2022淮安车桥中学高三上学期入学调研（A）数学（文）试题含答案

2022届高三入学调研试卷

文 科 数 学 （A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，，即，解得或，

∴；

，

，故选C．

2．已知，，则复数的虚部为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】由题意，复数，，

可得，可得复数的虚部为，

故选A．

3．某地依托“互联网+智慧农业”推动精准扶贫．其地域内山村的经济收入从2018年的4万元，增长到2019年的14万元，2020年更是达到52万元，在实现华丽蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如下图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．2020年外出务工收入比2019年外出务工收入减少

B．种植收入2020年增长不足2019年的2倍

C．2020年养殖收入与2019年其它收入持平

D．2020年其它收入比2019年全部收入总和高

【答案】D

【解析】选项A：2020年外出务工收入为万元，2019年外出务工收入为万元，

所以2020年外出务工收入比2019年外出务工收入增加，故选项A不正确；

选项B：2020年种植收入为万元，2019年种植收入为万元，

所以种植收入2020年增长是2019年的倍，故选项B不正确；

选项C：2020年养殖收入为万元，2019年其它收入为万元，

2020年养殖收入与2019年其它收入并不持平，故选项C不正确；

选项D：2020年其它收入为万元，2019年全部收入总和为万元，

所以2020年其它收入比2019年全部收入总和高，故选项D正确，

故选D．

4．已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，

又因为，，

所以数形成的数组有，共36种情况，

其中，

，共17种情况满足，

所以所求概率，故选C．

5．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形原的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为正三角形的边长为，所以正三角形的面积为，

而原图形的面积与直观图的面积关系为，

所以原的面积为，故选C．

6．已知数列的前n项和为，且，数列满足，则数列的前64项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】数列的前n项和，可得，

时，，上式对也成立，

可得，

则数列的前64项和为，

故选B．

7．已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】B

【解析】，

因为，即，所以，

因为最大值为，所以，则，则，

故选B．

8．如图，在中，，，与交于，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，，设，，

∴，

同理，向量还可以表示为

，

所以，解得，

所以，所以，，

所以为，故选A．

9．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，，，

又，故，故选A．

10．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线l与x轴交于点C，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，

设抛物线的准线为l，过A作于M，过B作于N，过B作于K，

设，则，，，

∴，∴，∴，

∴，

∴的面积为，故选D．

11．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由，得，

因为函数的图象在处的切线与直线垂直，

所以，则，

所以，

又，即，

因为，故，

令，则，

时，恒成立．

所以当时，，为增函数；

当时，，为减函数，

所以在内的最小值为，故，故选C．

12．已知“整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，则第222个“整数对”是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将整数对记为：，由题意可知：

的个数为个，

的个数为个，

的个数为个，

……

以此类推，则可得：；，

可知第个整数对是中的第个，

的整数对共个，则第个为：，

由此可得第个为，本题正确选项C．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在中，角、、的对边分别为、、，若，则___________．

【答案】

【解析】由余弦定理易知，即，

则是以角为直角顶点的直角三角形，，

故答案为．

14．若满足约束条件，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

将化为，

则数形结合可得，当直线过点时，取得最小值为，

故答案为．

15．已知点P是地物线上的一个动点，则点P到直线和的距离之和的最小值为________．

【答案】3

【解析】抛物线，即的焦点坐标为，准线方程．

由抛物线的定义，可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，

所以抛物线上的点P到直线和的距离之和的最小值，

转化为焦点到直线的最小值，

，故答案为3．

16．在四面体ABCD中，与都是边长为的正三角形，G为AC的中点，且，则该四面体ABCD外接球的表面积为________．

【答案】28π

【解析】过点D作DE⊥BG，易得DE⊥平面ABC，

记的中心为O1，几何体的球心为O，

连接OO1，过点O作交DE于点F，

如图所示，由题可得，，

，，，，

设，外接球的半径为R，

所以，即，解得，

所以该四面体外接球的表面积为28π．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在中，角，，对边分别为，，，，．

（1）求角的大小；

（2）求_________．

在①面积的最大值；②周长的最大值；③的内切圆的半径最大值．从中任选一个做为问题（2），并给出问题的解答．

注：如选择多个结论分别解答，则按照第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【解析】（1）∵，

由正弦定理可得，即，

∴，

∵，∴．

（2）选择①，由于，，

∴，∴，即，

当且仅当时，等号成立，

∴面积的最大值为．

选择②，由于，，

∴，即，

所以，当且仅当时，等号成立，

∴周长的最大值为．

选择③，令内切圆半径为，

故，可得，

代入，

可得

，

由②知，故，

可得内切圆半径的最大值为．

18．（12分）在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求点A到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为平面，平面，

所以，

，且两个角都是锐角，

所以，

又因为，所以，所以，

又因为与是平面内的两条相交直线，

所以平面．

（2）设点A到平面的距离为，

由，可得，

即，即

求得，

所以点A到平面的距离．

19．（12分）某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天食品A的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：℃）的数据，如下表：

（1）求关于的线性回归方程；查看当天天气预报知道，第二天气温可能降至0℃左右，为第二天准备食品A多少千克比较恰当？（精确到个位数）

（2）是否有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于9千克具有影响？

附：参考公式与数据：①回归方程中，，．②．

【答案】（1），为第二天准备该商品左右较合适；（2）具有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于具有影响．

【解析】（1），，

，

，

，，

所以，所求回归方程是，

将代入回归方程得千克，

所以依据第二天气温可能降至0℃的天气预报，为第二天准备该商品左右较合适．

（2）根据已知条件构造分类变量列联表：

计算随机变量的观测值：

，

，．

所以，具有95%的把握认为气温是否超过6℃对销售量是否低于具有影响．

20．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆右顶点，过点作斜率不为的直线与曲线交于两点，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，即，

又因为椭圆上的离心率为，，即，

所以，

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）得，因为，

设直线的方程为，，，

联立方程得，化简得，

，且，

因为，，

所以

，

，

所以．

21．（12分）已知函数．

（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）当时，若方程有两个不等实数根，求实数m的取值范围，并证明．

【答案】（1）；（2），证明见解析．

【解析】（1）由在上单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，即求，求导，

当时，，所以在上单调递减，，

所以实数a的取值范围是．

（2）当时，有两个不等实数根，

∴有两个不等实数根，

令，则，令，得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以时，函数取得极小值，也即是最小值，

所以实数m的取值范围是，

易知，

∵，∴，∴，

∴，

∵，

令，则，

∴在上单调递增，故，即，

∴，∴．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于A，两点，若点的坐标为，求．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）直线的参数方程，消去参数，得直线的普通方程为，

由曲线的极坐标方程，得，

所以曲线的直角坐标方程为．

（2）直线的参数方程可写为(为参数)，

代入，得，

设A，两点的参数为，则，，

所以．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

①当时，不等式可化为，解得，此时无解；

②当时，不等式可化为，解得，

∴，

③当时，不等式可化为，解得，∴，

综上可知，原不等式的解集为．

（2）当时，不等式，即，

整理得，则，即，

又，故分离参数可得，

令函数()，显然在上单调递减，∴，

当时，(当且仅当时等号成立)，

∴实数的取值范围为