2022珠海二中高三上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2022珠海二中高三上学期10月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
珠海二中2022届高三数学十月月考试卷
时间：120分钟 满分150份
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则（　　）
A．A⊆B B．A⊇B C．A＝B D．A∩B＝∅
2．已知纯虚数z满足（1﹣2i）z＝2+ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
3．五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（　　）
A．36种 B．48种 C．72种 D．120种
4．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于（　　）

A．100米 B．50米 C．50米 D．50（+1）米
5．已知两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1﹣3y1+1，2x2﹣3y2+1，…，2xn﹣3yn+1的平均数是（　　）
A． B． C． D．
6．衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a•e﹣kt．已知新丸经过50天后，体积变为，若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（　　）
A．125 B．100 C．75 D．150
7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sinB•sinC＝sin2A，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．已知函数f（x）＝eax﹣存在两个零点，则正数a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（，+∞） C．（0，） D．（，+∞）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．珠海市第二中学校歌决赛中，评委给13个班级的评分（十分制）如图，下列说法正确的是（　　）

A．13个班级评分的极差为7 B．13个班级中评分不低于7分的有6支
C．13个班级评分的平均数约为6.46 D. 第6个班级到第12个班级的评分逐渐降低
10．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点．若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则（　　）
A．双曲线的方程可以是 B．双曲线的渐近线方程是
C．双曲线的离心率为 D．△PF1F2的面积为
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则（　　）
A．a5＝0 B．{an}的前n项和中S5最小
C．nSn的最小值为﹣49 D．的最大值为0
12．已知函数f（x）＝﹣log2x，下列四个命题正确的是（　　）
A．函数f（|x|）为偶函数 B．若f（a）＝|f（b）|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f（﹣x2+2x）在（1，3）上为单调递增函数 D．若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1﹣a）|

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 已知，则 ．
14． 已知直线l（斜率大于0）的倾斜角的正弦值为，在x轴上的截距为﹣2，直线l与抛物线C：
x2＝2py（p＞0）交于A，B两点．若|AB|＝16，则p＝　 　．
15．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为　 　．
16．给出下列命题：
①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；
②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则；
③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；
④已知a＞0，b＞0，函数y=2aex+b的图象过点（0，1），则的最小值是．
其中正确命题的序号是　　　　　　 （把你认为正确的序号都填上）．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（acosB+bcosA）＝ac，且sin2A＝sinA．（1）求A及a；（2）若b﹣c＝2，求BC边上的高．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an+1，且a1+2a2＝a3．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求使得Sn≤121成立的n的最大值．
19．（12分）经验表明，一﹣般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．下面给出了某林场在研究树高与胸径之间的关系时收集的某种树的数据．
编号
1
2
3
4
5
6
胸径/cm
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
树高/cm
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
编号
7
8
9
10
11
12
胸径/cm
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
树高/cm
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7
（1）根据表格绘制树高y与胸径x之间关系的散点图；
（2）分析树高y与胸径x之间的相关关系，并求y关于x的线性回归方程；
（3）预测当树的胸径为50.6cm时，树的高度约为多少．（精确0.01）
附：回归方程x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，．
参考数据：，．

20． （12分）如图，在三棱柱中，平面，为的中点，交于 点， ，．
（1） 证明：平面；
（2） （2）若，求二面角的余弦值．


21． （12分）已知函数f （ x）=ln x﹣ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数的底数．
（1） 若x=1为 f （ x） 的极值点，求 f （ x） 的单调区间和最大值；
（2）是否存在实数 a，使得 f （ x） 的最大值是﹣3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。




22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点P在C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，，试判断在椭圆C上是否存在三个不同点Q，M，N（其中M，N的纵坐标不相等），满足，且直线HM与直线HN倾斜角互补？若存在，求出直线MN的方程，若不存在，说明理由．





