2022淮安车桥中学高二上学期入学调研（B）数学（理）试题含答案

2022届高二入学调研试卷

理 科 数 学 （B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，若，则取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由知，故，解得，故选C．

2．若，，则的最小值为（    ）

A．2 B．6 C．9 D．3

【答案】D

【解析】因，，

则，

当且仅当时取“=”，

所以时，取最小值为3，故选D．

3．的三个内角之比为，三边之比a：b：c为（    ）

A．3：2：1 B． C． D．

【答案】B

【解析】∵已知的三个内角之比为，

∴有，再由可得，

故三内角分别为，

再由正弦定理可得三边之比，

故选B．

4．已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】因为，所以与垂直的直线的斜率为，

所以过点且与线段垂直的直线方程为，即，

故选D．

5．已知等差数列的前项和为，且，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】由等差数列的前项和为，

可得，

又由，解得，

故选A．

6．设､是不同的直线，､､是不同的平面，有以下四个命题：①，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中假命题的序号是（    ）

A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④

【答案】C

【解析】对于①：，，则或和相交，故①是假命题；

对于②：在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，满足，，但；故②是假命题；

对于③：若，，则或，故③是假命题；

对于④：因为，过作平面与相交则交线与平行，且交线在内，

因为，则交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故④是真命题，

所以假命题有①②③，故选C．

7．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题知，，，所以，．

在中，由正弦定理得，

又，∴．

在中，，，

由正弦定理得，

∴，

故选C．

8．设，满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示：

表示可行域中的点与点的连线的斜率，

由图可知的最大值在点取得，

由，求得，

所以斜率最大值是，故选A．

9．若圆上存在两点关于直线对称，则过圆外一点向圆所作的切线长的最小值是（    ）

A． B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】圆，圆心为，半径．

依题意知，直线过圆心，所以，

即动点在直线上移动．

所以，当与直线垂直时，最小，从而切线长最小，，

此时，切线长的最小值为，故选D．

10．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】B

【解析】设，则问题转化为当时，函数的最小值非负，

当，即时，，∴，

又，∴不存在；

当，即时，，∴，

又，∴，

当，即时，，∴，

又，∴，

综上：，故选B．

11．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（    ）；（    ）

A．35，  B．36，

C．37，  D．38，

【答案】C

【解析】由图中规律可知：，

所以，

，

，

，

因此当时，，

所以

，

经检验当时，符合，所以，

故选C．

12．在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，取的两个三等分点、，连接、、，

设，连接、．

则，，

又，，所以，四边形为平行四边形，

，为的中点，

所以，，

由勾股定理可得，则，

在中，，，

，，

又，则为等边三角形，

，则是的外接圆的圆心．

因为，为的中点，，

，，，

，，，

又，，平面，

且．

设为三棱锥外接球的球心，连接、、，

过作，垂足为，

则外接球的半径满足，

设，则，解得，

从而，

故三棱锥外接球的表面积为，故选D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．下列命题正确的个数是________．

①若，则；

②若，则；

③若，是非零实数，且，则；

④若，则．

【答案】2

【解析】对于①，当时不成立；

对于②，当为正数，为负数时不成立；

对于③，因为，所以，所以，所以，③成立；

对于④，若，则，，从而得，

所以只有③④两个正确，所以正确的命题的个数为2，故答案为2．

14．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】因为，，

由正弦定理得，

要使三角形有唯一解，则或，所以或，

即或，解得或，

故答案为．

15．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，现有下列结论：①；②平面与平面的交线平行于直线；③异面直线，所成的角为定值；④三棱锥的体积为定值，其中错误结论的是_________．

