2021成都蓉城名校联盟高二下学期期末联考文科数学试题含答案

蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2019级期末联考

文科数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.

2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3. 考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 命题：“直线，平行”是“直线，共面”的充分条件；命题：由归纳推理得到的结论一定正确，则下列命题为假命题的是（    ）

A.   B.

C.   D.

4. 已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A. 是奇函数  B. 是偶函数

C. 是周期函数  D. 没有最大值

5. 已知向量，，，则（    ）

A. 2 B. -3 C. -2 D. 3

6. 双曲线：的两焦点为，，虚轴的一个端点为，线段的一个三等分点为，若直线与的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（    ）

A. 6 B.  C. 3 D.

7. 要从96个接种了新冠疫苗的人中抽取16人检查体内的抗体情况，将这96人随机编为1到96号，再用系统抽样法抽出16个号.把抽出的号从小到大排列，已知第1，3，13个号成等比数列，则抽出的最大号为（    ）

A. 92 B. 93 C. 95 D. 96

8. 已知圆与直线（，为非零实数）相切，则的最小值为（    ）

A. 10 B. 12 C. 13 D. 16

9. 直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（    ）

A.   B.

C.   D.

10. 下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 某老师随机抽样调查了5名学生周末上网的时间，再与这5名学生在全年级的成绩排名对应，得到下表中的数据，并根据这些数据求得学生成绩排名关于周末上网时间的线性回归方程为.若运行如图所示的程序框图，输出的值为185，则的值为（    ）

A. -9 B. -10 C. -11 D. -12

12. 已知，，，则下列不等式成立的是（    ）

A.   B.

C.   D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数，则曲线在点处切线的斜率为___________.

14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则__________.

15. 已知实数，满足，则的最大值为___________.

16. 过抛物线：的焦点的动直线交于，两点，线段的中点为，点.当的值最小时，点的横坐标为___________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数，其中.

（1）若函数恰好有三个单调区间，求实数的取值范围；

（2）已知函数的图象经过点，且，求的最大值和最小值.

18. 为了纪念建党100周年，某班举行党史知识答题竞赛，其中，两组各6名同学的答题成绩的统计数据茎叶图如下，茎叶图中有一个数字记录模糊，无法辨认，用“”表示.

（1）若组同学的平均成绩大于组同学的平均成绩，分别求，两组同学成绩的中位数；

（2）若，两组同学的平均成绩相同，分别求出，两组同学成绩的方差和，并由此分析两组同学的成绩；

（3）若从组6名同学中，随机选取3名同学参加学校红歌合唱，求选取的3名同学中既有成绩在分，又有成绩在分的概率.

19. 如图1所示，在菱形中，，对角线与相交于点，现沿着对角线折成一个四面体，如图2所示，使得，点是线段的三等分点（靠近点）.

（1）在图2中，证明：；

（2）求三棱锥的体积.

20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴的一个顶点为，且，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点任作一条斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于点，记直线，，的斜率分别为，，，试探究与的大小关系，并证明你的结论.

21. 已知函数，为自然对数的底数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若，，证明：.

22. （选修4—4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设射线的极坐标方程为，射线与曲线交于点，与曲线交于点（原点除外），，求.

蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2019级期末联考

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-5：BAADB 6-10：CBDCA 11-12：CB

9. 解：设的倾斜角为，则，∴，

由题意知，

∴

.

11. 解：运行过程为：，，；

，，；

，，；

，，；

，，；

所以，最后输出的结果为，则，，，

.

12. 解：∵，∴，

∵，∴，

∵，

∴.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. -1      14.      15. 4     16. 9

16. 解：设抛物线的准线为，作，，，垂足分别为，，.

则，

∴，

∴，

点到直线的距离为13，∴，

当，，三点共线且在，之间时，，

此时，点的纵坐标为.

∵过点，

故设方程为，

代入，得，

，，则.

当，，三点共线时，，

∴，，

直线的方程为，.

点在，之间，成立，

所以，当的值最小时，点的横坐标为9.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 解：（1）由，

得.

∵存在三个单调区间，

∴有两个不相等的实数根，即.

∴，即，

故.

（2）∵图象经过点，

∴，得，

∴，

，.

的单调性和极值情况列表如下：

故的最大值为12，最小值为0.

18. 解：（1）组的平均分，

设模糊数字对应的分数为，因为组的平均成绩大于组的平均成绩，

即，，

所以组的中位数为，组的中位数为.

（2）由组的平均分与组的平均分相等，则模糊数字为6，对应分数为96，∴.

，.

由于，，所以组和组的成绩整体水平相当，但组的成绩更稳定一些.

（3）组成绩在分同学分别记为，，成绩在分同学分别记为，，，.

随机选取3名同学参加学校红歌合唱包含基本事件：

，，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，，

有20种，其中既有成绩在分，又有成绩在分的共16种.

故概率.

19.（1）证明：∵是菱形，点是中点，

∴，，

又，

∴平面，

∴平面，

∴.

（2）∵和是等边三角形，边长为，点是中点，

∴，，

∴，则.

又，，

∴平面.

因为，点是线段的三等分点，

所以.

20. 解：（1）设，，，，，

∵，即，，

又，∴，

故椭圆的方程为.

（2）.

证明：不妨取点，设，，直线的方程为.

直线与椭圆联立：，得，

恒成立，，，

直线：，令，则，即，

故，，，

，

将代入得。

故，即得证.

21. 解：（1）的定义域为，，

当时，恒成立，在上单调递增；

当时，令，，单调递增，

令，，单调递减，

综上：当时，的增区间为；

当时，的增区间为，减区间为.

（2）要证，即证，

∵，∴只需证：，

设，则，

设，在内为增函数，

，，

∴，，

则在内，为减函数；在内，为增函数，

∴，则，

由，

因为函数在内为增函数，

∴，，且，

则，

即，

∴成立.

22. 解：（1）由（为参数）得：

曲线的普通方程为.

化简得：.因为，.

所以曲线的极坐标方程为：.

曲线的直角坐标方程为.

（2）将射线的极坐标方程代入曲线：

所以，

将射线的极坐标方程代入曲线：

所以，

所以，

.

∵，∴.