2022辽宁省渤海大学附属高级中学高三上学期第一次考试数学试题扫描版含答案

2021渤大附中高三第一次考试数学试卷参考答案

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．【答案】B

【详解】，所以.故选：B.

2．命题“R，”的否定是（    ）

A．R， B．R， C．R， D．R，【答案】C

【详解】对全称命题的否定是特称命题，所以命题“R，”的否定是“R，”.选：C

3．设，则“”是“”的（    ）条件．

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】B

【详解】，解得，不等式为 ，即 ，即 ，解得 或，

所以或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：B

4．二次不等式的解集为，则的值为（    ）

A． B．5 C． D．6【答案】D

【详解】不等式的解集为，，原不等式等价于，

由韦达定理知，，，，．故选：D．

5．已知递增等比数列中，，，若，则（    ）．

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D

【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得或，

因为数列是递增数列，所以，则由，得，解得，所以，

由，得，解得，故选：D

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．【答案】C

【详解】，因为在上单调递增，，因为，所以，即，所以，故选：C.

7．某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：①函数是奇函数；②函数的值域为；③函数在上是增函数.其中正确结论的序号是（    ）

A．①②③   B．③   C．②③   D．①②【答案】A

【详解】∵函数的定义域是实数集，，∴函数是奇函数，故①正确；

∵，∴，故②正确；

∵函数在上可化为，奇函数在上是增函数，∴在其定义域内是增函数，故③正确.故选：A.

8．若则（    ）

A． B．

C． D．【答案】D

【详解】构造函数，则，令解得，当时，，故单调递减，又，所以，即，又，

所以，则即故选：D.

9．已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（    ）

A．  B．  C．  D．【答案】ABC

【详解】令，得，即函数的图象恒过点．

选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；

选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；

选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；

选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意．故选:ABC．

10．集合中有且只有一个元素，则的取值可以是（    ）

A．1 B． C．0 D．2【答案】ABC

【详解】集合表示方程的解组成的集合，

当时，符合题意；当要使中有且只有一个元素只需解得

故的取值集合是， 故选：．

11．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（    ）

A．  B．  C．  D．【答案】AD

【详解】，，，，即，即，ab1故正确；

，故，故B错误；，故C错误；，2故D正确；故选：AD．

12．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ）

A．时，恒成立     B．时，在零点，

C．时，是的极值点  D．若有3个零点，则a的范围为【答案】BD

【详解】A：若，则，当时，，故A错误；

B：若，则，此时仅有一个零点，且，又，，所以，故B正确；

C：若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故在R上单调递增，无极值点，故C错误；

D：若函数有3个零点，即有三个解，则函数与图像有3个交点，因为，

令得，所以在上单调递增，在上单调递减，当时函数取得极小值，且极小值为，

所以当时>0；当时，所以要使与图像有3个交点必有，故D正确.  故选：BD

13．若幂函数的图象过点，则的值为________．【答案】

【详解】设幂函数解析式为，则，可得，故，因此，.

故答案为：.

14．已知公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，为数列的前项和，则的值为___________.【答案】2

【详解】设等差数列的公差为，首项为，所以，．因为、、成等比数列，

所以，解得：．所以，故答案为：.

15．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______．【答案】

【详解】，所以，.

当且仅当时，等号成立，且此时三边可以构成三角形.因此，该三角形面积的最大值为.答案为：.

16．设函数. ①若，则的最大值为_______；

②若有且只有个零点，则实数的取值范围是________.【答案】       

【详解】①当时，，若，则，，

当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.

所以，，若，则，综上所述，；

②由可得或，由可得，

在同一直角坐标系中作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，当时，函数有两个零点.故答案为：①；②.

17．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.

（1）求出V关于Q的函数解析式；

（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．

【详解】（1）设V＝k·log3，∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3，∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为;                        -----------------------------------------------5分

（2）令V＝1.5，则，∴Q＝2 700，

即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．----------------------------------10分

18．已知函数

（1）求函数的零点；

（2）若实数满足，求的取值范围.

【详解】（1）， ------------------------------------------3分

 ，  函数的零点为；----------------------------3分

（2）当时，，

此时，

当时，，

同理，，故函数为偶函数，  -----------------8分

又时，为增函数，

（2）时，（2），即，

，， 综上所述，的取值范围是. ------------------------------------------12分

19．已知是单调递增的等比数列，其前n项和为，，且成等差数列．

（1）求和；

（2）设，求数列的前n项和．

【详解】（1）∵是单调递增的等比数列，且，∴的公比，

∵成等差数列，∴，即，            

由，，得，∴（舍去）， -----------------4分      

∴    -----------------6分

（2）∵， 

∴，            

∴．-----------------12分

20．随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．

（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．

【详解】（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，

则，随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，

所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．-----------------4分

（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，

则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．

现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．

则，，

，．            -----------------8分

所以的分布列如下：

所以． -----------------12分

21．已知函数.

（1）已知在点处的切线方程为，求实数a的值；

（2）己知在上是增函数，求实数a的取值范围.

【详解】（1）∵，∴，∴，-----------------3分

又在点处的切线方程为，，解得：-----------------6分

（2）在上为增函数，∴在上恒成立，

∴在上恒成立，∴，

令，当时，.∴在上单调递增，

∴，故a的取值范围为-----------------12分

22．已知函数.

（1）若求的单调区间；

（2）若恒成立，求整数a的最大值.

【详解】（1）f（x）的定义域为，

，

①当－1＜a＜0时，，由，得0＜x＜1或，由，得，

∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（0，1）和；-----------------2分

②当a＝－1时，在上恒成立，-----------------4分

∴f（x）的单调增区间为，无减区间；

③当a＜－1时，，由，得或x＞1，由，得，

∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为和；

综上所述，当a＜－1时，f（x）的单调减区间为，单调増区间为和；

当a＝－1时，f（x）的单调增区间为，无减区间；

当－1＜a＜0时，f（x）的单调减区间为，单调增区间为（0，1）和.-----------------6分

（2），故，

设，则，

设，则恒成立，

∴h（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∵h（1）＝－1＜0，，

，使得，

时，，从而，时，在上为减函数，

时，，从而，时，在上为増函数，

，-----------------10分

把代入得：，

令，则p（x）为增函数，

，，，

整数a的最大值为－1.-----------------12分