2021【KS5U解析】新余高二下学期期末考试数学试卷（文科）含解析

这是一份2021【KS5U解析】新余高二下学期期末考试数学试卷（文科）含解析，共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1≤x＜4} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|﹣1≤x≤3} D．{x|0≤x≤3}
2．下列命题中正确的是（　　）
A．命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x＝0，则x≠0且x≠1”
B．命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则¬p为∀x＞0，sinx≤2x﹣1
C．“a＞b”是的充分不必要条件
D．方程mx2+ny2＝1（m，n是常数）表示双曲线的充要条件是m•n＞0
3．已知x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
4．下列函数的求导正确的是（　　）
A．（x﹣2）′＝﹣2x B．（sinx）′＝﹣cosx
C． D．
5．曲线y＝x3﹣ex﹣1在点（1，0）处的切线的斜率为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若椭圆的离心率为，则m＝（　　）
A． B． C． D．或
7．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，若f（t+3）+f（t﹣t2）＞0成立，则实数t的取值范围为（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，3） C．（﹣1，1） D．（0，3）
8．已知椭圆C：+＝1，过点P（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l斜率是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C．﹣ D．﹣
9．已知定义在R上的奇函数f（x）的部分图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则（　　）

A．f（2）＝﹣1 B．f（1）•f（2）＜4
C．f′（1）•f′（2）＜0 D．方程f′（x）＝0无解
10．已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
11．双曲线的右焦点为F（4，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（　　）
A．4 B．2 C． D．
12．若函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣ax2+a2x恰有3个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，1） D．（﹣∞，1）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．f（x）＝x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围为 　 　．
14．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则|PF|+|PM|的最小值是 　 　．
15．若函数f（x）＝在[﹣2，2]上的极小值为1，则非零实数a的取值范围是 　 　．
16．已知椭圆C：（3＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|＝|OA|，△OF1A的面积为2，则|PF2|＝　 　．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知命题p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），命题q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3．
（1）当a＝1时，命题p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A系列每日的销售量f（x）（单位：千克）与销售价格x（元/千克）近似满足关系式，其中4＜x＜7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售A系列所获得的利润最大．
19．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，M（1，t）为抛物线C上的点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线y＝x﹣2与抛物线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．
20．已知函数f（x）＝x+alnx+1．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为﹣a+1，求实数a的值．
21．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．

请考生在第22､第23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分.
22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点与直线垂直曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若1与曲线C交于点A，B，求的值．
23．已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c．
（1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求的最小值．


参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1≤x＜4} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|﹣1≤x≤3} D．{x|0≤x≤3}
解：∵A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤3}．
故选：D．
2．下列命题中正确的是（　　）
A．命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x＝0，则x≠0且x≠1”
B．命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则¬p为∀x＞0，sinx≤2x﹣1
C．“a＞b”是的充分不必要条件
D．方程mx2+ny2＝1（m，n是常数）表示双曲线的充要条件是m•n＞0
解：命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x≠0，则x≠0且x≠1”，所以A不正确；
命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则¬p为∀x＞0，sinx≤2x﹣1，满足命题的否定形式，所以B正确；
“a＞b”推不出，反之不成立，所以“a＞b”是的既不充分也不必要条件，所以C不正确；
方程mx2+ny2＝1（m，n是常数）表示双曲线的充要条件是m•n＜0，所以D不正确．
故选：B．
3．已知x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
解：∵x，y∈R，∴x＝y＜0时，不能推出lnx＝lny，
lnx＝lny⇔x＝y＞0，故由lnx＝lny，可得x＝y，
故x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的必要非充分条件．
故选：B．
4．下列函数的求导正确的是（　　）
A．（x﹣2）′＝﹣2x B．（sinx）′＝﹣cosx
C． D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（x﹣2）′＝﹣2x﹣3＝，A错误；
对于B，（sinx）′＝cosx，B错误；
对于C，（ex+ln3）′＝（ex）′+（ln3）′＝ex，C错误；
对于D，（lnx2）′＝，D正确；
故选：D．
5．曲线y＝x3﹣ex﹣1在点（1，0）处的切线的斜率为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：y＝x3﹣ex﹣1的导数为：y′＝3x2﹣ex﹣1，
将点坐标代入，即可得斜率为：y′|x＝1＝3﹣2＝2．
故选：C．
6．若椭圆的离心率为，则m＝（　　）
A． B． C． D．或
解：椭圆的离心率为，
可得焦点坐标在x轴时，或焦点坐标在y轴时，，
解得m＝或．
故选：D．
7．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，若f（t+3）+f（t﹣t2）＞0成立，则实数t的取值范围为（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，3） C．（﹣1，1） D．（0，3）
解：函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x的定义域为R，且f（﹣x）+f（x）＝e﹣x﹣ex+2x+ex﹣e﹣x﹣2x＝0，
故函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（t+3）+f（t﹣t2）＞0可化为f（t﹣t2）＞f（﹣t﹣3），
又∵f′（x）＝ex+e﹣x﹣2≥0，∴函数f（x）是R上的增函数，
∴t﹣t2＞﹣t﹣3，解得﹣1＜t＜3，
故选：B．
8．已知椭圆C：+＝1，过点P（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l斜率是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C．﹣ D．﹣
解：设A，B点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
由A，B在椭圆上，则①，②，
①﹣②得：，
由AB的中点坐标为P（1，1），即＝1，＝1，
∴＝﹣，
∴直线AB的斜率k＝﹣，
故选：C．
9．已知定义在R上的奇函数f（x）的部分图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则（　　）

