2022长春高三上学期质量监测（一）数学（文）试题含答案
展开长春市2022届高三质量监测（一）
文科数学
本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴
在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字
笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的
答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、
刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
- 已知集合，，则
A. B. C. D.
- 在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
- △中，已知分别是角的对边，若，，则
△外接圆的直径为
A. B. C. D.
- 已知函数，若，则
A. B. C. D.
- 右图是某市2020年6月与2021年6月空气质量等级的频率分布条形图，根据此统计图，有下列结论：
①2021年6月的空气等级为优、良的天数和多于2020年6月的天数；
②2020年6月没有出现重度污染天气和严重污染天气；
③2021年6月份出现污染天数多于2020年6月的天数；
④2020年6月份约有半个月空气质量为良.
其中正确结论的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 下列关于函数的说法中，正确的是
A. 函数是奇函数 B. 其图象关于直线对称
C. 其图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增
- 长方体中，，，，则异面直线与成角余弦值为
A. B. C. D.
- 已知，，，则
A. B. C. D.
- 若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为，则=
A. B. C. D.
- 已知，，则
A. B. C. D.
- 已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
- 已知向量，，，则实数__________.
- 已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于________.
- 某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的表面积为________.
- 曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为_______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
- （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥与四棱锥的体积比.
- （本小题满分12分）
设等差数列的前项和为，若，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
- （本小题满分12分）
某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得其频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校初中学生课外阅读时间低于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间. 根据以上抽样调查数据（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？
（Ⅱ）从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求至少有2名初中生的概率.
- （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.
- （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
- （本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点，求的值.
- （本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，，求实数的取值范围.
长春市普通高中2022届高三质量监测（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. A 2. C 3. A 4. D 5. C 6. C
7. D 8. B 9. A 10. C 11. B 12. C
- 集合，故选A.
- ，对应点在第三象限，故选C.
- 由知，，由，所以，故选A.
- ，所以，故选D.
- 由图中数据易知，故选C.
- 由知，，C正确，故选C.
- 由长方体可知，等于异面直线与所成的角，，故选D.
- ，，，故，故选B.
- 由函数在其定义域内单调递增，有，解得，故选A.
- 直线的斜率为，，令，则，故选C.
- 由，，
所以，，故选B.
- 过作垂直准线，为垂足，，所以（当且仅当纵坐标相等时取等号），故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
- .
- ，解得或，由等比数列的各项均大于1，故，，.
- 由题意知，表面积为.
- 由题意知，切线方程为，有，整理有，所以切线与曲线有2个公共点.
三、解答题
- (本题满分12分)
（Ⅰ）因为平面平面，底面为正方形，，
所以平面，所以，又因为△是正三角形，是的中点
所以，所以平面.（6分）
（Ⅱ）设，，，所以. （12分）
- (本题满分12分)
（Ⅰ），解得，所以. （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故①
①，②
①②得，
所以.（12分）
- (本题满分12分)
（Ⅰ）由图可求出初中生在内的频率为，故样本中初中生阅读时间的平均数为，故按国家标准，该校需要增加初中学生课外阅读时间. （6分）
（Ⅱ）由图可求出初中生和高中生课外阅读时间不足10小时的人数分别为3人和2人，记初中生3人为，高中生2人为，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为
其中至少2名初中生包括7种情况，
所以所求事件的概率为. （12分）
- (本题满分12分)
（Ⅰ）
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，令.
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，而不成立.
当时，的最大值为，有，即，所以.
综上. （12分）
- (本小题满分12分)
（Ⅰ）在△中，，，
解得，所以，则椭圆的方程为：.（6分）
（Ⅱ）当直线斜率为0时，易知成立，
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
，消去有，
，
所以，
综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.（12分）
- (本小题满分10分)
（Ⅰ）；（5分）
（Ⅱ）为参数，将其代入椭圆方程，有，
对应的参数分别为，有，
所以. （10分）
- (本小题满分10分)
（Ⅰ），等价于或，
解得或，所以不等式解集为或；（5分）
（Ⅱ），等价于，
等价于，，即，或，
从而或. （10分）
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