2022淮安车桥中学高三上学期入学调研（B）数学（文）试题含答案

2022届高三入学调研试卷

文 科 数 学 （B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，

因此，，故选A．

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，故选B．

3．如图为国家统计局2021年1月19日发布的2020年各季度社会消费品零售总额及增速，则下列说法：

①各季度社会消费品零售总额增速最快的是4季度；

②各季度社会消费品零售总额增速最快的是2季度；

③各季度社会消费品零售总额增量最大的是4季度；

④各季度社会消费品零售总额增量最大的是2季度．

其中所有正确说法的序号为（    ）

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

【答案】C

【解析】第1季度社会消费品零售总额增速为，第2季度社会消费品零售总额增速为，

第季度社会消费品零售总额增速为，第4季度社会消费品零售总额增速为，

故①正确，②错误；

第2季度社会消费品零售总额增量为（万亿元），

第3季度社会消费品零售总额增量为（万亿元），

第4季度社会消费品零售总额增量为（万亿元）．

故③正确，④错误，

故选C．

4．生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某人侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，．据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（，）（    ）

A．天 B．天 C．天 D．天

【答案】C

【解析】因为，，，所以，解得．

设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加3倍后的时间为，

则天，故选C．

5．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为（约等于），这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，某同学在（角约等于）内用尺规作图，将进行黄金分割，则在内任取一点，该点取自曲边三角形内的概率约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，设，，则，所以，

则直角的面积为，

曲边三角形的面积，

故所求概率约为，故选C．

6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由知，，在区间上单增，应满足：

，，解得，

又，易知k只能取0，解得，故选B．

7．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设为第等人的得金数，则为等差数列，

由题设可知，，故，

而，故选C．

8．在中，，，，M为BC中点，O为的内心，

且，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】由题知，，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径，四边形AEOF为矩形，

则，

又，

则，

则，则，故选A．

9．点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设与直线平行的直线与曲线相切于点，

则两平行线间的距离即为的最小值，

因为，所以，解得，

所以，，即，

所以曲线的切线为，

由平行线间的距离公式可得的最小值为，故选A．

10．如图，在椭圆中有一内接矩形（四个顶点都在椭圆上），A点在第一象限内．当内接矩形的面积最大时，点A的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】椭圆上A点在第一象限内，可设为，

则第一象限内小矩形面积，

所以矩形的面积，则，

当，即时，面积最大为40，此时，点，

故选C．

11．若关于x的不等式恒成立，则正数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，由恒成立性质可知只需．

