2021清远凤霞中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2021清远凤霞中学高二下学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁和平整等内容，欢迎下载使用。

2020—2021学年度第二学期
高二级数学科期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150 分。考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

一、单选题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为(　　)
A.6 B.5 C.3 D.2
2．设，则在复平面内对应的点位于第（    ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3．若复数z满足，则z的虚部是（    ）
A．-4i B．4i C．-4 D．4
4．复数，则（    ）
A． B． C． D．
5．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)
A.12 B.24 C.64 D.81
6．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t＝3 s时的瞬时速度为(　　) m/s
A．7 B．6 C．5 D．8
7．已知曲线y＝f (x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋7，则f (5)与f ′(5)分别为(　　)
A．2，2 B．2，－1 C．－1，2 D．－1，－1
8．设随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P


p
则p等于(　　)
A．0 B. C. D．不确定
9．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A.(0，1] B.[1，＋∞)
C.(－∞，－1] D.[－1，0)∪(0，1]

二、多选题（本题共5小题，每小题4分，共20分．）
11．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为－1 B.|z|＝
C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为－1－i
12.关于的展开式，下列结论正确的是( )
A. 所有项的二项式系数和为32 B. 所有项的系数和为0
C. 常数项为 D. 二项式系数最大的项为第3项
13.下列求导数的运算中正确的是(　　)
A. 　B.
C． D．
14.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　)
A.若|z1－z2|＝0，则
B.若，则
C.若，则|z1|＝|z2|
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
15.对于函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)
A.f(x)在x＝1处取得极大值 B.f(x)有两个不同的零点
C.f(4)＜f(π)＜f(3) D.πe2＞2eπ

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
16．已知i为虚数单位，若a＋i＝2－bi，，则|a＋bi|＝
17. 若复数是虚数单位），则复数 等于_________.
18. 乘积(a1＋a2)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为________.
19. 的展开式中x3的系数为________.
20. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.
21. 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既无极大值又无极小值，则实数a的取值范围是________．

四、解答题（本题共6小题，共66分）
22.（本小题满分10分）
（1）计算： （2）复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，求|z|

22.（本小题满分10分）
实数取什么数值时，复数分别是：
（1）纯虚数？
（2）表示复数的点在复平面的第四象限？



23.（本小题满分10分）求下列函数的导数：
（1） f (x)=ex+x2–x （2）f(x)＝


24. （本小题满分12分）
已知函数在处取得极值.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.



25. （本小题满分12分）
某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．



26.（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝e2x－aex＋bx，其中a，b∈R，e为自然对数的底数.
（1）若a＝4，试讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意a∈[1，＋∞），都存在x∈（0，1），使得f（x）<0恒成立，求实数b的取值范围.
2020—2021学年度第二学期
高二级数学科期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150 分。考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。


一、单选题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为(　　)
A.6 B.5 C.3 D.2
答案：B
2．设，则在复平面内对应的点位于第（    ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
答案：B
3．若复数z满足，则z的虚部是（    ）
A．-4i B．4i C．-4 D．4
答案：D
4．复数，则（    ）
A． B． C． D．
答案：C
5．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)
A.12 B.24 C.64 D.81
解析：4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A＝24.
答案：B
6．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t＝3 s时的瞬时速度为(　　) m/s
A．7 B．6 C．5 D．8
解析：s′＝－1＋2t，t＝3时，t′|x＝3＝－1＋2×3＝5
答案：C
7．已知曲线y＝f (x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋7，则f (5)与f ′(5)分别为(　　)
A．2，2 B．2，－1 C．－1，2 D．－1，－1
解析：由题意得f(5)＝－5＋7＝2，f ′(5)＝－1.
答案：B
8．设随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P


p
则p等于(　　)
A．0 B. C. D．不确定
答案：B
解析：根据所给的分布列，由离散型随机变量的性质得＋＋p＝1，解得p＝.
9．（2020全国Ⅰ理6）函数的图像在点处的切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路导引】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可．
【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即，故选B．
10．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A.(0，1] B.[1，＋∞)
C.(－∞，－1] D.[－1，0)∪(0，1]
解析：　由题意知f′(x)＝2x－＝(x>0)，由f′(x)≤0，得0 答案：　A
二、多选题（本题共5小题，每小题4分，共20分．）
11．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为－1 B.|z|＝
C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为－1－i
解析　由题意得z＝＝＝1－i.对于A，由z＝1－i得复数z的虚部为－1，故A正确；对于B，|z|＝|1－i|＝，故B正确；对于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，故C正确；对于D，z＝1－i的共轭复数＝1＋i，故D不正确.故选ABC.
12.关于的展开式，下列结论正确的是( )
A. 所有项的二项式系数和为32 B. 所有项的系数和为0
C. 常数项为 D. 二项式系数最大的项为第3项
【答案】BC
【分析】首先写出展开式的通项，二项式中，令即可得出常数项，令，得到各项系数和，二项式系数和为，即可判断；
【解析】二项式展开式的通项为
令，解得，则常数项为，故C正确；
且二项式系数最大的项为第4项，故D错误；
二项式系数和；
令，得所有项的系数和为0，故A错误，B正确；
故选：BC
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
13.下列求导数的运算中正确的是(　　)
A. 　B.
C． D．
【答案】AB
【详解】，故C错误；，故D错误.
14.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　)
A.若|z1－z2|＝0，则
B.若，则
C.若，则|z1|＝|z2|
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
答案　ABC
解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2；
对于B若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，若z1·1＝z2·2则＝，故|z1|＝|z2|正确，
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，
而z＝1，z＝－1，所以z＝z不正确.

