2021【KS5U解析】桂林高二下学期期末考试数学（理）试题含解析

这是一份2021【KS5U解析】桂林高二下学期期末考试数学（理）试题含解析，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广西桂林市2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.函数 f(x)=ex ，则 f'(0)= （    ）
A. 0                                           B. 1                                           C. e                                           D. 1e
2.设复数 z=2-i ，则 z 的实部为（    ）
A. -1                                           B. 2                                           C. -2                                           D. i
3.用反证法证明“ 2 是无理数”时，正确的假设是（    ）
A. 2 不是无理数                  B. 2 是整数                  C. 2 不是有理数                  D. 2 是无理数
4.5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（    ）
A. 24种                                    B. 36种                                    C. 48种                                    D. 72种
5.1+3x+3x2+x3= （    ）
A. (x+1)3                                  B. (x-1)3                                  C. (x+1)4                                  D. x4
6.在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为 2:4:3 ，则第2组的频率是（    ）

A. 0.4                                        B. 0.3                                        C. 0.2                                        D. 0.1
7.向量 a=(2,4,5) ，向量 b=(1,2,t) ，若 a⊥b ，则实数 t= （    ）
A. 52                                         B. 1                                         C. -2                                         D. -85
8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件A为“取到的2个数之和为偶数”，记事件B为“取到的两个数均为偶数”，则 P(B|A)= （    ）
A. 18                                          B. 14                                          C. 25                                          D. 12
9.若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（   ）
X
1
2
3
P
0.2
a
3a
A. 0.1                                        B. 0.2                                        C. 0.3                                        D. 0.4
10.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为（    ）
A. 23                                       B. 33                                       C. 23                                       D. 63
11.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ，且 P(2≤X≤4)=0.682 ，则 P(X>4)= （    ）
A. 0.0799                                  B. 0.1587                                  C. 0.3                                  D. 0.3413
12.若函数 f(x)=ex-2ax2+1 有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是（    ）
A. a>e4                          B. 0 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为________．
14.已知 i 为虚数单位，则 (2-3i)(i+1)= ________．
15.1e1xdx= ________.
16.在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AB=6 ， AC=8 ， D 是斜边上一点，以 AD 为棱折成二面角 C-AD-B ，其大小为60°，则折后线段 BC 的最小值为________．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．
17.在 (x2+1x)6 的展开式中，求
（1）含 x3 的项；
（2）展开式中的常数项．
18.已知函数 f(x)=x3+ax2-9x+10(a∈R) ．
（1）当 a=0 时，求 f(x) 的图象在点 (2,f(2)) 处的切线方程；
（2）设 x=-1 是 f(x) 的极值点，求 f(x) 的极小值．
19.如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， BE⊥EC1 ．

（1）证明： BE⊥ 平面 EB1C1 ；
（2）若 AE=A1E ， AD=1 ，求二面角 B-EC-C1 的余弦值．
20.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2n-an ．
（1）计算 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，并猜想 {an} 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
21.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是 13 ， 12 ．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．
（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用 X 表示甲的总得分，求 X 的分布列和数学期望．
22.已知函数 f(x)=lnx-ax(a∈R) ．
（1）若 f(x) 在 (0,+∞) 单调递增，求实数 a 的取值范围；
（2）若 h(x)=xf(x) ，且 h(x) 仅有一个极值点 x0 ，求实数 a 的取值范围，并证明： h(x0)≥-1e ．

答案解析部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.函数 f(x)=ex ，则 f'(0)= （    ）
A. 0                                           B. 1                                           C. e                                           D. 1e
【答案】 B
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：由题意得f'(x)=ex ， 则f'(0)=e0=1.
故答案为：B
【分析】根据导数的运算求解即可.
2.设复数 z=2-i ，则 z 的实部为（    ）
A. -1                                           B. 2                                           C. -2                                           D. i
【答案】 B
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据复数的概念得z的实部为2.
故答案为：B
【分析】根据复数的概念直接求解即可.
3.用反证法证明“ 2 是无理数”时，正确的假设是（    ）
A. 2 不是无理数                  B. 2 是整数                  C. 2 不是有理数                  D. 2 是无理数
【答案】 A
【考点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法，正确的假设是：2不是无理数.
故答案为：A
【分析】根据反证法直接求解即可.
4.5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（    ）
A. 24种                                    B. 36种                                    C. 48种                                    D. 72种
【答案】 C
【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：根据捆绑法,先把甲乙开成一个元素，再与另外3人排列，则共有A44A22=48种.
故答案为：C
【分析】根据捆绑法直接求解即可.
5.1+3x+3x2+x3= （    ）
A. (x+1)3                                  B. (x-1)3                                  C. (x+1)4                                  D. x4
【答案】 A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据二项式定理得1+3x+3x2+x3=x3+3x2+3x+1=C30·x3·10+C31·x2·11+C32·x·13+C33·x0·13=x+13
故答案为：A
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
6.在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为 2:4:3 ，则第2组的频率是（    ）