A．f（2）＝﹣1 B．f（1）•f（2）＜4
C．f′（1）•f′（2）＜0 D．方程f′（x）＝0无解
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）为奇函数，且f（﹣2）＞2，则f（2）＝﹣f（﹣2）＜﹣2，A错误；
对于B，f（x）为奇函数，且f（﹣1）＝2，则f（1）＝﹣2，则有f（1）f（2）＞4，B错误；
对于C，由所给的函数f（x）的图象，可得f'（﹣1）＜0，f'（﹣2）＞0，必有f'（﹣1）•f'（﹣2）＜0，C正确；
对于D，由C的结论f'（﹣1）•f'（﹣2）＜0，则必定存在x0∈（﹣2，﹣1），使得f'（x0）＝0，
即f′（x）＝0一定有解，D错误；
故选：C．
10．已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【解答】解 方程，此式表示的是动点M（x，y）到定点（0，0）与定直线3x+4y﹣12＝0的距离相等且定点不在定直线上，
根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的一条抛物线．
故选：C．
11．双曲线的右焦点为F（4，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（　　）
A．4 B．2 C． D．
解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），
∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+4），y1），N（（﹣x1+4），﹣y1），
∵原点O在以线段MN为直径的圆上，
∴∠NOM＝90°，可得•＝（16﹣x12）﹣y12＝0，…①
又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，
∴，…②
由①②联解消去x1、y1，得﹣＝，…③
又∵F（4，0）是双曲线的右焦点，可得b2＝c2﹣a2＝16﹣a2，
∴代入③，化简整理得a4﹣32a2+7×16＝0，解之得a2＝4或28，
由于a2＜c2＝16，所以a2＝28不合题意，舍去，
故a2＝1，得a＝1，离心率e＝＝4，
故选：A．
12．若函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣ax2+a2x恰有3个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，1） D．（﹣∞，1）
解：f（x）＝（x﹣a）lnx﹣ax2+a2x＝（x﹣a）（lnx﹣ax）＝0，令f（x）＝0，得x＝a或＝a，
令g（x）＝，则g′（x）＝，
条件等价于函数g（x）与y＝a图象有2个交点，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
所以g（x）在x＝e时取极大值也是最大值g（e）＝，
则要想满足条件，则需a∈（0，），
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．f（x）＝x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围为 　[，+∞）　．
解：∵f（x）＝x3+2x2+mx+1，
∴f′（x）＝3x2+4x+m，
若f（x）在R递增，则f′（x）≥0在R恒成立，
故△＝16﹣12m≤0，解得：m≥，
故m的取值范围是[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
14．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则|PF|+|PM|的最小值是 　　．
解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点F（0，2），
由题意可得M在抛物线的外部，连接MF，交抛物线于P，
则|PF|+|PM|≥|MF|＝＝，
故答案为：．

15．若函数f（x）＝在[﹣2，2]上的极小值为1，则非零实数a的取值范围是 　（0，+∞）　．
解：x≤0时，f（x）＝2x3+3x2+1，
f′（x）＝6x2+6x＝6x（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣1，
令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，
故f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，
x＝﹣1是极大值点，
若f（x）在[﹣2，2]上有极小值1，
则f（x）在（0，2]递增，故a＞0，
此时满足f（x）的极小值是f（0）＝1，符合题意，
故a的取值范围是（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．
16．已知椭圆C：（3＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|＝|OA|，△OF1A的面积为2，则|PF2|＝　1或　．
解：因为|OF1|＝|OA|，所以∠F1AF2＝90°，
故△OF1A的面积为，
则|AF1|•|AF2|＝8，
由椭圆的定理可知，|AF1|+|AF2|＝2a＝6，
所以或，
设|PF2|＝n，则|PF1|＝6﹣n，
当时，由勾股定理可得，
则22+（4+n）2＝（6﹣n）2，解得n＝；
当时，由勾股定理可得42+（2+n）2＝（6﹣n）2，解得n＝1．
综上所述，|PF2|＝1或．
故答案为：1或．