又为增函数，且当时显然有解，不妨设，

则当时，；当时，，

故的最小值为，

又根据可得

，

设，则设，

又，故当时，为减函数，

又，故当时，；当时，，

故当时，满足，

又为关于的减函数，故，

故选B．

12．已知定义在上的函数，满足，且时，，则下列说法不正确的是（    ）

A．

B．在上单调递减

C．若，的解集

D．若，则

【答案】D

【解析】构造函数，由可得．

对于A选项，取，可得，，

取，则，，则函数为奇函数，

所以，，可得，A选项正确；

对于B选项，由已知条件可知，当时，．

任取、且，所以，，

，所以，函数为上的减函数，

所以，函数为上的减函数，B选项正确；

对于C选项，，可得，

由，可得，

即，，可得，解得．

C选项正确；

对于D选项，，，

，，

因此，，D选项错误，

故选D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在中，若，，，则______．

【答案】

【解析】因为，，，

由余弦定理，得，

解得或（舍去），故答案为1．

14．如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n个图中阴影部分的面积为__________．

【答案】

【解析】图1中阴影部分的面积为，

图2中阴影部分的面积为，

图3中阴影部分的面积为，

由此规律，可得图中阴影部分的面积为，

故答案为．

15．已知直线过定点，过点向圆作切线，切点分别为，则弦所在的直线方程为__________．

【答案】

【解析】，，

由，得，．

，，点四点共圆，且圆心为的中点，

弦是圆和圆的公共弦，

又，即，且圆的半径，

圆…①，

又圆…②，

由①②得：弦所在直线方程为，

故答案为．

16．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．

【答案】

【解析】在中，由余弦定理易知，，

即，解得，

因为，所以，

因为平面平面且交于，平面，

所以平面，外接球的球心到平面的距离为，

设的外接圆的半径为，外接球的半径为，

则由正弦定理得出，解得，

，解得，

外接球的表面积，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，解得，

当时，，得，

因为，所以，

因为，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以．

（2）因为，所以，

所以数列的前项和．

18．（12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．

（1）求证：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）作于，

因为，．

所以，可得，

因为，所以，所以．

所以，即，

因为面面，面面，面，

所以面．

（2）因为平面平面，，

面面，面，

所以平面，，

，所以，

因为，所以，

因为平面，面，所以，

所以，

设点到平面的距离为，

由可得，可得，

所以点到平面的距离为．

19．（12分）已知直线与椭圆交于、两点，且在直线的上方（如图所示）．

（1）求常数的取值范围；

（2）若的面积最大，求直线的斜率的大小．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得（*），

由题意可得，解得，

因为点在直线的上方，则，解得，

综上所述，实数的取值范围为．

（2）设点、，由韦达定理可得，，

，

，点到直线的距离为，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

所以，方程（*）为，

由图可知，则，，即点，

故直线的斜率为．

20．（12分）随着时代的发展，科技的进步，“网购”已经成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西，而且两三天就会送到自己的家门口，某研究机构调查了某地去年第一个月至第七个月的网店销售收入如表：

根据以上数据绘制散点图．

（1）为了更深入的了解网购发展趋势，机构需要派出人员进行实地考查，拟从A，B，C，D，E五名员工中随机抽取2人前往，则A，B至少有一人被抽到的概率是多少？

（2）根据散点图判断，与哪一个适宜作为网店销售收入关于月份的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并根据你判断的结果及表中的数据，求出关于的回归方程；(结果保留两位小数)

（3）根据（2）中求得的回归方程预测8月份该地区的网店销售收入．

参考数据与参考公式：

其中，，，．

【答案】（1）；（2）指数型适合题意；回归方程为；（3）（万元）．

【解析】（1）从A，B，C，D，E五名员工中随机抽取2人前往，

所有事件如下：，共10个，

其中A，B至少有一人的事件有:，共7个，

所以A，B至少有一人被抽到的概率是．

（2）根据散点图知，指数型适合作为网店销售收入关于月份的回归方程类型．

由两边取对数，得，而，

设，则回归方程即，，

因为，，

，，

所以，即，

所以，，

即，，

网店销售收入关于月份的回归方程为．

（3）时，，

所以8月份该地区的网店销售收入大约为（万元）．

21．（12分）已知函数，．

（1）求在的极值；

（2）证明：在有且只有两个零点．

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）证明见解析．

【解析】（1）由，，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数的极小值为，无极大值．

（2）证明：，其中，

则，

令，则，

当时，，则在上单调递减，

，，

所以，存在，使得．

当时，，此时函数在上单调递增；

当时，，此时函数在上单调递减，

，

而，，

则，

又，令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，则，

所以，．

由零点存在定理可知，函数在上有两个零点；

当时，，，

设，则对任意的恒成立，

所以，，

所以，函数在上没有零点，

综上所述，函数在上有且只有两个零点．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

以直角坐标系的原点0为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆M的半径为2．

（1）求直线l的参数方程(写出一个即可)和圆M的极坐标方程；

（2）设直线l与圆M相交于A，B两点，求的值．

【答案】（1）（为参数），圆的极坐标方程为；（2）．

【解析】（1）的倾斜角为，所以斜率，

又直线过点，所以直线的直角坐标方程为，

则直线的参数方程为（为参数）；

因为的极坐标为，所以的直角坐标为，

又圆的半径为，所以圆的方程为，圆的极坐标方程为．

（2）由（1）可知，圆的直角坐标方程为，且，所以在圆内，

因为直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程得，所以，，

所以

．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）若，不等式，即为，

等价为或或，

解得或或，

所以原不等式的解集为．

（2）若恒成立，即为，，

而，

当时，上式取得等号，

所以，即，解得，

即的取值范围是