2021宜春丰城九中高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

数学（理）试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数满足，则（      ）

A．         B．          C．     D．

2．已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（      ）

A．若∥，，则∥；

B．若，∥，则；

C．若∥，则∥；

D．若，∥，∥，则．

3．如果三点共线，那么（       ）

A．      B．        C．        D．

4．若为正整数，则乘积（        ）

A．     B．        C．        D．

5． 经过平面内不同的两点与平面垂直的平面有（      ）

A． 个         B．          C．无数个      D．个或无数个

6．一个班有6名战士,其中正副班长各一名,现从中选3人一起完成一项任务,要求正副班长中至少有一人参加,则不同的分配方法有（　  　）

A．24种        B．20种     C．16种       D．12种

7.如图，在平行六面体中，为与的交点．若

，则下列向量中与相等的向量是(  　　)

A.            B.             

C.          D.

8. 某校有4名同学报名参加3个不同的智力竞赛项目，每人只参加一项，且每个竞赛项目必须有人参加，则不同的报名方法有（      ）

A．        B．        C．       D．

9.在二项式的展开式中各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为（   　 ）

 A．        B．        C．         D．

10．在的展开式中，含的项的系数是（   　 ）

A.            B.              C.            D.

11．红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”

联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，

1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法

总数是（　    ）

A．        B．        C．         D．

12．如图,多面体中，，

且两两垂直,给出下列4个结论：

①平面平面；           

②经过点四点的球的表面积为；

③直线平面；

④直线与所成角的余弦值为．

其中正确的结论的有（       ）

A．个        B．个        C．个     D．个 

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．

13． 的展开式中的常数项为______________. （用数字作答）

14．若, ，

则______________.

15．7个人坐成一排，若要调换其中4个人的位置，其余3个人不动，不同的调换方法有          .（用数字作答）

16．在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则          .

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 

17．（本题满分10分）用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，（用数字作答）

（1）能被5整除的四位数有多少个？

（2）这些自然数中有多少个数比430125大？

 18.已知.

（1）若，求；

（2）若，求除以9的余数；

19．如图，高为的等腰梯形，，为的四等分点．现将沿折起，使平面平面，连接、．　

（1）若，且满足平面，求实数的值；

（2）当点为边中点时，求点到平面的距离．

20．如下图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是 的中点，.

（1）求证：

（2）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

21．如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，，，．

（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．

22．设函数，，曲线在点处的切线

方程为．

（1）求的值；（2）判断函数在上的零点个数．

答案

1-12 ACBDB  CDBAC  CB

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．

13． 60

14．.81

15． 315

16．

17．解：（1）末位数是0的有个，末位数是5的有个

所以能被5整除的四位数有个………………5分

（2）由题意得，最高位数字是或者，

当最高位是时，有个，………………7分

当最高位是时，有个，………………9分

所以这些自然数中比430125大的有个．………………10分

18. 解：（1）因为，所以……①

同时，……②，………………2分

①     ②两式相加得：

所以………………6分

（2）因为，所以

………………9分

因为都能被9整除，所以1除以9的余数就是除以9的余数，

故除以9的余数为1. ………………12分

19．解：（1）连接交于，连接.  

梯形中，，，………………2分

由平面，平面，平面平面，

在. 所以

即．………………6分

（2）设点到平面的距离为．

建立如图所示空间直角坐标系，

，所以,

设平面的一个法向量为，，

则有，即，令，

有．………………9分

.

点到平面的距离为．………………12分

20. 解：（1）因为底面和侧面是矩形，

所以 ，

又因为 ，

所以 平面，                         

因为 平面，

所以；………………5分

（2）由（1）可知，

又因为 ，，

所以 平面.  

设为的中点，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴

如图建立空间直角坐标系，

设，则，

设平面的一个法向量为，，

则有，即，令，

有．………………8分

设平面的一个法向量为，，

则有，即，令，

有．………………10分

由平面与平面所成的锐二面角的大小为,

得 ，    

解得. ………………12分

21．如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，，，．

（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．

解：（1）方法1：设在平面内的射影为E，由QC=QD可得EC=ED，

所以点E在CD的垂直平分线上

由ABCD是菱形，且，故直线AE与CD的交点即为CD的中点F．

因为PA⊥平面ABCD，QE⊥平面ABCD，所以，

从而PA，QE共面，因此PQ，FA共面，所以PQFA为平面四边形．………………6分

方法2：取棱的中点，则有，，又，所以CD⊥平面AFQ，

在菱形中，，所以，又平面，所以有，，所以CD⊥平面PAF．

由AFQ与平面PAF均过点A可得平面AFQ与平面PAF重合．

即P、Q、F、A共面，所以PQFA为平面四边形．………………6分

（2）分别以AB、AF、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

当时，由可得，

设在平面内的射影为，则有相似于，即，

所以Q的坐标为，

设平面的一个法向量为，，

则有，即，令，有．………………9分

设直线与平面所成角为，则．

即而直线与平面所成角的正弦值为．………………12分

22．设函数，，曲线在点处的切线

方程为．

（1）求的值；（2）判断函数在上的零点个数．

．【解析】解：（Ⅰ）由题意得即，

解得………………5分

（2）由（Ⅰ）可得，令，即，

令，，………………7分

，时，，在单调递减，

时，，在单调递增， ．

，时，，在单调递增，时，，在单调递减，………………10分

，可知，故在上的零点个数为个．………………12分

……………12分