2021【KS5U解析】武汉武昌区高二下学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】武汉武昌区高二下学期期末考试数学试卷含解析，共21页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝（　　）
A．（1，2） B．[1，2）
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，2）
2．复数的共轭复数是（　　）
A．﹣2﹣i B．2﹣i C．2+i D．﹣2+i
3．若tanα＝2，则sin（2α﹣）的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．
4．设a＝20.2，b＝，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
5．如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，给出下列四种说法：
①函数f（x）的周期为π；
②函数f（x）图象的一条对称轴方程为；
③函数f（x）的递减区间为；
④当时，函数f（x）的值域为．
其中，正确的说法是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．③④
6．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax+by﹣2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．三棱锥P﹣ABC的顶点均在一个半径为4的球面上，△ABC为等边三角形且其边长为6，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知a﹣4＝ln≠0，b﹣5＝ln≠0，c﹣6＝ln≠0，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
10．对于非零向量，下列命题中错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C． D．
11．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面的一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（　　）

A．有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值
12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|F1F2|2＝16|MA|•|MB|，则（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．四边形AMBO的面积为（O为坐标原点）
C．双曲线C的渐近线方程为
D．直线MA与直线MB的斜率之积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中x2的系数为　 　．（用数字作答）
14．甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有 　 　种．（用数字作答）
15．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，给出下列命题：
①若a∥c，b∥c，则a∥b；
②若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
③若α∥c，β∥c，则α∥β；
④若α∥γ，β∥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是 　 　．
16．设函数f（x）＝x3﹣4x2+ax+b，x∈R，其中a，b∈R．若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，则x1+2x0＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A，B两点间的距离，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD＝20m，并且在点C，D两点分别测得∠BCA＝45°，∠ACD＝60°，∠BDC＝30°，∠BDA＝60°，试求A，B两点间的距离（精确到0.1m）．
附：，，．

18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
19．已知数列{an}是递增的等比数列，前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列．数列{bn}的首项为1，其前n项和为Sn，且2Sn＝（n+1）bn．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC＝60°，侧面PAD是等边三角形，AD＝2AB，点P在平面ABCD上的射影恰是线段BC的中点E．求：
（1）二面角P﹣AD﹣E的大小；
（2）异面直线PA与CD所成角的余弦值．

21．抛物线C的方程为y＝﹣x2，过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k1+k2＝0．
（1）若线段AB的中点为M，证明线段PM的中点在y轴上；
（2）若点P的坐标为（1，﹣1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．
22．已知函数f（x）＝x﹣ex+a．
（1）讨论函数f（x）零点的个数；
（2）若函数f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：2x1+x2＜0．


参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝（　　）
A．（1，2） B．[1，2）
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，2）
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出结果．
解：集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|＞0}＝{x|x＜0或x＞1}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．
故选：A．
2．复数的共轭复数是（　　）
A．﹣2﹣i B．2﹣i C．2+i D．﹣2+i
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
解：∵＝，
∴复数的共轭复数是2﹣i．
故选：B．
3．若tanα＝2，则sin（2α﹣）的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．
【分析】由同角三角函数的关系式可推出cos2α＝，再结合诱导公式与二倍角公式，得解．
解：∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，
又sin2α+cos2α＝1，
∴cos2α＝，
∴sin（2α﹣）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝1﹣2×＝．
故选：D．
4．设a＝20.2，b＝，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．
解：∵，log0.20.3＜log0.20.2＝1，
∴c＜a＜b．
故选：D．
5．如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，给出下列四种说法：
①函数f（x）的周期为π；
②函数f（x）图象的一条对称轴方程为；
③函数f（x）的递减区间为；
④当时，函数f（x）的值域为．
其中，正确的说法是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【分析】直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象判断①②③④的结论．
解：根据函数的图象：
A＝1，，
故T＝π，所以ω＝2，
当x＝时，f（）＝sin（φ）＝0，
故φ＝kπ（k∈Z），故φ＝kπ﹣（k∈Z），
当k＝0时，φ＝﹣，k＝1时，φ＝，
根据函数的图象，φ＝﹣，
故f（x）＝sin（2x﹣），
对于①，函数f（x）的周期为π，故①正确；
对于②，当x＝时，f（）＝，故②错误；
对于③，令（k∈Z），整理得：，故函数f（x）的递减区间为，故③正确；
④当时，故，函数f（x）的值域为，故④错误．
故选：B．
6．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax+by﹣2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay﹣2ab＝0相切，可得原点到直线的距离＝a，化简即可得出．
解：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点（0，0），半径为r＝a，圆的方程为x2+y2＝a2，
直线bx﹣ay﹣2ab＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，整理可得a2＝3b2，
即a2＝3（a2﹣c2），即2a2＝3c2，从而，
则椭圆的离心率 ，
故选：A．
7．三棱锥P﹣ABC的顶点均在一个半径为4的球面上，△ABC为等边三角形且其边长为6，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，求出等边△ABC外接圆的半径，计算△ABC外接圆的圆心与球心的距离，判断点P的位置，再计算三棱锥P﹣ABC体积的最大值．
解：三棱锥P﹣ABC是半径为4的球面上四点，△ABC为等边三角形，
所以×AB2•sin60°＝×6×6×＝9，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然P是O′O的延长线与球的交点，如图所示：

