山东省泰安市2020届高三上学期期末考试数学试题

高三年级考试

数学试题

2020.1

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若全集U=R，集合

A．{1，2，3}  B．{2，3}  C．  D．

2．已知复数z满足，则

A．   B．2   C．    D．1

3．已知向量，则实数m的值为

A．    B．   C．    D．

4．函数的部分图象大致为

5．“”是“”的

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

6．若，则的最小值为

A．6   B．   C．3   D．

7．已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为

A．   B．   C．   D．

8．已知正三棱锥S—ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积为

A．   B．   C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知均为实数，则下列命题正确的是

A．若，则

B．若，则

C．若

D．若

10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是

A．若

B．若

C．若

D．若

11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则

A.

B.

C.

D.

12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是

A．当时，

B．函数有3个零点

C．的解集为

D．，都有

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，

，则  ▲  ．

14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，则夏至的晷长为  ▲  尺．

15．已知抛物线的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=  ▲  ，的最小值为  ▲  ．(本题第一空2分，第二空3分)．

16．设函数在定义域(0，+∞)上是单调函数，，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是  ▲  ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)

在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，；③函数

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．

(1)若的值；

(2)求函数在上的单调递减区间．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18．(12分)

已知等差数列的前n项和为．

(1)求的通项公式；

(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，

，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．

19．(12分)

如图，在三棱锥P—ABC中，△PAC为等腰直角三角形，为正三角形，D为A的中点，AC=2．

(1)证明：PB⊥AC；

(2)若三棱锥的体积为，求二面角A—PC—B的余弦值

20．(12分)

如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．

21．(12分)

已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明：为定值．

22．(12分)

已知函数．

(1)当时，设函数的最小值为，证明：；

(2)若函数。有两个极值点，

证明：．

高三数学试题参考答案及评分标准

2020.1

一、单项选择题：

二、多项选择题：

四、解答题：

17.（10分）

解：方案一：选条件①

由题意可知，

……………………………………………………………2分

又函数图象关于原点对称

…………………………………………………………………4分

（1）

       ………………………………………………………………………………7分

（2）由

解得……………………………………………………9分

令

令

函数在上的单调递减区间为

………………………………………………………………………………………………10分

方案二：选条件②

又

…………………………………………………………………4分

（1）

            ………………………………………………………………………7分

（2）由

解得……………………………………………………9分

令，得

令

函数上的单调递减区间为

………………………………………………………………………………………………10分

方案三：选条件③

…………………………………………………………2分

又

…………………………………………………………………4分

（1）

            ………………………………………………………………………7分

（2）由

解得

令，得

令，得

函数上的单调递减区间为

………………………………………………………………………………………………10分

18.（12分）

解：（1）设等差数列的公差为d，

由……………………………………………………2分

解得

…………………………………………………5分

（2）………………………………………………………6分

…………………………………………………7分

……………………………………………………………………………9分

若，则

整理得

………………………………………………………………………10分

又

整理得

解得……………………………………………………………………11分

又

存在满足题意.…………………………………………………………12分

19.（12分）

解：（1）为等腰直角三角形，D为中点

        ……………………………………………………………………1分

又为正三角形，D为中点

        又 平面PBD，

        平面PBD………………………………………………………………3分

        又PB 平面PBD

（2）设三棱锥的高为h，

……………………………………………………………………5分

………………………………………………………………………………………6分

又

平面ABC…………………………………………………………………………7分

如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系

，则

……9分

设为平面PBC的一个法向量，则

令

………………………………………………………………………10分

又是平面PAC的一个法向量，……………………………………………………11分

二面角A-PC-B的余弦值为.……………………………………………………12分

20.（12分）

解：在△BDE中，∠BED=

由正弦定理得

…………………………………………2分

在△DCF中，

由顶线定理得

……………………………………4分

……………………6分

……………………9分

……………………10分

AEDF为四边形区域，

花卉种植面积取值范围是………………………………12分

21.（12分）

解：（1）由

解得

……………………………………………………………………2分

又

………………………………………………………………3分

椭圆E的方程为

……………………………………………………………4分

（2）由题知，直线的斜率比存在，设直线的方程为

由得

=

……………………………………………………………………6分

直线BP的方程为

令解得

同理可得………………………………………………8分

=………………………………………………………………9分

…………………………………10分

=

=

=

为定值……………………………………………………12分

22.（12分）

解：（1）………………………………………………1分

令，解得

当时，

当时，

………………………………………………3分

令

令，解得，

当时，，

当时，，

当时，.……………………………………………………5分

（2）

令

令，解得

当时，，

当时，，

………………………………………………………………7分

又函数有两个极值点

…………………………………………………………8分

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，

又

……………………………………………………9分

令…………………………………………10分

令

，

即

……………………………………………………………12分