2022淮安车桥中学高三上学期入学调研（A）数学（理）试题含答案

2022届高三入学调研试卷

理 科 数 学 （A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得，解得，即，

又由或，

可得，故选D．

2．复数，下列说法正确的是（    ）

A．z的模为  B．z的虚部为

C．z的共轭复数为 D．z的共轭复数表示的点在第四象限

【答案】A

【解析】，

z的模为，故A正确；

z的虚部为，故B错误；

z的共轭复数为，故C错误；

z的共轭复数表示的点为在第一象限，故D错误，

故选A．

3．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量．已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（    ）(参考数据：，)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，，

即，所以，解得，

故选C．

4．若x，y满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】A

【解析】作出可行域，如图阴影部分（线段，射线，射线围成的区域），作直线，

在中表示直线的截距，直线向上平移时纵截距增大，增大，

平移该直线，当它过时，，

故选A．

5．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（    ）

A．10层 B．11层 C．12层 D．13层

【答案】C

【解析】设塔群共有层，该数列为．

依题意，得，，…，成等差数列，且公差为2，，

所以，解得或(舍)，

故选C．

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，

所以，故选A．

7．在平行四边形中，，M是中点．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

∴，

∵，∴，故选B．

8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（    ）

A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面

B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行

C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直

D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行

【答案】A

【解析】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，

对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；

对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；

对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；

对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误，

故选A．

9．已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，则，

∵，∴，

∵，∴是R上的奇函数，

∴可化为，

又∵，

，

所以在R上是减函数，

∴，解得，故选A．

10．已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，

因为都在椭圆上，所以，所以，

所以，所以，

又因为，，

所以，故选D．

11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，

对应区域为边长为的正方形，其面积为，

若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，

其面积，则有，解得，

故选D．

12．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是（    ）(取，)

A．15 B．16 C．17 D．18

【答案】C

【解析】设正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为的折线，

“二次分形”后折线长度为，“n次分形”后折线长度为，

所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足，

两边同时取常用对数得：，即得，

解得，

故至少需要17次分形，故选C．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在的展开式中，的系数为_________．

【答案】90

【解析】∵，

∴含有的项为，

即的系数为90，故答案为90．

14．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且的面积为，则的内切圆的半径为_________．

【答案】

【解析】因为的面积为，所以，解得．

又，由余弦定理可得，

所以，

所以的周长为，

设的内切圆的半径为，

则，解得，

故答案为．

15．由数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数，则能被15整除且0不在个位的四位数共有________个．

【答案】60

【解析】由题意，四位数的个位数字一定是5，且4位数字之和能被3整除，

当四位数中有0时，满足题意的四位数有（个）；

当四位数中没有0时，满足题意的四位数有（个），

所以能被15整除且0不在个位的四位数共有60个．

故答案为60．

16．在四面体中，，，，则其外接球的表面积为_________．

【答案】

【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长､宽､高分别为，，，

则，解得，

所以，即，

从而其外接球的半径为，其外接球的表面积为，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，可得，

当时，，式子对也成立．

故数列的通项公式为．

（2）由（1）得，，

所以．

18．（12分）已知直四棱柱中，，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD．

平面ABCD，．

在四边形ABCD中，，，．

又，平面．

（2）如图，连接，记，，连接，

则平面ABCD，且．

以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，．

设平面的法向量为，则，即，

取，则，，是平面的一个法向量．

设平面的法向量为，则，即，

取，则，，所以是平面的一个法向量，

，

由图知，二面角为锐角，所求二面角的余弦值为．

19．（12分）已知椭圆的焦点为F1､F2，过F2的直线交E于A，B两点，线段AB的最小值为，过A作与y轴垂直的直线交直线于点C．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）试问直线BC是否经过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）直线BC恒过定点．

【解析】（1）因为椭圆，所以，

，，

椭圆的标准方程为．

（2）直线BC恒过定点，

证明如下，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，

由，消去并整理，得，易知，

设，，则，，

所以，

由，

直线的斜率为，

其线的方程为，即，

可知直线BC恒过定点；

当直线AB的斜率为0时，显然直线BC恒过定点，

综上，得证．

20．（12分）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，．

（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；

（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，

则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值．

【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，．

【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有：

①甲投中1次，乙投中2次；

②甲投中2次，乙投中1次；

③甲投中2次，乙投中2次．

故所求概率：

．

（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:

，

因为，所以，

因为，，，所以，，

又，所以，

令，因为，则，

当时，，

他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，

由，则，所以理论上至少要进行轮游戏，

此时，，．

21．（12分）已知函数．

（1）判断的单调性；

（2）若，求证．

【答案】（1）在上单调递增；（2）证明见解析．

【解析】（1）函数的定义域为，

因为，，

所以，

所以当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，

则当时，取得极小值，也是它的最小值，

所以，所以，

则在上单调递增．

（2）因为，所以不妨设，所以要证，

只需证．

因为，所以只需证，

只需证，只需证．

设，

则，

，

则，

所以当时，，在上单调递减，则，

所以在上单调递增，则，

即，所以．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线分别交曲线和曲线于点，求的最大值及相应的的值．

【答案】（1），；（2），取得最大值为．

【解析】（1）曲线的普通方程为，

由，，可得曲线的极坐标方程为．

由曲线的极坐标方程为，可得，

所以曲线的直角坐标方程为．

（2）由曲线的极坐标方程为，

令，可得，

因为，所以

．

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值，为．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数．

（1）解不等式；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）函数，

故由不等式，可得，或，解得，

故不等式的解集为．

（2）不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

在同一个坐标系中画出函数和的图象，如图所示．

故当时，若，则函数的图象在函数的图象的下方，

在上恒成立，求得，

故所求的实数的取值范围为