2021唐山曹妃甸一中高二下学期期中考试数学试卷含答案

2020—2021学年度高二年级第二学期期中考试

数学试卷

试卷考试范围：选修2-1、2-2、2-3  考试时间：120分钟   总分：150分

第I卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1. 复数等于

A.  B.  C. i D.

2. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为

A.  B.  C.  D.

3. 设曲线在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为

A.  B.  C.  D.

4. 当用反证法证明“已知a，b，c均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0”时，正确的假设是     

A. a，b，c均小于0 B. a，b，c均不大于0
C. a，b，c中至多有一个不大于0 D. a，b，c中至多有一个小于0

5. 用分析法证明不等式：欲证，只需证，这里是的

A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件
C. 充分条件 D. 必要条件

6. 函数的导函数的图象如图所示，则

A. 是的极小值点
B. 是的极小值点
C. 是的极小值点
D. 函数在上单调递增

7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为   

A.  B.  C.  D. 1

8. 方程表示的曲线是   

A. 一个椭圆和一条直线 B. 一个椭圆和一条射线
C. 一个椭圆 D. 一条直线

二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部答对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。）

9. 若复数z满足其中i是虚数单位，则

A. z的实部是2 B. z的虚部是2i C.  D.

10. 已知曲线E的方程为，则下列选项正确的是

A. 当时，E一定是椭圆 B. 当时，E是双曲线
C. 当时，E是圆 D. 当且时，E是直线

11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是

A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为

12. 为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求：

甲：我不选太极拳和足球；               乙：我不选太极拳和游泳；

丙：我的要求和乙一样；                 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳．

已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么不选击剑的是   

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每题5分）

13. 空间向量，，如果，则          ．
14. 用数学归纳法证明“”时，由时等式成立推证时，左边应增加的项为__________ ．
15. 已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，的面积为，则该双曲线的离心率为________．
16. 将正整数排成如图：
    
    试问2020是表中第      行的第      个数．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. （10分）已知复数，，i为虚数单位．

若复数对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；

若，求z的共轭复数．
 

18. （12分）一个口袋装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．

求恰好摸4次停止的概率．

记4次之内含4次摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．
 

19. （12分）已知数列的前n项和为，满足，且．

求，；

猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

20. （12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．

求证：

求AC与PD所成角的余弦值．
 

21. （12分）已知函数，．
    讨论的单调性；
    当有最大值，且最大值大于时，求实数a的取值范围．
     
22. （12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上运动，面积的最大值为，且当时，．

求椭圆C的方程；

延长直线与椭圆C交于点B，若，求的值．

2020—2021学年度高二年级第二学期期中考试

数学试卷答案和解析

【答案】

1. A 2. A 3. B 4. B 5. D 6. C 7. B
8. D 9. CD 10. BCD 11. ABD 12. ABD 

13. 3  

14.   

15.   

16.   

17. 解：，，
复数．
由题意可得，，
解得 ．
，
．  

18. 解：记“恰好摸到4次停止”为事件A，

则．

的所有可能取值为0，1，2，3，则

，

，

，

，

的分布列为

19. 解  ，  又，则，  类似地，求得．

由，，，，  猜想 
用数学归纳法证明如下：  当时，由可知猜想成立． 
假设当N且时猜想成立，  即 
当时，，
  ， 
 ，，
，  

当时猜想也成立．  由可知，猜想对任意N都成立．的通项公式为．

20. 证明：结合图形，知，，

则，

所以，
即．

解：设，

由于，，

则，

故，，

故，，

故，．

则AC与PD所成角的余弦值为．

21. 解：的定义域为，．
若，则，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由知当时，在上无最大值，不符合题意．
当时，在处取得最大值，
最大值为，
所以，即．
令，则在上单调递增，且，
于是，当时，，当时，，所以．
综上，实数a的取值范围为．  

22. 解：依题意，，；

由可得，，即；

由可得，，

将代入中，整理可得，，即，

即；

因为，故，则，

故椭圆C的方程为；

由得，设，，

若直线AB的斜率为零，易知，；

若直线AB的斜率不为零，可设AB的方程为，

联立得方程组，消去x并整理得，

，

，，

．

．

，则，

综上所述，．

【解析】

1. 【分析】本题考查了导数的四则运算，根据运算法则进行解答．
【解答】解：原式．

2. 【分析】
本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右顶点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
根据双曲线方程，算出它的右顶点为，也是抛物线的焦点，由此设出抛物线方程为，，结合抛物线焦点坐标的公式，可得，从而得出该抛物线的标准方程．
【解答】
解：由双曲线方程，可知其焦点在x轴上，
由，得，
该双曲线右顶点的坐标是，
即抛物线的焦点为，
设抛物线的标准方程为，
由，得，
故所求抛物线的标准方程为．
故选A．