15.对于函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)
A.f(x)在x＝1处取得极大值 B.f(x)有两个不同的零点
C.f(4)＜f(π)＜f(3) D.πe2＞2eπ
解析　由函数f(x)＝，可得函数f(x)的导数为f′(x)＝.当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.可得函数f(x)在x＝1处取得极大值，且为最大值，所以A正确；因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4＞π＞3＞1，可得f(4)＜f(π)＜f(3)，所以C正确；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且π＞2＞1，可得＜，即πe2＜2eπ，所以D错误.故选AC.
答案　AC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
16． （17-18学年度第二学期清远市期末高二理数13改）已知i为虚数单位，若a＋i＝2－bi，，则|a＋bi|＝
答案：
解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，a＋bi＝2－i∴|a＋bi|＝
17.（ 16-17学年度第二学期清远市期末高二文数14）若复数是虚数单位），则复数 等于_________.
答案：
18.乘积(a1＋a2)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为________.
解析　从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，第三个括号中选一个字母有5种方法，故根据分步乘法计数原理可知共有N＝2×4×5＝40(项).
答案　40
19.的展开式中x3的系数为________.
【答案】4
【解析】由题意得x3的系数为．
20.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________.
答案：72
解析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有种方法，所以其中奇数的个数为

21．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既无极大值又无极小值，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
因为函数f(x)既有无大值又有无小值，
所以Δ＝36a2－36(a＋2)≤0，
即a2－a－2≤0，
解得－1≤a≤2.
答案：[－1，2]
四、解答题（本题共6小题，共70分）
22.（本小题满分10分）
（1）计算： （2）复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，求|z|

【解析】
(1) 原式＝＝＝＝＝1－i
(2) z＝＝＝＝1－i，|z|=


22.（本小题满分10分）
实数取什么数值时，复数分别是：
（1）纯虚数？
（2）表示复数的点在复平面的第四象限？
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.
（1）当复数z是纯虚数时，且，解得；
（2）当复数z表示的点位于第四象限时，且,解得
考点：复数的概念及几何意义.

23.（本小题满分10分）求下列函数的导数：
（1） f (x)=ex+x2–x （2）f(x)＝
【答案】
（1）f ′(x)=ex+2x–1
（2）f ′(x)＝－
【考点】本题主要考查导数的运算法则，根据函数求导公式可得答案．属于基础题．


24.已知函数在处取得极值.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
（3）若函数在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】先对函数求导，根据函数 在处取得极值，求出；
（1）将代入解析式，再由导数的方法求出其在处的切线斜率，进而可求出结果；
（2）函数有三个零点，等价于方程有三个不等实根，也即是函数与直线有三个不同的交点，由导数的方法研究函数的极值，即可得出结果.
【详解】解：，
由题意知，所以，即.
所以.
（1）当时，，，
所以，，
所以在处的切线方程为，即.
（2）令，则.
设，则与的图象有三个交点.
，
所以当变化时，，的变化情况为




1


+
0
-
0
+

增函数
极大值
减函数
极小值
增函数

所以，.
又当时，；当时，，
所以，即.
所以的取值范围是.
(3) 由（2）可知在上递减，在上递增，，
要使恒成立，则，即
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.
26. 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
解　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)根据题意，知X的所有可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P




26.（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝e2x－aex＋bx，其中a，b∈R，e为自然对数的底数.
（1）若a＝4，试讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意a∈[1，＋∞），都存在x∈（0，1），使得f（x）<0恒成立，求实数b的取值范围.
21.解：（1）当a＝4时，f ′（x）＝2e2x－4ex＋b＝2（ex－1）2＋b－2.
①当b≥2时，f′（x）≥0，故f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增； ………1分
②当0 当x∈（－∞，ln（1－））时，f ′（x）>0；当x∈（ln（1－），
ln（1＋））时，f′（x）<0，
当x∈（ln（1＋），＋∞）时，f′（x）>0.
故f（x）的单调递增区间为（－∞，ln（1－））和（ln（1＋），＋∞），单调递减区间为（ln（1－），ln（1＋））.…………………3分
③当b≤0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln（1＋），
当x∈（－∞，ln（1＋）时，f′（x）<0，当x∈（ln（1＋），＋∞）时，f′（x）>0，
故f（x）的单调递增区间为（ln（1＋），＋∞），
单调递减区间为（－∞，ln（1＋））. ………………………………5分
（2）设f（x）＝e2x－aex＋bx＝g（a），可知g（a）在[1，＋∞）上单调递减，所以
g（a）≤g（1）＝e2x－ex＋bx，
所以对任意a∈[1，＋∞），都存在x∈（0，1），使得f（x）<0成立，等价于存在x∈（0，1），使得e2x－ex＋bx<0……………………………………………………7分
设h（x）＝e2x－ex＋bx，x∈（0，1），所以h′（x）＝2e2x－ex＋b，
设p（x）＝2e2x－ex＋b，当x∈（0，1）时，ex>1，故p′（x）＝4e2x－ex＝ex（4ex－1）>0.
所以p（x）在（0，1）上单调递增，即h′（x）在（0，1）上单调递增.
所以h′（x）∈（b＋1，b＋2e2－e）. ………………………………………………8分
①当b＋1≥0，即b≥－1时，h′（x）>0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，
h（x）>h（0）＝0，所以不存在x∈（0，1），使得e2x－ex＋bx<0.不合题意. …9分
②当b＋2e2－e≤0，即b≤e－2e2时，h′（x）<0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，
h（x） ③当e－2e2 综上可得，实数b的取值范围为（－∞，－1）.………………………………12分