A. 0.4                                        B. 0.3                                        C. 0.2                                        D. 0.1
【答案】 A
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意易知各小长方形的面积的比从左往右依次为2:4:3
则可设s1:s2:s3s4=2s:4s:3s:s
则2s+4s+3s+s=1
解得s=0.1
则第2组的频率是4s=0.4
故答案为：A
【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.
7.向量 a=(2,4,5) ，向量 b=(1,2,t) ，若 a⊥b ，则实数 t= （    ）
A. 52                                         B. 1                                         C. -2                                         D. -85
【答案】 C
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：∵ a⊥b 
∴2×1+4×2+5t=0
解得t=-2
故答案为：C
【分析】根据向量垂直的充要条件求解即可.
8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件A为“取到的2个数之和为偶数”，记事件B为“取到的两个数均为偶数”，则 P(B|A)= （    ）
A. 18                                          B. 14                                          C. 25                                          D. 12
【答案】 B
【考点】古典概型及其概率计算公式，条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：PA=C32+C22C52=25 ， PB=C22C52=110
∵B⊂A
∴PAB=PB=110
∴PB|A=PABPA=14
故答案为：B
【分析】根据古典概型，结合条件概率求解即可.
9.若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（   ）
X
1
2
3
P
0.2
a
3a
A. 0.1                                        B. 0.2                                        C. 0.3                                        D. 0.4
【答案】 B
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得0.2+a+3a=1，解得a=0.2
故答案为：B
【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可.
10.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为（    ）
A. 23                                       B. 33                                       C. 23                                       D. 63
【答案】 D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为BB1// DD1 ， 所以BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，
在三棱锥D-ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在平面ACD1的射影为等边三角形ACD1的垂心(即中心0) ，连结DO，D1O，则∠DD1O为DD1与平面ACD1所成的角，
设正方体的棱长为a, 则cos∠DD1O=63aa=63
故答案为：D
【分析】根据直线与平面所成角的定义，利用几何法直接求解即可.
11.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ，且 P(2≤X≤4)=0.682 ，则 P(X>4)= （    ）
A. 0.0799                                  B. 0.1587                                  C. 0.3                                  D. 0.3413
【答案】 B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：∵X 服从正态分布 N(3,1)  ， 且 P(2≤X≤4)=0.682
∴PX>4=1-P2 故答案为：B
【分析】根据正态分布的性质求解即可.
12.若函数 f(x)=ex-2ax2+1 有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是（    ）
A. a>e4                          B. 0 【答案】 A
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：由题意可得，f'(x)=ex-4ax=0有2个不同的实数根，
即a=ex4x有2个不同的实数根,
令gx=ex4x ， 则g'(x)=exx-14x2
令g'(x)>0,可得x>1；令g'(x)<0,可得x<1,
所以g(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增,
所以g(x)的最小值为g(1)=e4
故a>e4
故答案为：A
【分析】根据化归思想，将函数有两个不同的极值点等价转化为方程有两个不同的实数根，运用数形结合思想，结合利用导数研究函数的单调性与最值求解即可.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为________．
【答案】 100
【考点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样，易得样本中高三学生的人数为3004500×1500=100
故答案为：100
【分析】根据分层抽样直接求解即可.
14.已知 i 为虚数单位，则 (2-3i)(i+1)= ________．
【答案】5-i
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：(2-3i)(i+1)=2i+2-3i2-3i=5-i
故答案为：5-i
【分析】根据复数的运算直接求解即可.
15.1e1xdx= ________.
【答案】 1
【考点】定积分
【解析】【解答】易知 (lnx)'=1x .故 1e1xdx=lnx|1e=lne-ln1=1 .
【分析】由于 (lnx)'=1x ，利用微积分基本定理，直接求得定积分的值.
16.在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AB=6 ， AC=8 ， D 是斜边上一点，以 AD 为棱折成二面角 C-AD-B ，其大小为60°，则折后线段 BC 的最小值为________．
【答案】27
【考点】向量的线性运算性质及几何意义，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：如图，过C，B作AD的垂线，垂足分别为E,F，故BF⊥EF,EC⊥EF，