2022届高三数学十月月考参考答案与试题解析
一、 单项选择题：
1．A． 2．B．3．C．4．D．
5．解：由已知，（x1+x2+…+xn）＝n，（y1+y2+…+yn）＝n，
新的一组数据2x1﹣3y1+1，2x2﹣3y2+1，…，2xn﹣3yn+1的平均数为（2x1﹣3y1+1+2x2﹣3y2+1+…+2xn﹣3yn+1）÷n＝[2（x1+x2+…+xn）﹣3（y1+y2+…+yn）+n]÷n＝故选：B．
6．解：由题意得V＝a•e﹣50k＝a，① 可令t天后体积变为a，即有V＝a•e﹣kt＝a，②
由①可得e﹣50k＝，③ 又②÷①得e﹣（t﹣50）k＝， 两边平方得e﹣（2t﹣100）k＝，
与③比较可得2t﹣100＝50，解得t＝75，即经过75天后，体积变为a．故选：C．
7．解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cosA＝＝＝，
∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，
代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．
8．解：∵函数f（x）＝eax﹣存在两个零点，∴eax﹣＝0在（0，+∞）存在两个不同的解，
∴ax＝lnx在（0，+∞）存在两个不同的解，即a＝在（0，+∞）存在两个不同的解，
令g（x）＝，g′（x）＝，
故x∈（0，e]时，g′（x）≥0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，e]上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
且x→0时，g（x）→﹣∞，g（e）＝，x→+∞时，g（x）→0，故0＜a＜， 故选：C．
二、多项选择题：
9．解：对于A，13个班级评分的极差为10﹣3＝7，选项A正确；对于B，13个班级中评分不低于7分的有10、7、10、9、8、7共6支，选项B正确；对于C，计算13个班级评分的平均值为×（10+6+7+5+3+10+9+4+8+6+5+4+7）＝≈6.46，选项C正确；
对于D，从第6个班级到第12个班级的评分并不是逐渐降低的，其中第9个班级评分较高的，
选项D错误． 故选：ABC．
10．解：如图，∵O为F1F2的中点，∴，∴，
即．
又∵，∴．①
又由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴．
即．②
由①﹣②得，∴．
在△F1PF2中，由余弦定理得，∴8a2＝20a2﹣4c2，即c2＝3a2．
又∵c2＝a2+b2，∴b2＝2a2，即．∴双曲线的渐近线方程为．
双曲线的离心率为，双曲线的方程可以是，△PF1F2的面积．故BC正确．
11．解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝0，S15＝25，
∴，解得，∴an＝，∴a5＝﹣，故A错误；
＝（n﹣5）2﹣，故B正确；
nSn＝，设函数f（x）＝﹣（x＞0），
则f′（x）＝，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）min＝f（），
6，且f（6）＝﹣48，f（7）＝﹣49，∴nSn的最小值为﹣49，故C正确；
＝（n﹣10），没有最大值，故D错误．故选：BC．
12．解：对于A：函数f（x）＝﹣log2x，所以f（|x|）＝﹣log2|x|，由于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
所以f（|﹣x|）＝f（|x|）所以函数为偶函数，故选项A正确．
对于B：f（a）＝|f（b）|，所以f（a）＝|f（|b|）＝﹣f（b），所以﹣log2a＝log2b，整理得ab＝1，故选项B正确．
对于C：函数f（﹣x2+2x）＝，由于﹣x2+2x＞0，所以0＜x＜2，
所以函数在（1，3）上不具备单调性，故选项C错误．
对于D：由于0＜a＜1，所以1+a＞1＞1﹣a＞0，所以0＜1﹣a2＜1，所以f（1+a）＜0＜f（1﹣a），
故|f（1+a）|﹣|f（1﹣a）|＝|﹣log2（1+a）|﹣|﹣log2（1﹣a）|＝，故|f（1+a）|＜|f（1﹣a）|．故D正确．故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．答案为：28
14．解：由题意，直线l（斜率大于0）的倾斜角的正弦值为，则直线l的倾斜角为45°，
故直线的斜率为1，又直线l在x轴上的截距为﹣2，则直线l的方程为y＝x+2，
联立方程组，则x2﹣2px﹣4p＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，
所以＝，
化简可得p2+4p﹣32＝0，因为p＞0，所以p＝4．故答案为：4．
15．解：三棱锥P﹣ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4＝，∴a＝6，
∴三棱锥P﹣ABC棱长为3，三棱锥P﹣ABC的高为2，
设内切球的半径为r，则4×＝，∴r＝，
∴三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为＝π． 故答案为：π．
16．答案为：①②
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）∵，
根据正弦定理得，，∴，
又∵sinC≠0，∴．
∵sin2A＝sinA，∴2sinAcosA＝sinA， ∵sinA≠0，∴， ∵A∈（0，π），∴．......5分
