2021云南省部分名校高二下学期期末联考数学（文）试题含答案

云南省部分名校2020-2021学年高二下学期期末联考

数学试卷（文科）

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则（　　）

A. B. C. D.

2.已知a，，则（　　）

A.，  B.，

C.，  D.，

3.已知a，b的等比中项为1.则的最小值为（　　）

A. B.1 C. D.2

4.由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则（　　）

A.48 B.52 C.56 D.80

5.已知平面向量，且，则（　　）

A.1 B. C. D.2

6.已知x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）

A. B.0 C.2 D.3

7.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为（　　）

A.1 B.2 C. D.

8.从1，2，3，4这4个数中取出2个不同的数组成一个两位数，则该两位数能被3整除的概率是（　　）

A. B. C. D.

9.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：为时间，单位为分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为？（　　）（参考数据：，）

A.5 B.6 C.7 D.8

10.点在函数的图像上，若满足到直线的距离为1的点有且仅有1个，则（　　）

A. B. C. D.

11.已知圆雉的侧面积为，且圆雉的侧面展开图恰好为半圆，则该圆雉外接球的表面积为（　　）

A. B. C. D.

12.已知是双曲线的左焦点，双曲线的离心率为，直线与交于A，B两点，且，（O为坐标原点），则（　　）

A. B.2 C. D.3

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知函数为奇函数，则__________.

14.已知等差数列的前项和为，，则__________.

15.如图，在正方体中，M，N分别是，的中点，P是上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

16.已知，函数，若不等式恒成立，则a的取值范围为__________.

三、解三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（12分）

某重点中学调查了100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.

将理科综合分数不低于240分的学生称为成绩“优秀”

（1）估计某学生的成绩为“优秀”的概率；

（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为成绩“优秀”与性别有关.

附：，.

18.（12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为.

（1）求A；

（2）若，求.

19.（12分）

如图，在三棱锥中，，平面平面，E，F分别是，的中点.

（1）证明：.

（2）若，，求C到平面的距离。

20.（12分）

已知F是椭圆E：的右焦点，点是椭圆上一点，且轴。

（1）求椭圆E的方程；

（2）过F作直线l交E于A，B两点，且的面积为，为坐标原点。求直线l的斜率.

21.（12分）

已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若恒成立。求a的取值范围。

（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线l与曲线C交于AB两点，求的值.

23.［选修4—52不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，若恒成立，求a的取值范围。

云南省部分名校2020-2021学年高二下学期期末联考

数学试卷参考答案（文科）

1.D.

2.B由，得，则，.

3.D由题可知，，所以，当且仅当时，取得是最小值.

4.A因为，所以，所以，所以.

5.B由，得，所以，则.

6.C画出可行域（图略）知，当平移到过点时，取得最大值，最大值为2.

7.B由抛物线方程可得，由抛物线定义可得，则，，则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为.

8.D从1，2，3，4这4个数中取出2个不同的数组成一个两位数共有12种情况，其中能被3整除的有4种情况，故所求的稅审为.

9.A由题意知，分钟，故选A.

10.B设直线与相切于点，则，解得切点为，由题可知到直线的距离为1，所以，解得，结合图象（图略）可知，.

11.D设圆雉的底面半径为，高为，母线长为，则，，解得，，，设圆锥外接球的半径为，所以，解得，则外接球的表面积为.

12.D设是双曲线的右焦点，连接，（图略），结合双曲线的对称性可知，.不妨设，，，则.

因为为的中点，所以，所以，

所以，，解得.

13.，则.

14.81设等差数列的公差为d，因为①，所以②，

由②-①，得，则.当时，，则a=1.所以.

15.在边上取点E，使得，连接，，则，所以为异面直线与所成角.设，则，，，所以.

16.结合函数的图象（图略）可知，为奇函数，所以不等式可化为，所以，则，即a的取值范围为.

17.解：（1）根据频率分布直方图可得某学生的成绩为“优秀”的概率为.

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，成绩“优秀”的有30人，从而2×2列联表如下：

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

因为，

所以没有的把握认为成绩“优秀”与性别有关。

18.解：（1）由题可知，

则，∴

（2）∵，由正弦定理得，

又，，

∴，

整理可得，即，

∴.

由，，所以，，

.

19.（1）证明：作为的中点，连接，，则，

又，所以平面

所以，

因为E，F分别为，的中点，所以，则.

（2）解：由平面平面，交线为，所以平面.

所以，

在.中，，，

，

设到平面的距离为，则，解得.

所以到平面的距离为.

20.解由题可知，

解得，，，

所以椭圆的方程为.

（2）设的方程为，，，

联立方程组，可得，

则，

所以，

到直线的距离为，所以的面积，

解得，即直线的斜率为.

21.解：（1），则.

所以，

所以曲线在处的切线方程为.

（2）令，则恒成立，

所以在上单调递增，且.

当时，，所以单调递诚；

当时，所以单调递增。

即当时取到极小值，也是最小值，所以.

因为恒成立，所以的取值范围为.

22.解曲线的参数方程为（m为参数），

所以，

相减可得，即曲线的普通方程为.

直线的极坐标方程为，则转换为直角坐标方程为.

（2）直线过点，直线的参数方程为，（t为参数）。

令点A，B对应的参数分别为，

将，代入，得，

则，，

∴.

23.解：（1）①当时，得，解得，所；

（2）当时，得，解得，所以；

（3）当时，得，解得，所以.

综上所述，原不等式的解集为.

（2），

所以，

又恒成立，所以，解得，所以的取值范围为.