所以BF→·FE→=0,FE→·EC→=0
以AD为棱折叠后，则有BC→=BF→+FE→+EC→
故BC→2=BF→+FE→+EC→2=BF→2+FE→2+EC→2+2BF→·EC→+2BF→·FE→+2FE→·EC→
=BF→2+FE→2+EC→2+2BF→·EC→
因为以D为棱折成60°的二面角C-AD-B
所以BF→与EC→的夹角为120°
令∠BAD=α，则∠CAE=90°-α，
在Rt△ABF中，BF=ABsinα=6sinα，AF=6cosα，
在Rt△ACE中，EC=ACsin(90°-α)=8cosα，AE=ACcos(90°-α)=8sinα，
故EF=AE-AF=8sinα-6cosα，
所以BC→2=6sinα2+8sinα-6cosα2+8cosα2+2·6sinα·8cosα·-12
=36sin2α+cos2α+64sin2α+cos2α-144sinαcosα
=100-72sin2α
故当α=45°时，BC→2有最小值28
故线段BC最小值为27
故答案为：27
【分析】根据向量的线性运算，结合二面角的定义以及同角三角函数的基本关系、诱导公式求解即可.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．
17.在 (x2+1x)6 的展开式中，求
（1）含 x3 的项；
（2）展开式中的常数项．
【答案】 （1）由题意知 Tr+1=C6r(x2)6-r(1x)r=C6rx12-3r ， r=0 ，1，2，3，4，5，6；
令 12-3r=3 ，得 r=3 ，
所以含 x3 的项为 T4=C63x3=20x3 ．

（2）由（1）知 12-3r=0 ，得 r=4 ，
所以常数项为 T5=C64=15 ．
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）（2）根据二项展开式通项公式求解即可；
18.已知函数 f(x)=x3+ax2-9x+10(a∈R) ．
（1）当 a=0 时，求 f(x) 的图象在点 (2,f(2)) 处的切线方程；
（2）设 x=-1 是 f(x) 的极值点，求 f(x) 的极小值．
【答案】 （1）即 f(x)=x3-9x+1 ， f'(x)=3x2-9 ；
则 k=f'(2)=3 ， f(2)=0 ，
故所求切线方程为 y=3(x-2) ，即 y=3x-6 ．

（2）f'(x)=3x2+2ax-9 ，由题知 f'(-1)=0 ，
解得 a=-3 ，
则 f(x)=x3-3x2-9x+10 ， f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ，
当 -13 时 f'(x)>0
所以当 x=3 时 f(x) 取极小值 f(3)=-17 ．
【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）根据函数极值的性质，结合利用导数研究函数的极值直接求解即可.
19.如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， BE⊥EC1 ．

（1）证明： BE⊥ 平面 EB1C1 ；
（2）若 AE=A1E ， AD=1 ，求二面角 B-EC-C1 的余弦值．
【答案】 （1）由已知得， B1C1⊥ 平面 ABB1A1 ，
BE⊂ 平面 ABB1A1 ，故 B1C1⊥BE
又 BE⊥EC1 ，所以 BE⊥ 平面 EB1C1

（2）由（1）知 ∠BEB1=90° ．由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E ，所以 ∠AEB=45° ，
故 AE=AB ， AA1=2AB
以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ，则

C(0,1,0) ， B(1,1,0) ， C1(0,1,2) ， E(1,0,1) ，
CB=(1,0,0) ， CE=(1,-1,1) ， CC1=(0,0,2)
设平面 EBC 的法向量为 n=(x1,y1,z1) ，
则 {CB⋅n=0CE⋅n=0 即 {x1=0,x1-y1+z1=0, 所以可取 n=(0,-1,-1)
设平面 ECC1 的法向量为 m=(x2,y2,z2) ，
则 {CC1⋅m=0CE⋅m=0 ，即 {z2=0,x2-y2+z2=0, 可取 m=(1,1,0)
于是 cos〈n,m〉=n⋅m|n|⋅|m|=-12
所以，二面角 B-EC-C1 的余弦值为 -12 ．
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
20.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2n-an ．
（1）计算 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，并猜想 {an} 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
【答案】 （1）当 n=1 时， a1=s1=2-a1 ，∴ a1=1 ；
当 n=2 时， a1+a2=s2=2×2-a2 ，∴ a2=32 ；
当 n=3 时， a1+a2+a3=s3=2×3-a3 ，∴ a3=74 ；
当 n=4 时， a1+a2+a3+a4=s4=2×4-a4 ，∴ a4=158 ．
由此猜想 an=2n-12n-1(n∈N*) ．