计算O′C＝××6＝2，OO′＝＝2，
所以三棱锥P﹣ABC高的最大值为2+4＝6，
所以三棱锥P﹣ABC体积的最大值为×9×6＝18．
故选：B．
8．已知a﹣4＝ln≠0，b﹣5＝ln≠0，c﹣6＝ln≠0，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【分析】通过构造函数f（x）＝x﹣lnx，求导可推得，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，结合已知条件和构造函数的单调性，即可求解．
解：设f（x）＝x﹣lnx，
求导可得f'（x）＝，
∴f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∵a﹣4＝ln≠0，
∴a﹣lna＝4﹣ln4，
∴f（a）＝f（4），
同理可得f（b）＝f（5），f（c）＝f（6），
∵当x→0+时，f（x）→+∞，且f（x）在（0，1）单调递减，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，
又∵f（4）＜f（5）＜f（6），
∴f（a）＜f（b）＜f（c），
又∵f（x）在（0，1）单调递减，
∴c＜b＜a．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A．
10．对于非零向量，下列命题中错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【分析】根据平面向量数量积的性质和运算判断即可．
解：A选项，＝＝0，由是非零向量，所以，，故cosθ＝0，所以，即，故A错误；
B选项，＝，，
∴＝，不能得到，故B错误；
C选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故C错误；
D选项，由平面向量数量积运算律可知，D正确；
故选：ABC．
11．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面的一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（　　）

A．有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值
【分析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可．
解：由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，
故选项A正确；
因为睡眠EFGH所在四边形的面积，从图2，图3可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，
所以EFGH所在四边形的面积是变化的，
故选项B错误；
因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，
故选项C正确；
因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE•BF是定值，
故选项D正确．
故选：ACD．
12．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|F1F2|2＝16|MA|•|MB|，则（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．四边形AMBO的面积为（O为坐标原点）
C．双曲线C的渐近线方程为
D．直线MA与直线MB的斜率之积为定值
【分析】先根据|F1F2|2＝16|MA|•|MB|可得到，进而可判断A，B，C，D四个选项．
解：双曲线C的两条渐近线分别为bx+ay＝0和bx﹣ay＝0，
设M（x0，y0），则

所以，
又M点在双曲线上，则，
所以，
因为，所以，
即c4＝4a2b2⇔c4＝4a2（c2﹣a2）⇔e4＝4（e2﹣1）⇔（e2﹣2）＝0，
又e＞1，所以，故A正确；
因为，
所以，所以OA⊥OB，所以四边形OABM是矩形，
故四边形OABM的面积为，故B正确；
因为a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故C错误；
kMA⋅kMB＝kOB⋅kOA＝（﹣1）⋅1＝﹣1，故D正确．
故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中x2的系数为　60　．（用数字作答）
【分析】利用二项展开式的通项公式，求出x的指数，通过指数为2，求出所求数值．
解：的通项公式为：＝．
令，得r＝2．
可得x2项的系数为C62（﹣2）2＝60，
故答案为：60．
14．甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有 　24　种．（用数字作答）
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将除甲乙丙之外的2人全排列，②将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①将除甲乙丙之外的2人全排列，有A22＝2种情况，
②将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，有2（C32+A31）＝12种情况，
则有2×12＝24种不同的站法；
故答案为：24，
15．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，给出下列命题：
①若a∥c，b∥c，则a∥b；
②若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
③若α∥c，β∥c，则α∥β；
④若α∥γ，β∥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是 　①④　．
【分析】由平行公理判断①；由平行于同一平面的两直线的位置关系判断②；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断③；由平面平行的传递性判断④．
解：①若a∥c，b∥c，由平行公理可得a∥b，故①正确；
②若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故②错误；
③若α∥c，β∥c，则α∥β或α与β相交，故③错误；
④若α∥γ，β∥γ，由平面与平面平行的传递性可得α∥β，故④正确．
故答案为：①④．
16．设函数f（x）＝x3﹣4x2+ax+b，x∈R，其中a，b∈R．若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，则x1+2x0＝　4　．
【分析】利用f′（x0）＝0，f（x1）＝f（x0），联立化简即可得结果．
解：f（x）＝x3﹣4x2+ax+b，f′（x）＝3x2﹣8x+a，
因为x0是极值点，所以f′（x0）＝0，即，又即，
因为f（x1）＝f（x0），所以，
即，因为x1≠x0，
所以，
把代入化简得（x1﹣x0）（x1+2x0﹣4＝0），因为x1≠x0，
所以x1+2x0﹣4＝0，即x1+2x0＝4．
故答案为：4．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A，B两点间的距离，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD＝20m，并且在点C，D两点分别测得∠BCA＝45°，∠ACD＝60°，∠BDC＝30°，∠BDA＝60°，试求A，B两点间的距离（精确到0.1m）．
附：，，．