3. 【分析】
本题考查导数的概念与几何意义，属基础题．
设点，根据导数的定义利用极限的方法求得在M处的切线的斜率关于的表达式，结合已知求得的值，代入函数解析式得到M纵坐标．
【解答】
解：设点，，
 
，
令，，则．
故选B．

4. 【分析】

本题考查了反证法的证明方法，属于基础题．根据反证法的证明方法解答即可．

【解答】

解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，
原命题的结论为a，b，c中至少有一个大于0，
则应假设a，b，c均不大于0，

故选B．

5. 【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断的相关知识，试题难度较易
【解答】解：因为，但不一定推出．
故选D．

6. 【试题解析】
【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值的相关知识，试题难度容易
【解答】解：由图象得，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点．

7. 【分析】
本题主要考查对立事件和相互独立事件的概率，属于基础题．
先求出他们都不能译出的概率，用1减去此值，即得该密码被破译的概率． 
【解答】
解：他们不能译出的概率分别为，， 
则他们都不能译出的概率为，
故该密码被破译的概率是，
故选B．

8. 【分析】
本题考查曲线与方程的应用，属于基础题．
由题意可化为或而不成立，由此可以得到只能，即可得到答案．
【解答】
解：由题意
可化为或
不成立，
，
方程表示的曲线是一条直线．
故选D．

9. 【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数以及复数的模，属于基础题．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．

【解答】

解：，
所以z的实部为1，虚部为2．
，．
故A，B错误，C，D均正确．
故选CD．

10. 【分析】
本题考查椭圆与双曲线的方程及圆的方程，同时考查 直线的方程，考查分类讨论的数学思想，利用椭圆，双曲线，圆的标准方程和直线的方程，逐一分析即可得答案．

【解答】
解：若，，此时变为，不表示椭圆，所以A错误

对于B，若，则可化为，表示双曲线，所以B正确

对于C，若，方程变为，表示圆，所以C正确

对于D，因为且，所以，或，，
若，，此时变为，表示直线；

若，，变为，表示直线，所以D正确．
故选BCD．

11. 【分析】
本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．
根据题意利用分步乘法原理、分类加法原理及排列组合，依次判断可得答案．
【解答】
解：对于若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；
对于物理和化学至少选一门，分两类，第一类：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，有种选法，第二类：物理和化学都选有种方法，其余两门从剩余的5门中选1门，有种选法，由分类乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；
对于若物理和历史不能同时选，选法总数为种；故C正确；
对于若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，故D错误．
故选：ABD．

12. 【分析】
本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．
先阅读题意，再结合简单的合情推理列图表可得解．
【解答】
在下图中用表示该门课程被选择，用表示该门课程没有被选择，每行每列只有一个．

按表格中的推导顺序可得其中丁的选择决定了乙的选择．
故选ABD

13. 【分析】

本题考查空间向量的垂直的判断，向量的数量积的坐标运算，向量的模，属基础题．
根据先求出m的值，再代入即可计算．

【解答】

解：向量， ，且，
，
，解得，
，
．
故答案为3．

14. 【分析】
本题主要考查数学归纳法，只需分别写出和时等式左边的内容，即可求出结果，属于基础题．
【解答】
解：时，等式左边为：，
时，等式左边为：，
所以左边应增加的项为，
故答案为．

15. 【分析】
本题考查双曲线的性质，考查转化思想与方程思想，求得P的坐标是关键，属于中档题．
依题意，可求得过与一条渐近线垂直的直线与的交点P的坐标，利用的面积为，得，进而即可求得此双曲线的离心率．

【解答】
解：设过右焦点与一条渐近线垂直的直线为l，则l的方程为：，
由得：，，即，
的面积为，
，
  ，
 ．
故答案为：．

16. 解：由题意得第n行有个数，
，
，
是表中第11行的第997个数．
故答案为：11，997．
由题意得第n行有个数，由此利用等比数列的前n项和公式能求出结果．
本题考查表中数字的位置的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

17. 本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应点的位置，共轭复数的求法，考查计算能力．
化简复数为的形式，求出对应点，利用点在第四象限，得到不等式组，即可求实数a的取值范围；
化简复数，为的形式，然后求出它的共轭复数．

18. 【分析】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，属于基础题．
由条件可得每次摸出白球的概率为，摸出红球的概率为，解题的关键是确定前3次摸到红球两次，第四次一定是红球；
先确定X的所有可能取值，再分别求出对应的概率，即可得到分布列．

19. 略

20. 本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量证明直线垂直，属于中档题．
由可得
设，再求得，由求夹角公式可得答案．

21. 本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、等价转化方法、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
对a分类讨论即可得出单调性．
由知，当时，在无最大值，不满足题意，当时，在时取得最大值，最大值为．
因此等价于，令，利用的单调性即可得出答案．

22. 本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，是中档题．
依题意，，，再结合，联立可得a和b，可得椭圆方程；
若直线AB的斜率为零，可得的值．若直线AB的斜率不为零，可设AB的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及弦长公式得出，再得出，又，则，可得的值．