出的值后写椭圆方程

（2）待定系数法设方程，由题意列方程求解

【详解】(1)的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，

∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3．

又，∴a＝6．∴．

∴所求椭圆方程为．

(2)根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程，

把代入得m＝1．所以双曲线的方程为．

23．已知命题：对任意实数都有恒成立；命题：关于的方程有实数根．

（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；

（2）如果“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）先分别求出命题为真命题和命题为真命题时参数的范围，则可得当命题为假命题，实数的取值范围

（2）由“”为真命题，且“”为假命题，则命题， 一真一假，再分真，且假，和真，且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案.

【详解】命题为真命题：对任意实数都有恒成立或；

命题为真命题：关于的方程有实数根；

（1）命题为假命题，则实数的取值范围

（2）由“”为真命题，且“”为假命题，则命题， 一真一假.

如果真，且假，有，且，则

如果真，且假，有或，且，则．

综上，实数的取值范围为．

24．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数．

【答案】（1）；（2）众数是，中位数为．

【详解】试题分析：（1）利用频率之和为一可求得的值；（2）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．

试题解析：（1）由直方图的性质可得，

∴．

（2）月平均用电量的众数是，

∵，

月平均用电量的中位数在内，

设中位数为，由，可得，

∴月平均用电量的中位数为224

【解析】频率分布直方图；中位数；众数．

25．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.

【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；

(2)由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．

26．已知函数，曲线y＝f(x)在点（0，4）处的切线方程为．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的极大值．

【答案】(1)a＝4，b＝4

(2)

【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可求出答案.

（2）结合（1）中求得的函数解析式，求导得到的单调性，可得当x＝－2时，函数f(x)取得极大值.

【详解】(1)．

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8．

从而a＝4，b＝4．

(2)由（1）知，，

．

令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2．

从而当时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0．

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为．

27．已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；

（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，再根据二次函数的性质可得最值.

【详解】(1)由题设点到点的距离等于它到的距离，

点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

所求轨迹的方程为；

(2)由题意易知直线的斜率存在，

设中点为，直线的方程为，

联立直线与抛物线，得，，

且，，

又中点为，即，，

故恒成立，

，，

所以，

当时，取最大值为.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．