（2）证明：①当 n=1 时， a1=1 ，猜想成立．
②假设 n=k （ k≥1 且 k∈N* ）时，猜想立，即 ak=2k-12k-1 ，
那么 n=k+1 时， ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1 ，
∴ ak+1=2+ak2=2+2k-12k-12=2k+1-12k ．
∴当 n=k+1 时，猜想成立．
由①②知猜想 an=2n-12n-1(n∈N*) 成立．
【考点】数列递推式，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据an与sn的关系直接求解，
（2）根据数学归纳法直接证明即可.
21.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是 13 ， 12 ．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．
（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用 X 表示甲的总得分，求 X 的分布列和数学期望．
【答案】（1）记“3次投篮的人依次是甲，甲，乙”为事件A，
依题意，得P(A)=13×23=29
∴3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29．

（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，则
P(X=0)=23×12+23×12×23=59，P(X=1)=23×12×13+13×23=13，
P(X=2)=13×13×23=227，P(X=3)=13×13×13=127；
所以，分布列为
X
0
1
2
3
P
59
13
227
127
所以X的期望E(X)=0×59+1×13+2×227+3×127=1627．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率直接求解即可；
（2）根据独立事件，结合离散型随机变量的分布列与期望求解即可.
22.已知函数 f(x)=lnx-ax(a∈R) ．
（1）若 f(x) 在 (0,+∞) 单调递增，求实数 a 的取值范围；
（2）若 h(x)=xf(x) ，且 h(x) 仅有一个极值点 x0 ，求实数 a 的取值范围，并证明： h(x0)≥-1e ．
【答案】 （1）f'(x)=1x-a(x>0)
f(x) 在 (0,+∞) 单调递增，∴ f'(x)≥0 在 (0,+∞) 恒成立
∴ a≤1x 在 (0,+∞) 恒成立，∴ a≤0 ．

（2）设 g(x)=h'(x)=1+lnx-2ax ， g'(x)=1x-2a ，
①当 a>0 时，令 g'(x)=1x-2a=0 得： x=12a ，
x∈(0,12a) ， g'(x)>0 ， g(x) 单调递增， x∈(12a,+∞) ， g'(x)<0 ， g(x) 单调递减，
若 g(12a)≤0 ， h'(x)≤0 恒成立， h(x) 无极值；
若 g(12a)>0 ， h'(12a)>0 ，而 h'(1e)=-2ae<0 ， h'(1a2)=-2lna+1-2a<0 ，
此时 h(x) 有两个极值点；
故 a>0 不符合题意．
②当 a=0 时， x∈(0,1e) ， h'(x)<0 ， h(x) 单调递减，
x∈(1e,+∞) ， h'(x)>0 ， h(x) 单调递增，
所以 h(x) 有唯一极小值点 1e ， h(1e)=-1e ．
③当 a<0 时， g'(x)>0 恒成立， g(x)=h'(x) 单调递增；
取 b 满足 00 ，
此时由零点存在定理知： h'(x)=0 有唯一的零点 x0 ， h(x) 只有一个极值点 x0 ，
且 x0∈(0,1e) ，
由题知 h(x0)=x0lnx0-ax02 ，又 h'(x0)=1+lnx0-2ax0=0 ，
∴ ax0=12(1+lnx0) ，
∴ h(x0)=x0lnx0-12x0(1+lnx0)=12x0lnx0-12x0 ，
设 u(x)=12xlnx-12x ， u'(x)=12lnx ，当 x∈(0,1e) ， u'(x)<0 ， u(x) 单调递减，
∴ u(x)>u(1e)=-1e ，∴ h(x0)>-1e 成立
综上， h(x) 只有一个极值点 x0 时， a 的取值范围为 (-∞,0] ，且 h(x0)≥-1e ．
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）根据化归思想，将函数的单调性问题等价转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数的最值问题即可；
（2）构造函数g(x)=h'(x)，利用导数g'(x)研究函数g(x)的单调性与最值，再结合分类讨论思想与零点存在定理求解即可.