2022中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT暨高三7月诊断性检测数学含答案

www.ks5u.com中学生标准学术能力诊断性测试2021年7月测试

数学试卷

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，复数zi＝1－2i，则的共轭复数z的虚部为

A.－i     B.1     C.i     D.－1

2.已知集合A＝{x∈R|log2x<2}，集合B＝{x∈R|}，则A∩B＝

A.(－∞，3)      B.(－1，3)      C.(0，3)      D.[1，3)

3.武汉封城期间，某医院抽调5名医生，分赴三所“方舱医院”支援抗疫，要求每名医生只去一所“方舱医院”，每所“方舱医院”至少安排一名医生，由于工作需要，医生甲和乙必须安排在同一所“方舱医院”，则所有不同的安排方案有

A.18种      B.24种      C.36种      D.48种

4.设a＝ln0.2，b＝sin3，c＝e0.1，则a，b，c的大小关系为

A.c>b>a     B.b>c>a     C.a>b>c     D.c>a>b

5.已知函数,(e＝2.71828为自然对数的底数)，若f(x)的零点为α，极小值为β，则α＋β＝

A.－1     B.1     C.0     D.2

6.已知四棱锥V－ABCD的所有棱都相等，点M，N分别为VB，VD中点，则异面直线MN与VA所成角的大小为

A.30°     B.45°     C.60°     D.90°

7.设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知B(－,3p),(－,y0)且y0>0,且y0>0，抛物线E上一点A满足AB⊥BC，若线段AC的垂直平分线l过点F，则直线l的斜率为

A.     B.     C.     D.

8.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BB1C1C(包含边界)内运动，则下列结论正确的有

①直线BD1⊥平面A1C1D

②二面角B1－CD－B的大小为

③过三点P、A1、D的正方体的截面面积的最大值为a2

④三棱锥B1－A1C1D的外接球半径为a

A.①③     B.①②     C.①③④     D.①②③④

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中不正确的是

A.随机变量X～N(3，22)，若X＝2η＋3，则D(η)＝1

B.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，δ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(2<ξ<4)＝0.16

C.设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则a0＝－1

D.以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3

10.已知函数f(x)＝1－2sin2x＋2sinxcosx，x∈R，则

A.f(x)在区间(0，π)上只有一个零点     B.f(x)最小正周期为π

C.(，0)为f(x)的一个对称中心        D.f(x)的值域为[－2，2]

11.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m、nα，m、nβ，给出下列四个论断：①α//β；②m//n；③m//α；④n//β。以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题。其中正确的命题是

A.①②③④     B.①③④②     C.①②④③     D.②③④①

12.画法几何创始人——法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆C：相切的两条垂直切线的交点轨迹为E：x2＋y2＝a2＋b2，这个轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。下列结论正确的是

A.已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e ＝。则椭圆C的“蒙日圆”E的方程为：x2＋y2＝7

B.已知椭圆C：的离心率为，A、B为椭圆C上的两个动点，直线l：bx＋ay－a2－b2＝0上任一点P，有>0

C.已知椭圆，现将质点P随机投入椭圆C所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为1－(椭圆的面积公式为S＝abπ)

D.已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆的右焦点，A为椭圆上的一个动点，直线l：bx＋ay－a2－b2＝0，记点A到直线l距离为d，则d－|AF|的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量＋＝(1，1)，－＝ (－3，1)，＝(1，1)，向量与的夹角θ＝         。

14.已知函数f(x)的定义域为R，fx(＋1)为偶函数，f(0)＝1，则f(2)＝         。

15.记<x>表示与实数x最接近的整数，数列{an}通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S33＝         。

16.已知函数f(x)＝sinx＋－ln(1＋x)，则f(x)的最小值是         。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在①sin(B－)＝cos2B,②2c－a＝2bcosA,③＝(a＋b,c－a),＝(a－b,c)，且⊥，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答。在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且         。(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。)

(1)求角B；

(2)若D是BC边的中点，且a＝2，AD＝，求△ABC的面积。

18.(12分)十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作。某学校为了研究学生对时事了解的情况，在网上随机抽取120名学生对精准脱贫政策的了解情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于精准脱贫政策了解，女生中有25人表示对精准脱贫政策不了解。

(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为对“精准脱贫政策了解与性别有关”；

(2)从对精准脱贫政策了解的学生中，利用分层抽样抽取7名学生，再在7名学生中抽取3名学生，作精准脱贫政策了解的政策讲解，其中抽取女生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望值。

参考公式：

19.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，n∈N*。

(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；

(2)数列的前n项和为Tn，n∈N*，求证：Tn<1。

20.(12分)如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2。

(1)求证：BF//平面ADE；

(2)若二面角E－BD－F的余弦值为，求三棱锥C－BDF的体积。

21.(12分)已知函数f(x)＝ex－1－alnx＋alna。

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当a>0时，证明：f(x)≥a。

22.(12分)已知椭圆C：，四点A(2，1)，B(2，－1)，C(1，1)，D(0，)中恰有三点在椭圆C上。

(1)求C的方程；

(2)点M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，求D点的轨迹方程。