2022唐山高三上学期开学摸底演练数学试题扫描版含答案

唐山市2021—2022学年度高三年级摸底演练

数学参考答案

一．选择题：

1－4 DACC   5－8 BBAD

二．选择题：

9．AD  10．BC  11．BD  12．ABC

三．填空题：

13． 14．1  15．－2  16．±，8（第一空3分，第二空2分）

四．解答题：

17．解：

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．

由已知4b2－b3＝4，得b1(4q－q2)＝4，而b1＝1，所以q2－4q＋4＝0，
解得q＝2，所以bn＝2n－1．          …2分

由b4＝a4＋4a1得5a1＋3d＝8．     ①，

由2S15＝15b5得a1＋7d＝8．     ②，

联立①②解得a1＝d＝1，所以an＝n．

故{an}的通项公式为an＝n，{bn}的通项公式为bn＝2n－1．    …5分

（2）设数列{anb2n＋1}的前n项和为Tn，

由an＝n，b2n＋1＝4n得anb2n＋1＝n×4n．

Tn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，

4Tn＝   1×42＋2×43＋3×44＋…＋n×4n＋1，

上述两式相减，得－3Tn＝1×4＋1×42＋1×43＋…＋1×4n－n×4n＋1，

所以－3Tn＝－n×4n＋1＝，

即Tn＝ ．           …10分

18．解：

（1）2×2列联表如下：

                …4分

（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，

抽取的8人中，不了解数字人民币的有150×＝3人，了解数字人民币的有

250×＝5人，             …6分

从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率P＝1－＝．                                                                                                                                            …8分

（3）根据列联表得

k＝＝≈3.463＜3.841．  …10分

故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关． …12分

19．解：

（1）由正弦定理得2sinC－sinB＝sinA·sinC－sinA·cosC，

由sinB＝sin(A＋C)可得2sinC＝sinA·sinC＋cosA·sinC，

即sin(A＋)＝1，因为0＜A＜π，所以A＝．      …4分

（2）由余弦定理可得b2＋c2－bc＝4，所以(b＋c)2－4＝3bc．……（*）

l＝a＋b＋c＝2＋b＋c，S＝bcsinA＝bc，       …6分

所以＝．
将（*）式代入，可得＝＝(b＋c－2)．    …8分
因为bc≤，所以由（*）式可得(b＋c)2－4≤，
即b＋c≤4．（等号当且仅当b＝c＝2时成立）

故的最大值为．            …12分

20．解：

（1）过B作BO⊥AD于O，连接OP．

∵侧面PAD⊥底面ABCD，且交线为AD，BO⊥AD，BO平面ABCD，

∴BO⊥平面PAD，

∴∠OPB即为PB与面PAD所成的角，于是∠OPB＝45，

∴OB＝OP．              …3分

又∵底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，

∴△PAO≌△BAO，

∴PO⊥AD，故O为AD中点，

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且交线为AD，PO⊥AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，由题意得PO＝BO＝AD＝．

∴四棱锥P-ABCD的体积V＝Sh＝×2××＝2．    …6分

（2）以O为坐标原点，，，分

 别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间

直角坐标系O-xyz，则A(1，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，D(－1，0，0)．

＝(－1，0，)，＝(0，，－)，
＝＝(2，0，0)    …7分

设平面APB的法向量m＝(x1，y1，z1)，

由得取m＝(，1，1)．    …9分

设平面PBC的法向量n＝(x2，y2，z2)，

由得取n＝(0，1，1)．    …10分
∴cosm，n＝＝＝，        …11分

又∵二面角A-PB-C为钝二面角，

∴二面角A-PB-C的余弦值为－．        …12分

21．解：

（1）由已知可得e＝＝2，

∴e2＝＝1＋＝4，解得b2＝3a2  ①

又∵点P(2，3)在E上，∴－＝1  ②

由①②可得a2＝1，b2＝3．

∴双曲线E的方程为x2－＝1．         …5分

（2）过点Q(0，1)的直线l斜率显然存在，

设l的方程为：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将l的方程代入双曲线E的方程并整理得(3－k2)x2－2kx－4＝0，
依题意3－k2≠0，且＞0，所以k2＜4且k2≠3，

因此，可得x1＋x2＝，x1x2＝．        …7分

∴kPA＋kPB＝＋

＝＋

＝2k＋(2k－2) (＋)

＝2k＋

＝2k＋

＝3．             …12分

注：不考虑判别式的不扣分．

22．解：

（1）当a＝1时，f(x)＝ex－ln(x＋1)，

所以f(x)＝ex－，x＞－1．
显然f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，
所以－1＜x＜0时，f(x)＜0；x＞0时，f(x)＞0，
因此f(x)在(－1，0)上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增．    …4分

（2）依题意，a＞0，f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

f(x)＝aex－＝[aex(x＋1)－1]，
令g(x)＝aex(x＋1)－1，a＞0，x≥－1，
显然g(x)在[－1，＋∞)上单调递增，又g(－1)＜0，g()＞0，
所以存在t∈(－1，)，使得g(t)＝0，
且－1＜x＜t时，g(x)＜0；x＞t时，g(x)＞0，
因为＞0，所以－1＜x＜t时，f(x)＜0；x＞t时，f(x)＞0，
即f(x)在(－1，t)上单调递减；在(t，＋∞)上单调递增，     …8分
因此f(x)有唯一极小值点t．
由g(t)＝0得aet＝，所以lna＋t＝－ln(t＋1)．
因此f(t)－1＝aet－ln(t＋1)－lna－1

＝＋t－1
＝≥0，等号当且仅当t＝0时成立．

故f(x)有唯一极值点t，且f(t)≥1．         …12分