【答案】③

【解析】对于①，平面，平面，，故①正确；

对于②，，在，，

平面，平面，平面，

在平面ABCD内作，

∵，则，则共面，

平面，则平面与平面的交线为，

即平面与平面的交线平行于直线；故②正确；

对于③，当点在处，为的中点时，

由可知异面直线，所成的角是，

当在上底面的中心时，在的位置，

异面直线，所成的角是，两个角不相等，

从而异面直线，所成的角不为定值，故③错误；

对于④，到平面的距离是定值，

是定值，

以为顶点的四面体的体积为定值，故④正确，

故选③．

16．已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为__________．

【答案】或

【解析】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1，

所以，故，

所以直线满足题意；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

所以圆心到直线的距离，

故，

因为，所以，

整理得，解得或．

当时，则，解得；

当时，则，此方程无解，

故直线方程为，即．

综上可得所求直线方程为或．

故答案为或．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在平面直角坐标系中，直线过点．

（1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；

（2）直线，且直线与直线关于直线对称，求直线的方程与的值．

【答案】（1）或；（2），．

【解析】（1）当直线的截距均为0时，则直线过点，

设直线方程为，

又在直线上，则，直线方程为；

当直线的截距不为0时，设直线方程为，代入，得，

则直线方程为，

综上所述，直线方程为或．

（2）∵直线过点，

∴点关于直线对称的点在直线m上，

∴，解得，

∴直线，其与直线交于点，

则点在直线l上，由直线过点，

则直线，即．

18．（12分）已知长方体中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证：

（1）D1，M，N，C四点共面；

（2）D1M、DA、CN三线共点．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】证明：（1）连接A1B，D1C，

因为M，N分别为AA1和AB的中点，所以MNA1B，

因为A1D1BC，A1D1BC，

所以四边形A1BCD1为平行四边形，

所以A1BD1C，所以MND1C，

所以MN与D1C确定一个平面，所以M，N，C，D1四点共面．

（2）因为MNA1B，且，

所以直线D1M与CN必相交，

设D1MCNK，

因为KD1M，D1M平面AA1D1D，所以K平面AA1D1D，

又因为KCN，CN平面ABCD，所以K平面ABCD，

所以K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，

又因为平面ABCD平面AA1D1DAD，所以KAD，

所以D1M、DA、CN三线共点．

19．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

【答案】（1）40；（2）a至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

【解析】（1）设每件定价为t元，依题意得，

整理得，解得．

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

（2）依题意知：当x>25时，不等式有解，

等价于x>25时，有解．

由于，当且仅当，即时等号成立，

所以．

当该商品改革后的销售量a至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

20．（12分）在中，设内角，，所对的边分别为，，，表示的面积．已知，．

（1）求角A的值；

（2）若的面积为，求的周长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，，

得，，

因为，所以．

（2）因为的面积为，所以，则，

又，，由余弦定理可得，

即，所以，

因此的周长为．

21．（12分）已知数列满足，．

（1）记，求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

当时，，因为，所以，

由，

可得，

，

两式相减可得，

因为，所以，

所以是以为首项，公差为的等差数列，

所以．

（2）当时，

；

当时，

，

经检验也满足上式，

综上所述：．

22．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面，是边长为2的等边三角形，，．

（1）求证：PO⊥底面ABCD；

（2）求直线与OF所成角的大小．

（3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；

如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．

【解析】（1）因为底面是菱形，且，

所以O为AC，BD中点，

在中，PB=PD，可得PO⊥BD，

因为在中，PA=PC，所以PO⊥AC，

又因为，所以PO⊥底面ABCD．

（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，

因为底面ABCD是菱形，，

由O为AC中点，且E为AP中点，，

所以F为AE中点，所以，

故∠EOF为直线与OF所成的角，

又由为等边三角形，且E为中点，所以．

（3）存在，，

连接CE，ME，

因为，E为AP中点，所以，

又因为，所以在中，，即，

因为平面BDF，平面BDF，所以平面BDF，

由（2）知，因为平面BDF，平面BDF，

所以平面BDF，

因为，所以平面平面BDF，

因为平面EMC，所以平面BDF