三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知命题p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），命题q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3．
（1）当a＝1时，命题p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：∵p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），∴a＜x＜3a，
∵命题q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，即2＜x＜8，
（1）当a＝1时，p：∴1＜x＜3，
∵命题p，q均为真命题，∴1＜x＜3且2＜x＜8，
则实数x的取值范围为（2，3）．
（2）∵p是q的充分不必要条件，∴{x|a＜x＜3a}⊆{x|2＜x＜8}，
∴a≥2且3a≤8，解得，
经检验得a＝2或a＝符合题意，
故a的取值范围为．
18．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A系列每日的销售量f（x）（单位：千克）与销售价格x（元/千克）近似满足关系式，其中4＜x＜7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售A系列所获得的利润最大．
解：（1）由题意可知，当x＝6时，f（x）＝5，即+10＝15，
解得a＝10，
∴f（x）＝+10（x﹣7）2，（4＜x＜7）
（2）商场每日销售A系列所获得的利润为h（x），
则h（x）＝（x﹣4）[+10（x﹣7）2]＝10x3﹣180x2+1050x﹣1950，（4＜x＜7），
即h′（x）＝30x2﹣360x+1050，
令h′（x）＝30x2﹣360x+1050＝0，解得x＝5或x＝7（舍去），
∴当4＜x＜5时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
当5＜x＜7时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
∴当x＝5时，函数h（x）在区间（4，7）内取的极大值点，也是最大值点，
∴h（x）max＝h（5）＝50，
∴当售价格5元/千克时，该商场每日销售A系列所获得的利润最大．
19．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，M（1，t）为抛物线C上的点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线y＝x﹣2与抛物线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．
解：（1）∵M（1，t）在抛物线C：y2＝2px上，且|MF|＝，
∴|MF|＝，则p＝1，
故抛物线C的方程为y2＝2x；
（2）联立，可得x2﹣6x+4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2＝6，x1x2＝4，
∴|AB|＝＝
＝．
20．已知函数f（x）＝x+alnx+1．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为﹣a+1，求实数a的值．
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
当a＜0时，令f'（x）＞0，解得x＞﹣a，令f'（x）＜0，解得x＜﹣a，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a），
此时f（x）有极小值f（﹣a）＝﹣a+aln（﹣a）+1，无极大值；…………………
（2）x∈[1，e]，由f'（x）＝0得x＝﹣a，
①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣a+1，即2＝﹣a+1，则a＝﹣1，符合条件．
②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）min＝f（e）＝﹣a+1，即e+a+1＝﹣a+1，则a＝，不符合条件．
③若﹣e＜a＜﹣1，
当1＜x＜﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数；
当﹣a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）上为增函数，
∴f（x）min＝f（﹣a）＝﹣a+1，即﹣a+aln（﹣a）+1＝﹣a+1，
则a＝0或a＝﹣1，均不符合条件．
综上所述，a＝﹣1．…………………
21．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．

解：（1）∵椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，
∴，解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为．
证明：（2）∵椭圆C的方程为＝1，∴A（﹣2，0），B（0，﹣1），
设M（m，n），（m＞0，n＞0），则＝1，即m2+4n2＝4，
则直线BM的方程为y＝，
令y＝0，得，
同理，直线AM的方程为y＝，令x＝0，得，
∴×|+2|×||＝
＝＝＝2，
∴四边形ABCD的面积为定值2．
请考生在第22､第23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分.
22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点与直线垂直曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若1与曲线C交于点A，B，求的值．
解：（Ⅰ）因为点在直角坐标系中为（0，2），直线在直角坐标系中为，
所以直线l的方程为，
所以曲线C的普通方程为y＝4x2．
因为，即，
所以y＝4x2（x≠0）．
（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），
代入y＝4x2得，，则，t1t2＝﹣2，
．
23．已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c．
（1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求的最小值．
解：（1）当a＝b＝c＝1时，不等式f（x）＞5即|x+1|+|x﹣1|+1＞5，化为：|x+1|+|x﹣1|＞4．
①x≥1时，化为：x+1+x﹣1＞4，解得x＞2．
②﹣1＜x＜1时，化为：x+1﹣（x﹣1）＞4，化为：0＞2，解得x∈∅．
③x≤﹣1时，化为：﹣（x+1）﹣（x﹣1）＞4，化为：x＜﹣2．
综上可得：不等式f（x）＞5的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
（2）不妨设a≥b＞0．
①x＞b时，f（x）＝x+a+x﹣b+c＝2x+a﹣b+c，
②﹣a≤x≤b时，f（x）＝a+x﹣（x﹣b）+c＝a+b+c，
③x＜﹣a时，f（x）＝﹣（a+x）+b﹣x+c＝﹣2x﹣a+b+c．
可知：﹣a≤x≤b时，f（x）取得最小值a+b+c＝5．
∴＝（a+b+c）≥×＝，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴的最小值为．