2022淮安车桥中学高二上学期入学调研（B）数学（文）试题含答案

2022届高二入学调研试卷

文 科 数 学 （B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．2 C．30 D．32

【答案】D

【解析】因为是等比数列，所以数列也是等比数列，

因为，，

所以的公比为，所以，

故选D．

2．下列各题中结论正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】B

【解析】对于A，由于，所以，当且仅当，即时取等号，

而，所以不能取到等号，即，所以A错误；

对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以B正确；

对于C，，当且仅当，即时取等号，

而，所以不能取到等号，所以C错误；

对于D，由选项可知，当时，不成立，所以D错误，

故选B．

3．已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值（    ）

A．等于4  B．等于2

C．等于  D．不确定，与有关

【答案】B

【解析】由数列是等差数列，得；，

所以

，

故选B．

4．在中，内角、、所对的边分别为、、，满足

，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在中，，

由正弦定理可化成，，

由余弦定理可得：，故选D．

5．圆锥的母线与底面所成的角为45°，侧面面积为，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥PO的底面圆半径r，母线长l，如图所示，

点B在底面圆周上，圆O所在平面，

则是圆锥的母线PB与底面所成的角，即，于是有，

从而得圆锥侧面积，解得，

圆锥的高，

所以圆锥的体积为，故选B．

6．设直线，，平面，，下列条件能得出的有（    ）

①，，且，

②，，且，，

③，，且

④，，，且，

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【解析】①错误，因为时，不能推出；

②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；

③错误，满足条件时，两个平面可能相交；

④正确，一个平面上的两条相交线分别与另一个面平行，则两个面平行．故只有④正确，

故选A．

7．当点到直线的距离最大时，m的值为（    ）

A．3 B．0 C． D．1

【答案】C

【解析】直线可化为，

故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，

故，，故选C．

8．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中不一定正确的是（    ）

A．平面 B．平面平面

C．三棱锥的体积不变 D．

【答案】D

【解析】对于A：连接，因为正方体，

所以，，且平面，平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面，故A正确；

对于B：连接AC，则，

又平面ABCD，所以，

所以平面，所以，

同理可得，

又，则，所以平面BDP，

因为平面，所以平面平面，故B正确；

对于C：因为，平面，平面，

所以平面，所以P到平面的距离不变，

所以三棱锥体积不变，即三棱锥的体积不变，故C正确；

对于D：连接，因为正方体，

所以，平面，所以，

所以平面，则，

假设，则平面，

所以，这显然不成立，假设错误，故D错误，

故选D．

9．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【解析】当直线不存在斜率时，设为，

由题意可知：且，没有实数使得两个式子同时成立；

当直线存在斜率时，设直线方程为，

点到该直线的距离为2，所以有，

点到该直线的距离为3，所以有，

由，得或，

当时，代入中，得，

该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，

当时，代入中，得，

该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，

所以这样的直线共有三条，故选C．

10．若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】A

【解析】将圆的方程化为标准形式得圆，

所以圆心坐标为，半径为，

因为圆上存在到直线的距离等于1的点，

所以圆心到直线的距离满足，即，

解得，故选A．

11．在长方体中，，，分别为，的中点，则（    ）

A．

B．三棱锥的体积为

C．三棱锥外接球的表面积为

D．直线被三棱锥外接球截得的线段长为

【答案】D

【解析】假设，又因为，所以平面，所以，

而在矩形中，显然是不成立的，故选项A错误；

三棱锥的体积为，故选项B错误；

根据，，可知三棱锥外接球的直径为，

从而三棱锥外接球的表面积为，故选项C错误；

球心为线段的中点，在中，球心到直线的距离等于点到直线的距离的一半，

而点到直线的距离等于，所以球心到直线的距离等于，

又该外接球的半径为，

所以直线被三棱锥外接球截得的线段长，

故选项D正确，

故选D．

12．数列满足，则数列的前60项和等于（    ）

A．1830 B．1820 C．1810 D．1800

【答案】D

【解析】当为正奇数时，由题意可得，，

两式相加得；

当为正偶数时，由题意可得，，

两式相减得．

因此，数列的前项和为，