（2） 由（1）知，．由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴7＝b2+c2﹣bc，∴7＝（b﹣c）2+bc，
∵b﹣c＝2，∴7＝4+bc，∴bc＝3．设BC边上的高为h．∴．
∵，∴， ∴．.................................................................10分
18．解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an+1，整理得：an+1+1＝2（an+1），
由a1+2a2＝a3＝2a2+1，解得a1＝1，
故数列{an+1}是以a1+1＝2为首项，2为公比的等比数列；所以．................................6分
（2）由于，所以，
由于Sn≤121，所以2n+1﹣2﹣n≤121，即2n+1﹣n≤123，解得1≤n≤6，故n的最大值为6．.....12分
19．解：（1）散点图如图，
................................2分
（2）由散点图可以看出，当胸径x由小变大时，树高y也由小变大，
而x与y之间是正相关关系，由表中数据可得，
＝（18.1+20.1+22.2+24.4+26.0+28.3+29.6+32.4+33.7+35.7+38.3+40.2）＝≈29.08，
（18.8+19.2+21.0+21.0+22.1+22.1+22.4+22.6+23.0+24.3+23.9+24.7）＝≈22.09．
从而＝．
＝14.82． ∴y关于x的线性回归方程为；..10分
（3）当x＝50.6时，．
即当树的胸径为50.6cm时，树的高度约为27.47cm． ................................12分
20．（1）证明：因为为三棱柱，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，，平面，
所以平面．
由题知：四边形为矩形，又因交于点，所以为的中点，
又因为为的中点，所以为的中位线，所以，
所以平面． ................................5分
（2）由（1）知：两两互相垂直，所以以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，则，，，，，，
所以，，
因为，所以，所以，解得，
所以，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，所以，
不妨令，则；
设平面的法向量为，则，所以，
不妨令，则，所以， 因为平面与平面所成的角为锐角， 所以二面角的余弦值为． ................................12分
21.解：．（1）∵f（x）=ln x﹣ax，x∈（0，e]，
∴f′（x）=，由f′（0）=0，得a=1．∴
∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，e）；
f （ x） 的极大值为f（1）=﹣1；也即f （ x） 的最大值为f（1）=﹣1 ................................4分
（2）解：∵f（x）=lnx﹣ax， ∴f′（x）=﹣a=，
①当a≤0时，f（x）在（0，e]单调递增，
得 f （ x） 的最大值是f（3）=1﹣ae=﹣3，解得a=＞0，舍去；
②a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，x∈（，e），f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，e），
∵f（x）在（0，e]上的最大值为﹣3， ∴f（x）max=g（）=﹣1﹣lna=﹣3， ∴a=e2．
综上：存在a符合题意，此时a=e2． ................................12分
22．解：（1）由题意知 可得＝，a2﹣b2＝c2，+＝1， 解得a＝2，b＝1，
则椭圆C的方程为：+y2＝1； ................................3分
（2）由题意，直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN方程为y＝kx+m，
设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝ y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝ .........................5分
因为+＝， 所以Q（，），
因为Q在椭圆上，所以+（）2＝1，化简得16m2＝1+4k2，满足△＞0，......7分
又因为直线HM与直线HN倾斜角互补，所以kHM+kHN＝0，所以+＝0，..............8分
所以+＝0，所以2kx1x2+（m+）（x1+x2）＝0， ................................10分
所以＝0，因为k≠0，所以m＝﹣2，代入16m2＝1+4k2 得k＝，....................11分
所以存在满足条件的三个点，此时直线MN 的方程为y＝x﹣2 或y＝﹣x﹣2．.........12分
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制日期：2021/9/18 10:29:58；用户：503232938；邮箱：503232938@qq.com；学号：822633