【分析】由已知可得△ADC是直角三角形，从而可求得AC，在△BCD中，利用正弦定理可求得BC，在△ABC中，由余弦定理可求得AB．
解：在△ADC中，CD＝30，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°+30°＝90°，
所以，△ADC是直角三角形，求得．
在△BCD中，∠BDC＝30°，∠BCD＝45°+60°＝105°，所以∠CBD＝45°．
由正弦定理，得，所以．
在△ABC中，∠ACB＝45°，由余弦定理，得，
所以，A，B两点间的距离为31.6m．
18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
【分析】（Ⅰ）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．
（Ⅱ）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．
解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值是0，1，2，3
P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，
X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P




EX＝，
（或EX＝3•＝1.5）；
（Ⅱ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，
甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，
则A＝B1+B2，B1，B2为互斥事件．

∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为
19．已知数列{an}是递增的等比数列，前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列．数列{bn}的首项为1，其前n项和为Sn，且2Sn＝（n+1）bn．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（1）先利用利用等比数列的通项公式求出公比q，从而求出数列{an}的通项公式，利用前n项和与第n项之间的关系，求出数列{bn}的递推公式，然后利用叠乘法求解数列{bn}的通项公式即可；
（2）利用（1）中的结论，得到数列{cn}的通项公式，然后由错位相减法求和即可．
解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
因为前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列，
所以，（其中舍去），
所以数列{an}的通项公式为；
因为2Sn＝（n+1）bn，
所以2Sn﹣1＝nbn﹣1（n≥2），
两式相减，得2bn＝（n+1）bn﹣nbn﹣1，
化简得，
于是，
所以bn＝n；
（2）由（1）知，，
则，
所以，
故，
所以．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC＝60°，侧面PAD是等边三角形，AD＝2AB，点P在平面ABCD上的射影恰是线段BC的中点E．求：
（1）二面角P﹣AD﹣E的大小；
（2）异面直线PA与CD所成角的余弦值．

【分析】（1）可设AB＝a，则AD＝2a，然后取AD的中点F，连接EF，PF，然后可说明∠PFE是二面角P﹣AD﹣E的平面角，根据条件可得出△PEF是Rt△PEF，且得出，从而得出∠PFE＝60°；
（2）可过A作AG∥CD，从而得出∠PAG为异面直线PA与CD所成的角，可求出，从而可求出，并得出AG＝a，PA＝2a，然后根据余弦定理即可求出cos∠PAG的值．
解：设AB＝a，则AD＝2a，
（1）如图，取AD的中点F，连接EF，PF，

