2021甘肃省嘉陵关市一中高三上学期三模考试数学（文）试题含答案

这是一份2021甘肃省嘉陵关市一中高三上学期三模考试数学（文）试题含答案
文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.1. 已知集合，集合，则（　　）A. B. C. D.2. 空间两个角，的两边分别对应平行，且，则为（　　）A. 60° B.120° C. 30° D. 60°或120°3. 已知，，，，则向量（ ）A. B. C.4 D.64. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是A. B. C. D.5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向右平移个单位6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A. B. C. D.7. 已知，是不同的直线，，是不同的平面，则的一个充分条件是（ ）A.， B.， C.， D.，8. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D.9. 已知圆D关于y轴对称，点位于其上，则（ ）A. B. C. D.10. 数列1，，，……，的前n项和为（ ）A. B. C. D.11. 设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若且，则双曲线的离心率为（ ）A.2 B. C. D.12. 若函数存在正的零点,则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.14. 在等比数列中，成等差数列，则_______.15.田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为，，,对方的三个数以及排序如表:则我方必胜的排序是_______.16. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且.（1）求角A的大小；（2）设函数，求函数的最大值.18.（本小题满分12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求的值；（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点．（1）证明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影为，求到平面的距离．20.（本小题满分12分）椭圆，是椭圆与轴的两个交点，为椭圆C的上顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，．（1）求椭圆的离心率； （2）设直线与轴交于点，交椭圆于、两点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；（2）若对任意，都有，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若极坐标为的点在曲线C1上，求曲线C1与曲线C2的交点坐标；（2）若点的坐标为，且曲线C1与曲线C2交于两点，求|PB||PD|23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设.（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.数学（文科）答案DDCAB DBBCD CD 二、填空题：13. 14 . 3 15. ，，， 16. 20π三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且.（1）求角A的大小；（2）设函数，求函数的最大值【答案】（1）； （2） .【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理求得的值，可得B的值，根据，由正弦定理可得C的值，从而求得A的值；（2）利用三角恒等变换化简的解析式，再根据正弦函数的最大值求得的最大值．【详解】（1）在△ABC中，因为，所以． 在△ABC中，因为，由正弦定理可得，所以，，，故 （2）由（1）得 ，所以．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点．（1）证明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影为，求到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，由、分别是、的中点，得到，连接，交于，连接，进一步得到，则，再由直线与平面平行的判定可得平面；（2）由在底面的投影为，得平面，进一步得到平面平面，再由底面是正三角形，得，则平面．即为到平面的距离，由已知求解三角形得答案．【详解】（1）证明：连接，、分别是、的中点，，连接，交于，连接，由为的中点，为的中点，可得，则，平面，平面，平面；（2）解：在底面的投影为，平面，而平面，平面平面，又底面是正三角形，，则平面．即为到平面的距离，由，得．即到平面的距离为．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了点到平面距离的求法，属于中档题．17. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表（1）求的值；（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布表可得内的频数为,∴∴内的频率为∴∵内的频率为0.04∴（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.所以.∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.20. 椭圆，是椭圆与轴的两个交点，为椭圆C的上顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，．（1）求椭圆的离心率； （2）设直线与轴交于点，交椭圆于、两点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得M（0，b），A（﹣a，0），B（a，0）．由斜率公式可得k1，k2，再由条件结合离心率公式计算即可得到所求；（2）由（1）知，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，根据题意可设直线l的方程为：x=my﹣，设，，联立方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量共线的坐标表示，求得S△OPQ，化简运用基本不等式可得最大值，进而得到a，b，c，即有椭圆方程．详解】（1），， ，，.∴， ． （2）由（1）知，得，可设椭圆的方程为：. 根据题意可设直线的方程为：，设，，联立 得 因为直线与椭圆相交，所以，由韦达定理：，． 又，所以，代入上述两式有：， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 此时， 代入，有成立.所以所求椭圆的方程为：．【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.21. 已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；（2）若对任意，都有，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若极坐标为的点在曲线C1上，求曲线C1与曲线C2的交点坐标；（2）若点的坐标为，且曲线C1与曲线C2交于两点，求|PB||PD|【答案】（1）（2）6【解析】分析：（1）点对应的直角坐标为（1，1），由曲线C1的参数方程知：曲线C1是过点（﹣1，3）的直线，利用点斜式可得曲线C1的方程．曲线C2的极坐标方程即，展开后，利用互化公式即可得出曲线C2的直角坐标方程联立即可得出交点坐标．（2）由直线参数方程可判断知：P在直线C1上，将参数方程代入圆的方程得：t2﹣4（cosα﹣sinα）t+6=0，设点B，D对应的参数分别为t1，t2，利用|PB|•|PD|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出．详解：（1）点对应的直角坐标为， 由曲线的参数方程知：曲线是过点的直线，故曲线的方程为，而曲线：展开得：得直角坐标方程为，联立得，解得：，故交点坐标分别为 （2）由判断知：在直线上，将代入方程得：，设点对应的参数分别为，则,而，所以点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设.（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用零点分段法将去绝对值，分成三段，令每一段大于，求解后取并集；（2）由（1）时，，分离常数得，右边函数为增函数，所以，解得.试题解析：（1）,所以当时,, 满足原不等式；当时,, 原不等式即为,解得满足原不等式；当时, 不满足原不等式；综上原不等式的解集为.（2）当时,, 由于原不等式在上恒成立,, 在上恒成立,, 设,易知在上为增函数,.考点：不等式选讲.第一局第二局第三局对方30.90.027组别分组频数频率第1组80.16第2组▆第3组200.40第4组▆0.08第5组2合计▆▆