2022安徽省江淮十校高三上学期第一次联考理科数学试题含答案

江淮十校2022届高三第一次联考

数学（理科）                         2021.8

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A．  B．

C．  D．

4．已知，则函数，有两个零点的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ）

A．  B．

C．  D．

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

7．《九章数学》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”．如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为（    ）

A．4天 B．5天 C．6天 D．7天

8．的展开式中的系数为（    ）

A．12 B．16 C．20 D．24

9．已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过定点的截面面积的最大值等于（    ）

A． B． C．3 D．2

10．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知抛物线（），为焦点，直线过焦点与抛物线交于，两点，为原点，的面积为，且，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

12．已知不等式恒成立，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若，满足约束条件，则的最大值为______．

14．已知向量，，若，则______．

15．已知双曲线：的一条渐近线与圆：相交于，两点，则______．

16．已知正方体的棱长为1，点为底面的四条棱上的动点，则的取值范围为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）的内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）求的最小值．

18．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，学生甲参加校团委举办的“学党史，迎七一”党史知识竞赛，比赛共十道题，答对一题得10分，答错一题扣5分，假设每道题甲能答对的概率为，且每道题答对与否相互独立．

（1）求甲答题开始后，直到第4道题才答对的概率；

（2）求甲得分的期望是多少？

19．（12分）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，，，为的中点，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）已知数列的前项和为，首项为，且．

（1）证明：为等差数列；

（2）若的首项和公差均为1，求数列的前项和．

21．（12分）已知椭圆：（）长轴长为4，在上运动，，为的两个焦点，且的最小值为．

（1）求的方程；

（2）已知过点（）的动直线交于两点，，线段的中点为，若为定值，试求的值．

22．（12分）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数，讨论零点的个数．

江淮十校2022届高三第一次联考

数学（理科）试题参考答案与评分细则

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．C

2．A  解析：，故选A．

3．B  解析：为奇函数，故选B．

4．A  解析：，有2个零点，借助图像得，∴，故选A．

5．C  解析：对于A，为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故选C．

6．A  解析：，，，∴，故选A．

7．B  解析：大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列．

∴距离之和为．

∵，

∴这两只老鼠相逢所需天数至少为5天，故选B．

8．B  解析：因为，所以的系数为展开式中，的系数之和，由于，（），所以的系数为，故选B．

9．D  解析：因为轴截面为顶角是的等腰三角形，故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，

此时，故选D．

10．A  解析：．两边平方可得，

所以，所以，

所以，因为，所以，，故选A．

11．D  解析：抛物线的准线方程：，如图所示，

作于，作于，作于，

设，因为，，所以，

故，所以直线的方程，

因为，所以，解得，故选D．

12．C  解析：

构造函数，易知在上单增．

∴，

两边取对数得在上恒成立，

令，易求出．

∴，故选C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．19

解析：根据不等式组表示的平面区域，将初始直线：向上平移经过点时，取得最大值19．

14．

解析：，，于是，解得．

15．

解析：不妨设双曲线：的一条渐近线方程为，圆：的标准方程为，故．

16．

解析：不妨设点在棱上，设，则，由勾股定理可得

，

其几何意义为轴上一动点（）到两定点与的距离之和．易知其最小值即为到的距离，

即．

又有平面几何知识知，的最大值在或处取得，

当时，；当，．

故的取值范围为．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）由正弦定理得，即，

∴由余弦定理得，因为，

所以．

（2）因为，所以

，

因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为．

18．解：（1）记甲答题时第道题答对为事件（），

则事件，，，是相互独立事件，

记甲答题开始后，直到第4道题才答对为事件，则，

所以；

（2）记甲答对的题数为随机变量，总得分为随机变量，则，

所以，，

于是，

所以甲得分的期望是70分．

19．解：（1）取中点，则，，

又，，∴，．于是为平行四边形．

则，又平面，平面，∴平面．

（注：其它方法酌情给分！）

（2）以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则

，，．

设平面的法向量为，从而

，取，

同理平面的法向量为，

设平面与平面所成锐角二面角大小为，

则．

20．解：（1）由题意得（）

两式相减得

从而

再两式相减得

又

∴，于是为等差数列．

（注：其它方法酌情给非！）

（2）由（1）可得为等差数列，又，∴．

于是

则．

21．解：（1）由题意得，

设，长分别为，．则

，

（当且仅当时取等号）

从而，得，∴，，

则椭圆的标准方程为．

（注：其它方法酌情给分！）

（2）①若直线的斜率不存在，易得；

若直线的斜率存在，设其方程为，联立得

，易知恒成立，

设，，则，

且，，

要使上式为常数，必须且只需，即。

此时为定值，符合题意．

综上可知，当时，能使得．

22．解：（1），所以，，

所以切线方程为；

（2）．

所以

①当时，，当时，，递减，

当时，，递增，

因为，，

又因为当时，，，

所以，

所以，

令，解得，

故取，则，

所以存在，使得，有两个零点；

②当时，，有一个零点；

③当时，，令，解得或，

所以当时，，递增，

当时，，递减，

当时，，递增，

因为，令

又因为当时，

所以，

又，存在使有一个零点．

综上：当时，有一个零点；当，有两个零点．