因为ABCD是等腰梯形，且E为BC的中点，
所以EF⊥AD于F．
因为PAD是等边三角形，F为AD的中点，
所以PF⊥AD于F．
所以∠PFE是二面角P﹣AD﹣E的平面角．
∵点P在平面ABCD上的射影为E，
∴PE⊥EF，∠PEF＝90°．
于是Rt△PEF中，，所以∠PFE＝60°．
即二面角P﹣AD﹣M的大小是60°．
（2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角．
由GADC是平行四边形，得．
在Rt△PEF中，．
在Rt△PEG中，．
在△PAG中，由余弦定理得，
∴异面直线PA与CD所成角的余弦值为．
21．抛物线C的方程为y＝﹣x2，过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k1+k2＝0．
（1）若线段AB的中点为M，证明线段PM的中点在y轴上；
（2）若点P的坐标为（1，﹣1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．
【分析】（1）设直线PA，PB的方程，联立直线PA与抛物线方程，求出k1＝﹣x1﹣x0，同理可得k2＝﹣x2﹣x0，利用中点坐标公式，得到xM+xP＝0，即可证明；
（2）利用（1）中的结论，得到y1和y2，求出A、B的坐标，利用，求出k1的范围，再求出y1的范围．
解：（1）证明：设直线PA的方程为y﹣y0＝k1（x﹣x0），直线PB的方程为y﹣y0＝k2（x﹣x0），
点P（x0，y0）和点A（x1，y1）的坐标是方程组的解，
消去y，整理得x2+k1x﹣k1x0+y0＝0，
于是x1+x0＝﹣k1，即k1＝﹣x1﹣x0，同理可得，k2＝﹣x2﹣x0，
因为k1+k2＝0，所以2x0+x1+x2＝0，
因为线段AB的中点为M，所以，
因为xM+xP＝0，所以线段PM的中点在y轴上；
（2）由（1）知，当点P的坐标为（1，﹣1）时，x1＝﹣k1﹣1，
代入y＝﹣x2，求得，同理可得，，
因此直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
，，
于是，，
所以，
因为∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，
所以，即k1（k1+2）（2k1+1）＜0，
解得k1＜﹣2或，
又，所以当k1＜﹣2时，y1＜﹣1；
当时，，
综上所述，∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为．
22．已知函数f（x）＝x﹣ex+a．
（1）讨论函数f（x）零点的个数；
（2）若函数f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：2x1+x2＜0．
【分析】（1）求导得f'（x）＝1﹣ex，分析导数的正负，f（x）的单调区间，进而可得f（x）有最大值f（0）＝a﹣1，分三种情况：当a＜1时，当a＝1时，当a＞1时，f（x）的零点个数．
（2）由（1）知，函数f（x）恰有两个零点时，a＞1，且﹣a＜x1＜0＜x2＜a，要证2x1+x2＜0，只需证x2＜﹣2x1，结合f（x）单调性，推出只需证f（x2）＞f（﹣2x1），只需证f（x1）＞f（﹣2x1），其中﹣a＜x1＜0．令g（x）＝f（x）﹣f（﹣2x），﹣a＜x＜0，求导分析单调性，推出g（x）＞g（0）＝0，即可得出答案．
解：（1）f'（x）＝1﹣ex．
当x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）＜0．
所以，函数f（x）在（﹣∞，0）单调递增；在（0，+∞）单调递减．
所以，当x＝0时，f（x）有最大值f（0）＝a﹣1．
当a＜1时，f（0）＝a﹣1＜0，函数f（x）无零点；
当a＝1时，f（0）＝a﹣1＝0，函数f（x）有1个零点：
当a＞1时，f（0）＝a﹣1＞0，f（﹣a）＝﹣e﹣a＜0，f（a）＝2a﹣ea，f'（a）＝2﹣ea．
当a＜ln2时，f'（a）＞0；当a＞ln2时，f'（a）＜0．
所以，f（a）在（﹣∞，ln2）单调递增，在（ln2，+∞）单调递减．
所以，即f（a）＜0．
所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有两个零点．
综上，当a＜1时，函数f（x）无零点；
当a＝1时，函数f（x）有1个零点；当a＞1时，f（x）有两个零点．
（2）证明：由（1）知，函数f（x）恰有两个零点时，a＞1，且﹣a＜x1＜0＜x2＜a．
要证2x1+x2＜0，只需证x2＜﹣2x1．
因为f（x）在（0，+∞）单调递减，所以只需证f（x2）＞f（﹣2x1）．
因为f（x1）＝f（x2）＝0，所以只需证f（x1）＞f（﹣2x1），其中﹣a＜x1＜0．
令g（x）＝f（x）﹣f（﹣2x），﹣a＜x＜0，
则g（x）＝（x﹣ex+a）﹣（﹣2x﹣e﹣2x+a）＝3x﹣ex+e﹣2x，
所以g'（x）＝3﹣ex﹣2e﹣2x，因为g''（x）＝4e﹣2x﹣ex＞g''（0）＞0，
所以g'（x）在（﹣∞，0）单调递增，从而g'（x）＜g'（0）＝0，
所以g（x）在（﹣∞，0）单调递减，所以g（x）＞g（0）＝0，即f（x）＞f（﹣2x），
于是f（x2）＞f（﹣2x1），所以2x1+x2＜0．