2022省大庆大庆实验中学高三上学期开学考试文科数学试题含答案

大庆实验中学2021-2022学年度 高三上学期

开学考试 数学（文）

一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合，，则（    ）

A．        B．         C．        D．

2．已知复数满足，则复数的虚部为（    ）

A．1 B． C． D．

3．设是等比数列的前项和，若，，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

5．新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有共名密切接触者，现把这人分为组（一组人，一组人），分别送到个医院

进行隔离观察，则在同一个医院的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在正方体中，与所成的角为（    ）

A．        B．        C．      D．

8．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

A． B．1 C．        D．

9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是（    ）

A．     B．     C． D．

10．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上、下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来。

如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，

则该球形容器的表面积的最小值为（    ）（容器壁的厚度忽略不计）

A． B．       C．     D．

11．已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值

范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数满足：，，且.

若角满足不等式，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）

13．已知向量，向量，若，则                 .

14．已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的

最小值为                  .

15．已知函数定义域为，满足，且对任意，均有成立，则不等式的解集为                  ．

16．在中，，，是上的点，平分，若，则的面积为                  .

三、解答题（本大题共6题，满分70分）

17．（本题满分12分）第32届奥运会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，期间正值学校放暑假，某校工会对全校教职工在奥运会期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下

频数分布表：

（1）若将每天收看比赛时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：

并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；

（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名做奥运会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.

附表及公式：

18．（本题满分12分）如图，在三棱柱中，底面，

且为等边三角形，，D为的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求三棱锥的体积．

19．（本题满分12分）

已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，

求实数的取值范围．

20．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的

离心率为且短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，，直线与直线的斜率之积为，

证明：直线过定点并求出该定点坐标.

21．已知函数，．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做。则按所做的第一题记分．答题时用2B

铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.

22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，

以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.

23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为.

（1）求；

（2）已知，，  求证：.

注：表示数集中的最大数.

大庆实验中学2021-2022学年度 高三上学期

开学考试 数学（文）答案

1-12

ADBBC    DBCCD    DA

13.

14.

15.

16.

17．（本题满分12分）第32届奥运会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，期间正值学校放暑假，某校工会对全校教职工在奥运会期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：

并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；

（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.

附表及公式：

.

【答案】（1）填表见解析；有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关；（2）.

【分析】

(1)依题意完善列联表，计算卡方，再跟参考值相比较，即可判断；

（2）记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，则，计算可得；

【详解】

解:（1）由题意得下表：

的观测值为.

所以有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.

（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，

记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，.

答：抽取的这两人恰好是一男一女的概率为.

【点睛】

本题考查独立性检验以及古典概型的概率计算，属于基础题.

18．如图，在三棱柱中，底面，且为等边三角形，，D为的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）．

【分析】

（1）连接交于，连接，则点为中点，根据三角形中位线可得，结合线面平行的判定定理，得直线面；

（2）由面，得，正三角形中，中线，结合线面垂直的判定定理，得面，最后由面面垂直的判定定理，证出面面；

（3）解正三角形可得，，根据可得结果.

【详解】

（1）连接交于，连接，在中，为中点，为中点，所以，又面，∴直线面；

（2）∵面，面，∴．又，

，∴，面，∴面．

又面，∴面面；

（3）∵为正三角形，为中点，∴，由，可知，

．∴，又∵面，且，

∴面，且，∴．

【点睛】

方法点睛：在证明线面平行时，主要通过以下几种形式得到线线平行：1、通过三角形中位线；2、通过构造平行四边形；3、通过面面平行；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．

19．已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由题中条件，列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式；

（2）根据裂项相消的方法，先求出，得出，求出的最大值，即可得出结果.

【详解】

（1）由题意可得即

又因为，所以所以．

（2）∵，

∴．

∵存在，使得成立．

∴存在，使得成立．

即存在，使得成立．

∵（当且仅当时取等号）．

∴，即实数的取值范围是．

【点睛】

结论点睛：

裂项相消法求数列和的常见类型：

（1）等差型，其中是公差为的等差数列；

（2）无理型；

（3）指数型；

（4）对数型.

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，，直线与直线的斜率之积为，证明直线过定点并求出该定点坐标.

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【分析】

（1）由离心率和短轴长列方程组解得，可得椭圆方程；

（2）讨论直线斜率不存在时，是否符合题意，斜率存在时设直线方程为，，，直线方程代入椭圆方程，有，应用韦达定理得，然后代入中求得值，即得定点坐标．

【详解】

解：（1）由得

∴椭圆C的标准方程为

（2）若直线的斜率不存在，设，则，

此时，与题设矛盾，

故直线的斜率必存在.

设，，，联立得：，，

∴，

∵

代入，整理得：，

解得：或（舍去），即直线过定点.

【点睛】

本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得（需要根据方便性，可能得），代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标，利用基本不等式或函数的性质求得最值等等．

21．已知函数，．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）对任意，恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）求出函数的导函数，即可求得函数在处的导数值，及曲线在处的切线的斜率，在求出曲线在处的函数值，利用直线的点斜式方程即可得出答案；

（2）由对任意，恒成立，则恒成立，构造函数，，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而可得出答案.

【详解】

解：（1）∵，则的定义域为，

∴，∴，

∵，则切点为，

曲线在处的切线方程是：．

（2）∵对任意，恒成立，

对任意，恒成立，

即恒成立，

令，

则，

①当时，当时，

，∴在上单调递减，

∴，

∴，

②当时，当时，，

∴在上单调递减，

当时，，

∴在单调递增，

∴，

∴，

综上，实数a的取值范围是．

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.

【答案】（1）l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）

【分析】

（1）消去参数可得直线的普通方程，根据互化公式可得曲线的直角坐标方程．

（2）根据直线的参数方程的几何意义可得．

【详解】

解：（1）消去参数t得直线l的普通方程为；

因为，所以，

因为，，

所以曲线C的直角坐标方程为

（2）易判断点是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为，

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得.

其中，，.

于是

【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程、参数方程以及直线的参数方程的几何意义，属中档题．

23.解：（1）因为.

当时取等号，故，即.            

（2）由（1）知，则，

等号当且仅当， 即时成立.

∵，∴.