2021桂林高二下学期期末数学（理）试题含答案

桂林市2020～2021学年度下学期期末质量检测

高二年级数学（理科）

（考试时间120分钟，满分150分）

说明：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）

第Ⅰ卷  选择题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．函数，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

2．设复数，则的实部为（    ）

A． B．2 C． D．

3．用反证法证明“是无理数”时，正确的假设是（    ）

A．不是无理数 B．是整数 C．不是有理数 D．是无理数

4．5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（    ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

5．（    ）

A． B． C． D．

6．在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为，则第2组的频率是（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

7．向量，向量，若，则实数（    ）

A． B．1 C． D．

8．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之和为偶数”，记事件为“取到的两个数均为偶数”，则（    ）

A． B． C． D．

9．若随机变量的分布列如右表所示，则的值为（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

10．正方体中，与平面所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A．0.0799 B．0.1587 C．0.3 D．0.3413

12．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷  非选择题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为______．

14．已知为虚数单位，则______．

15．______．

16．在中，，，，是斜边上一点，以为棱折成二面角，其大小为60°，则折后线段的最小值为______．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在的展开式中，求

（1）含的项；

（2）展开式中的常数项．

18．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求的图象在点处的切线方程；

（2）设是的极值点，求的极小值．

19．（本小题满分12分）

如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知数列的前项和．

（1）计算，，，，并猜想的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

21．（本小题满分12分）

在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．

（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；

（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若在单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，且仅有一个极值点，求实数的取值范围，并证明：．

桂林市2020～2021学年度下学期期末质量检测

高二年级数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：每小题5分，本题满分共60分．

二、填空题：每小题5分，共20分．

13．100 14． 15．1 16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

解：（1）由题意知，，1，2，3，4，5，6；

令，得，

所以含的项为．

（2）由（1）知，得，

所以常数项为．

18．（本小题满分12分）

解：（1）即，；

则，，

故所求切线方程为，即．

（2），由题知，

解得，

则，，

当时，当时

所以当时取极小值．

19．（本小题满分12分）

解：（1）由已知得，平面，

平面，故

又，所以平面

（2）由（1）知．由题设知，所以，

故，

以为坐标原点，的方向为轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，

，，

设平面的法向量为，

则即所以可取

设平面的法向量为，

则，即可取

于是

所以，二面角的余弦值为．

20．（本小题满分12分）

解：（1）当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴．

由此猜想．

（2）证明：①当时，，猜想成立．

②假设（且）时，猜想立，即，

那么时，，

∴．

∴当时，猜想成立．

由①②知猜想成立．

21．（本小题满分12分）

解：（1）记“3次投篮的人依次是甲，甲，乙”为事件，

依题意，得

∴3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．

（2）由题意可能取值为0，1，2，3，则

，，

，；

所以，分布列为

所以的期望．

22．（本小题满分12分）

解：（1）

在单调递增，∴在恒成立

∴在恒成立，∴．

（2）设，，

①当时，令得：，

，，单调递增，，，单调递减，

若，恒成立，无极值；

若，，而，，

此时有两个极值点；

故不符合题意．

②当时，，，单调递减，

，，单调递增，

所以有唯一极小值点，．

③当时，恒成立，单调递增；

取满足且时，，而，

此时由零点存在定理知：有唯一的零点，只有一个极值点，

且，

由题知，又，

∴，

∴，

设，，当，，单调递减，

∴，∴成立

综上，只有一个极值点时，的取值范围为，且．