2022江苏省如东高级中学高三上学期第一次学情检测数学试题含答案

2021～2022学年度高三年级第一次学情检测

数   学

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题：∀，x2+5x的否定是（　　）

A．∃，x2+5x B．∀，x2+5x 

C．∃，x2+5x D．∃，x2+5x

2. 设集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∈A，则实数m的取值范围是（　　）

A．（2，5） B．[2，5） C．（2，5] D．[2，5] 

3. “”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　   　)

A．ln 2    B．ln 3    C.      D.

5. 函数f(x)＝的图象大致为(　　) 

6. 已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：

甲：是奇函数；                   乙：的图象关于直线对称；

丙：在区间上单调递减； 丁：函数的周期为2.

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

7. 若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)

A．[－1,3]　　　　　　　 B．(－∞，－1]

C．[3，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

8. 已知函数，若关于的方程有四个不等根，则的值是（    ）

A．0 B．2 C．4 D．8

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么(　   　)

A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值         B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值

C．f(x)在定义域内是偶函数                 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称

10. “关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（　   　）

A．0＜a＜1 B．0≤a≤1 C．0＜a D．a≥0

11.  若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（　   　）

A．ab有最大值 B．有最大值 

C．+有最小值2 D．a2+b2有最小值

12. 设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（　   　）

A.   B.      C.   D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13. 函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是       ▲        ．

14. 已知集合，，若，则实数=        ▲      ．

15. 已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是       ▲       ．

16. 已知函数f(x)＝loga(x＋3)在区间[－2，－1]上总有|f(x)|<2，则实数a的取值范围为      ▲      ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．

(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？

18.（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2＝＋.

(1)求角C；

(2)若BM平分角B交AC于点M，且BM＝1，c＝6，求cos∠ABM.

19. （本小题满分12分）

已知函数为奇函数.

（1）求实数的值并证明函数的单调性；

（2）解关于不等式：.

20. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，已知，，.

（1）求证：平面；

（2）设棱的中点为，求平面与平面所成二面角的正弦值.

21. （本小题满分12分）

已知椭圆经过点，椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且与轴不重合的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，直线AM，AN与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求的值.

22. （本小题满分12分）

已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax.

(1)讨论函数f(x)的极值点；

(2)若f(x)极大值大于1，求a的取值范围．

2021～2022学年度高三年级第一次学情检测

数学参考答案

一、选择题

1.    2.    3.    4.    5.    6.    7.    8.

二、多选题

9.     10.     11.     12.

三、填空题

13.     14.     15.     16.

四、解答题

17. 解：(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，

则y＝400＋60t－120.                                           ……………2分

令＝x，则x2＝6t，

即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，

所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，                                 ……………4分

即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，最少水量是40吨．      ……………5分

(2)依题意400＋10x2－120x<80，                                       ……………7分

得x2－12x＋32<0，

解得4<x<8，即4<<8，<t<，                                 ……………9分

因为－＝8，所以每天约有8小时供水紧张．                     ……………10分

18. 解：(1)因为＝＋，

所以cos A＝，                                                   ……………2分

所以cos Asin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C.

又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C＝0，                         ……………4分

因为C∈(0，π)所以C＝.                                          ……………6分

(2)记∠ABM＝α，则∠MBC＝α.

在Rt△MCB中，BC＝cos α，

在Rt△ACB中，cos∠ABC＝，即cos 2α＝，                    ……………9分

即2cos2α－1＝，所以cos α＝或－(舍去)，

所以cos∠ABM＝.                                                ……………12分

19. 解：（1）因为函数为奇函数，所以，即

，即，

即，化简得，

所以.                                                         …………… 4分

(说明直接由用求解不给分)

由得，

任取，

则

因为，所以，，，所以

所以，所以在上单调递增.                      …………… 8分

 （2）可化为，

设函数，由（1）可知，在上也是单调递增，

所以，即，解得                  ……………12分

20. 解：（1）因为，，

所以，所以          ……………2分

在中

，

所以，所以，所以，         ……………4分

因为平面

所以，，

所以平面                                                ……………6分

（2）如图建立空间直角坐标系，

所以，，，，，

所以，，，

设平面与平面法向量分别为，二面角为

所以，       ……………8分

                       ……………10分

所以，.                              ……………12分

21. 解：（1）椭圆过点且离心率

则                                                    ……………2分

所以 ，故椭圆的方程为.                           ……………4分

（2）直线的方程为，，

，得.

所以                                        ……………6分

直线方程为：，令            ……………8分

直线方程为，令              ……………10分

所以

.                      ……………12分

22. 解：f′(x)＝(x－a)ln x＋x－a－x＋a＝(x－a)·.                           ……………1分

(1)当a≤0时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，极小值点为x＝；

当0<a<时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，极小值点为x＝，极大值点为x＝a；

当a＝时，f(x)在(0，＋∞)单调递增，无极值点；

当a>时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，

极小值点为x＝a，极大值点为x＝.                                 ……………5分

(2)由(1)知，

当a≤0和a＝时，无极大值，不成立．                                 ……………6分

当a>时，极大值f()＝a－>1，解得a>＋，

由于＋－＝－＝<0，所以a>.                   ……………8分

当0<a<时，极大值f(a)＝a2(2－ln a)>1，

得2－ln a>.

令t＝a2，则g(t)＝2－ln t－，0<t<e，

g′(t)＝－＋＝，

所以g(t)在(0，e)上单调递增，而g(1)＝0，

所以g(t)>0的解为(1，e)，则a∈(1，)．                               ……………11分

所以a的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．                               ……………12分