2022眉山仁寿一中南校区高三上学期入学考试数学（理）试题含答案

高三上期入学考试数学（理科）试卷

时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合 ,集合 ，则（  A  ）
A.        B.        C.      D.

2.复数满足（为虚数单位），则的虚部为（  B  ）

A．           B．              C．      D．

3.命题“，”的否定是（  B   ）

A．，        B．，

C．，   D． ，

4．的展开式中的系数是（  A  ）

A. 90 B. 80 C. 70 D. 60

5．设，则（  B  ）

A． B． C．1 D．

6．曲线在点（1，）处的切线的倾斜角为（  D   ）

A．     B．     C．     D．

7．设，，，则，，的大小关系是（  B   ）

A．      B．      C．      D．

8．“二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比如：二进制数化为十进制的计算公式如下：．若从二进制数、、、中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（  D  ）

A．       B．        C．        D．

9.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为（  A   ）

A. 2           B.            C. 1          D.

10.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（ B   ）

A．120             B．84              C．56            D．28

11．若双曲线的离心率为2，则（  D  ）

A． B． C．或3 D．3

12．函数f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在区间内有极小值，则a的取值范围是（  C  ）

A.  B.        C.     D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）

13．已知向量，，若，则            .9

14．已知实数满足，则的最小值是_________.-8

15.有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数据：

则在犯错误的概率不超过______的前提下认为近视与多看手机有关系．0.001

附表：

参考公式：，其中．

16.若对任意的，，且，都有，则的最小值是______．

三、解答题（共70分，22题10分，其余大题均为12分）

17．已知的内角所对的边分别为，若.

（1）求角.

（2）若，，求的面积.

17．（1）；（2）

（1）由正弦定理，，

∴，∴，∴，，∴

（2）由余弦定理知：，得解得，∴

18．（本小题满分12分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作——强基计划．现对某高中学校学生加强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，随机抽取了10名学生．

（1）在某次数学强基课程的测试中，这10名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，其中某男生的成绩被污损，求女生的平均分数超过男生的平均分数的概率．

（2）已知学生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，现统计了小明同学连续5次在强基课程测试中的数学和物理成绩（如下表）．若第6次测试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次测试他的物理成绩大约是多少？

附：，．

解：（1）设被污损的数字为，则共有10种情况．

由，得，

故有8种情况使得女生的平均分数超过男生的平均分数．

令事件：女生的平均分数超过男生的平均分数．则．

（2）由，

得

，所以关于的线性回归方程是，

当时，，故估计第6次测试他的物理成绩为89分．

19.(12分) 如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面ABC，且平面平面ABC，为AB中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角平面角的余弦值.

【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.

由平面平面，且交于，平面，有平面，

由平面平面，且交于，平面，有平面

，所以∥，又平面，平面，所以∥平面

，由，有，∥，又平面，平面

，所以∥平面，

由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面

（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系

由面，所以面的法向量可取，

点，点，点，，，

设面的法向量，所以

，取，

二面角的平面角为，则为锐角.

所以

20．已知直线与椭圆交于、两点．

（1）若直线过椭圆的左焦点，求弦长的值；

（2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求的值．

20．解：（1）由题知，，左焦点

则直线的方程为，设、，

联立方程，得，

所以，，，

所以．

（2）设、，的中点，

联立方程，得，，

∴，，，故点的坐标为

∵线段的垂直平分线与轴交于点∴线段的垂直平分线方程为．

由中点在直线上，知．

解得（满足），因此的值为．

21．（本小题满分12分）已知函数在处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线与曲线C相交于M､N两点，求的值.

22．（1）；（2）.

（1）由，

则，则曲线C的直角坐标方程为.

（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理可得

，其两根分别设为，则

由.