2021长春名校高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

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长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试数学(文)试卷  考试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷选择题(60分)一、选择题(共12小题，每小题5分，计60分)1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．复数，，是虚数单位.若，则（    ）A． B． C． D．3． 计算：（    ）A．             B．             C．3            D．           4．函数的单调递增区间是（   ）A． B． C． D．5．已知函数，若，则（    ）A．             B．C．           D．6．已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（    ）A． B．0 C．1 D．27．已知函数，不等式的解集为（   ）A．        B． C．        D．8．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．10．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f（x）dB，则有，一架小型飞机降落时，声音约为100dB，轻声说话时，声音约为30dB，则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的（    ）倍A．1000 B．106 C．107 D．10811．已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（    ）A．1 B． C． D．12．已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷非选择题(90分)一.  填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．已知函数是幂函数，则函数恒过定点______．14．已知，若￢q是￢p的必要不充分条件，则m的取值范围是_________．15．观察等式：f()＋f()＝1；f()＋f()＋f()＝；f()＋f()＋f()＋f()＝2；f()＋f()＋f()＋f()＋f()＝；…由以上几个等式的规律可猜想___________.16．已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．   三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）17.(本小题10分)设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．    18.(本小题12分)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值.     19.(本小题12分)改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展，尤其是城市高中的本科录取率.现得到某城市从2014-2018年的本科录取成绩，为了便于计算，将2014年编号为，2015年编号为，…，2018年编号为，如果将每年的本科录取率记作，把年份对应编号到作为自变量，记作，得到如下数据：年份20142015201620172018自变量本科录取率（1）试建立关于的回归方程；（2）已知该城市2019年本科录取率为，2020年本科录取率为.若，则认为该回归方程精确度较高，试用2019年和2020年的数据判断能否用该方程预测2021年该城市的本科录取率，若不能，请说明理由；若能，请预测2021年该城市的本科录取率.参考公式：，. 20.(本小题12分)已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的解析式．21.(本小题12分)已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，，求实数的取值范围.    22.(本小题12分)已知，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使在区间上的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。   
长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试文科数学答案1.B  2．D  3．A  4．D  5．D  6．C  7．A  8．A  9．B  10．C  11．D  12．C13．14．：．15．101016．17．（Ⅰ），可转化为或或，解得或或无解，所以不等式的解集为． （Ⅱ）依题意，问题等价于关于的不等式恒成立，即，又，当时取等号．所以，解得或，所以实数的取值范围是．18．（1）因为曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为(写成也给分).因为曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为，即.（2）设，，则，，因为是线段的中点，所以，即，整理得，所以，因为，所以，所以，所以.19．解：（1）计算得，，，，，又，，，关于的回归方程为.（2）当时，，，当时，，，则该回归方程可用来预测2021年该城市的本科录取率.当时，，预测2021年该城市的本科录取率为.20．（1）因为二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，所以可设，又在区间上的最大值为12，所以，．．（2），图象开口向上，对称轴为．①当即时，在上是减函数，；②当即时，；③当时，在上是增函数，．综上所述，.21．（1）证明：当时，，定义域为，则，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是 的极小值点，也是的最小值点，且，所以，（2）解：由（），得（），当时，上述不等式恒成立，当时，，令 （），则，由（1）可知，当时，，所以由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以，所以实数的取值范围为22．（1）当时，，定义域为，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上：在单调递减，上单调递增；（2），假设存在实数，使有最小值3.①当时，因为，所以，所以在上单调递减，，解得（舍去）；②当时，在上单调递减，在上单调通增，∴，解得，满足条件；③当时，因为，所以，∴在上单调递减，∴.解得，舍去.综上，存在实数，使得当时，有最小值3.