故选D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在中，若，，，则的面积为________．

【答案】

【解析】在中，由余弦定理可得，

代入数据可得，即，

解得或（舍），

由面积公式可得的面积为，

故答案为．

14．已知x，y满足约束条件，则的最大值是________．

【答案】

【解析】由题意，约束条件的可行域如图阴影部分，

由得；由得；

由得，

的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率，

所以z取得最大值，只需斜率取得最大值，

由图形可知PC连线的斜率取得最大值为，故答案为．

15．已知点，，如果直线上有且只有一个点使得，那么实数的值为________．

【答案】10

【解析】由题意知，点P的轨迹是以为直径的圆，圆的方程为，

所以要使得直线上有且只有一个点P使得PA⊥PB，

则此直线与圆相切，圆心，半径为，

所以，解得或（舍去），

所以，

故答案为10．

16．正方体中，是的中点，是线段上的一点．给出下列命题：

①平面中一定存在直线与平面垂直；

②平面中一定存在直线与平面平行；

③平面与平面所成的锐二面角不小于；

④当点从点移动到点E时，点到平面的距离逐渐减小．

其中，所有真命题的序号是__________．

【答案】②③④

【解析】对于①：假设平面中存在直线l⊥面，

则由面面垂直的判定定理可得：面⊥面．

而在正方体中，面⊥面．

因为是的中点，是线段上的一点，

所以面与面不重合，

所以过AC有两个平面和均与面垂直，

这与过平面内一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直相矛盾，

故假设不正确，所以①错误；

对于②：过M作MN垂直A1D1于N，在AC上取一点Q，过Q作PQ⊥AD于P，且PQ=MN．

则有，所以四边形MNPQ为平行四边形，所以，

又面MAC，面MAC，所以面MAC，故②正确；

对于③：当M与A1重合时，∠DAC即为二面角的平面角，此时∠DAC=45°．

当M与A1向E移动时，平面与平面所成的锐二面角在增大，所以平面与平面所成的锐二面角不小于；故③正确；

对于④：当M与A1重合时，D到面MAC的距离最大，当M从A1向E移动时，点到平面的距离逐渐减小，故④正确，

故答案为②③④．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知点，直线，直线过点且与垂直，直线交圆于两点．

（1）求直线的方程；

（2）求弦的长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）直线的斜率为，则直线的斜率为，

又过点，由点斜式方程可知直线为，即．

（2）直线与圆相交，则圆心到直线的距离为，圆的半径为，

所以弦长．

18．（12分）如图，三棱柱中，底面，且为正三角形，为中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求证：平面平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】证明：（1）连接交于点，

连接，则点为的中点．

∵为中点，得为中位线，∴，

∵平面，平面，∴直线平面．

（2）∵底面，平面，∴，

∵底面正三角形，是的中点，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

19．（12分）在中，角所对应的边分别为，向量，且．

（1）求角；

（2）若，判断的形状．

【答案】（1）；（2）直角三角形．

【解析】（1）因为向量，且，

所以，即，

所以，可得，

因为，所以，

所以，所以．

（2）因为，由正弦定理可得，

因为，所以，即，

所以，整理可得，

所以，所以，

因为，所以，

所以或，所以或．

当时，，可得，此时是直角三角形，

当时，，可得，此时是直角三角形，

综上所述：是直角三角形．

20．（12分）设等差数列的前项和为，公差为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意得，解得，

数列的通项公式为．

（2），

当为奇数时，

；

当n为偶数时，

，

．

21．（12分）已知二次函数．

（1）若的解集为，解关于x的不等式；

（2）若不等式对恒成立，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵的解集为，

∴，，，

∴，，

故，

从而，解得．

（2）∵恒成立，

∴，

∴，∴，

令，∵，∴，从而，

∴，令．

①当时，；

②当时，，

∴的最大值为．

22．（12分）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型．点在棱上，满足，点在棱上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：

（1）试在棱上确定一点，使得平面；

（2）过点的平面交于点，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定点的位置，请求出的值．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】（1）

由已知得，点在棱上，满足，点在棱上，满足，所以，取上靠近的四等分点为，

则必有，

则根据三角形相似，必有，使得平面．

（2）延长，与延长交于，连接，并延长与的延长线交于，连接，交于，

由（1）可得，即为的中点，

由，可得为的中点，

又，∴是的中点，

由，可得为的中点，

在等腰三角形中，为的中点，取的中点，连接，

则，，

所以，即