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2022宜春上高二中高二上学期第一次月考试题数学(理)含答案
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2023届高二年级第一次月考理科数学试卷命题人:付雪敏 一、单选题1.已知,则直线与圆的位置关系是( )A.相交但不过圆心 B.过圆心 C.相切 D.相离2.已知一个三棱柱的高为3,如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图,其中,则此三棱柱的体积为( )A.2 B.4 C.6 D.123.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.,,B.,,C.,,D.,,4.直线,被⊙截得线段的长是( )A. B. C. D.不确定5.若动圆在轴与轴上截得的弦长总相等,则圆心的轨迹方程是( )A. B. C. D.6.如右图,已知多面体的底面为正三角形,四边形为矩形,棱与底面垂直,,若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等,则的边长是( )A. B.2 C. D.17.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为,则这个圆台的侧面积是( )A. B.C. D.8.已知点A(1,0),B(1,6),圆,若在圆C上存在唯一的点P使,则( )A.–3或3 B.57 C.–3或57 D.3或579.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是( )A. B. C. D.10.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家,他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上,底面,,且,,利用张衡的结论可得球的表面积为( )A.30 B. C. D.11.已知圆与直线(,为非零实数)相切,则的最小值为( )A.10 B.12 C.13 D.1612.如右图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若线段A1D上存在一点E,使AE+B1E取得最小值,则此最小值是( )A.4 B. C. D.二、填空题13.已知点和圆,若过点P作圆C的切线有两条,则实数m的取值范围是___________.14.如右图,圆锥的母线长为4,点为母线的中点,从点处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周达到点,这条绳子的长度最短值为,则此圆锥的表面积为__________15.已知圆及点,点P、Q分别是直线和圆C上的动点,则的最小值为__________.16.将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角,现有如下4个命题:①异面直线与所成的角为60°; ②是直角三角形;③的面积为; ④四面体的外接球的表面积为.上述命题正确的是 三、解答题17.已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)m∈R时,证明l与C总相交;(2)m取何值时,l被C截得的弦长最短?求此弦长. 18.如图,在正三棱柱中,为棱的中点.(1)证明:平面;(2)证明:. 19.已知圆过点,半径为,且圆关于直线对称,圆心在第二象限.(1)求圆的方程.(2)已知不过原点的直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,求直线的方程. 20.如图1,圆O的半径为2,均为该圆的直径,弦垂直平分半径,垂足为F,沿直径将半圆所在平面折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图2).(1)求的体积;(2)如图2,在劣弧上是否存在一点P(异于两点),使得平面?若存在,请加以证明;若不存在,请说明理由. 21.如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P在圆柱OQ的底面圆周上,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,侧面积为,∠AOP=120°.(1)求证:AG⊥BD;(2)求二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值. 22.已知圆C:(x﹣3)2+y2=1与直线m:3x﹣y+6=0,动直线l过定点A(0,1).(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点,点M是PQ的中点,直线l与直线m相交于点N.探索是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 2023届高二年级第一次月考理科数学试卷答题卡 一、选择题(每题5分,共60分)123456789101112 二、填空题(每题5分,共20分)13、 14、 15、 16、 三、解答题17.(10分) 18.(12分) 19.(12分) 20.(12分) 21. (12分) 22. (12分) 2023届高二第一次月考理科数学答案一.选择题1-5 CCABD 6-10 BBCDD 11-12DC二.填空题13. 14. 15. 3 16.③④三.解答题17.(1)直线l的方程可化为y+3=2m(x-4),则l过定点P(4,-3),由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.(2)圆的C方程可化为:(x-3)2+(y+6)2=25,如图所示,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,弦AB的长度最短, 此时PC⊥l,又,所以直线l的斜率为,则,在直角中,|PC|=,|AC|=5,所以|AB|=.故当时,l被C截得的弦长最短,最短弦长为.18.解:(1)证明:连接,交于点,连接.因为为矩形,则为的中点;因为为的中点, 所以,又因为平面,平面,所以平面. (2)在正三棱柱中,因为平面,平面, 所以.因为为等边三角形,为的中点, 所以.又因为,平面,所以平面,因为平面,所以.19.(1)设圆,圆心为,且由题意有,且,解得,圆的方程为;(2)设,即.直线与圆相切,由,得或.直线l的方程为或.20.(1)如图1,弦垂直平分半径,半径为2,,,在中有,, 为直径,,,,,图2中,平面平面,平面平面,又,平面,平面,则是四棱锥的高,.(2)在劣弧上式存在一点(劣弧的中点),使得平面,证明:分别连接,,,点为劣弧的中点,,,,则为等边三角形,,且,又且,且,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面.21.解(1)(解法一):由题意可知8=2×2π×AD,解得AD=2,在△AOP中,AP=,∴AD=AP,又∵G是DP的中点, ∴AG⊥DP.①∵AB为圆O的直径, ∴AP⊥BP.由已知知DA⊥面ABP, ∴DA⊥BP,∴BP⊥面DAP. ∴BP⊥AG.②∴由①②可知:AG⊥面DBP, ∴AG⊥BD.(2)由(1)知:AG⊥面DBP, ∴AG⊥BG,AG⊥PG,∴∠PGB是二面角P﹣AG﹣B的平面角.PG=PD=×AP=, BP=OP=2,∠BPG=90°,.∴BG==. cos∠PGB===.(解法二):建立如图所示的直角坐标系,由题意可知8=2×2π×AD,解得AD=2,则A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),P(,3,0),∵G是DP的中点, ∴可求得G(,,).(1)=(,﹣1,0),=(0,﹣4,2),∴=(,,).∵=(,,)•(0,﹣4,2)=0, ∴AG⊥BD(2)由(1)知,)=(,﹣1,0),=(,,).=(﹣,﹣,) =(,﹣,) ∵,. ∴是平面APG的法向量.设=(x,y,1)是平面ABG的法向量, 由,解得=(﹣2,0,1)cosθ==.所以二面角二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值 22.解:(1)1°当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=0,与圆C不相切;2°当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即,∴,解得或,∴直线l的方程为y=1或;(2)由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+1,M(x0,y0),由消去y得,(1+k2)x2﹣(6﹣2k)x+9=0,∴,∴,∴,由得,,∴,∴,∴,∴为定值.
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