2021湖北省新高考联考协作体高二下学期期末考试数学试题含答案

2021年湖北省新高考联考协作体高二下学期期末考试

高二数学试卷

考试时间：2021年7月2日    下午15：00-17：00    试卷满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上．

2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答案卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

l．若为实数，其中为虚数单位，则实数的值为（      ）

A．2                  B．                 C．                   D．

2．已知函数的定义域为集合，函数的值域为，则（      ）

A．                 B．              C．               D．

3．函数在其定义域上的图象大致为（      ）

A                   B                    C                 D

4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一：学生乙说：我不是第一；学生两说：甲第一：学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（      ）

A．甲                 B．乙                   C．丙                   D．丁

5．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表．则根据列联表可知（      ）

A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系

D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系

参考公式：独立性检验统计量，其中．

下面的临界值表供参考：

6．某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学共有（      ）种不同的方法．

A．30                 B．48                   C．120                  D．60

7，已知函数．若，且，则的最小值是（      ）

A．2                  B．                 C．            D．

8．设，分别为双曲线的左、右焦点，圆F，与双曲线的渐近线相切，过与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为（      ）

A．                B．                  C．                  D．1

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．下列命题正确的有（      ）

A．若随机变量服从正态分布，，则．

B．若随机变量服从二项分布：，则．

C．若相关指数的值越趋近于0，表示回归模型的拟合效果越好

D．若相关系数的绝对值越接近于1，表示相关性越强．

10．下列选项中，关于的不等式有实数解的充分不必要条件的有（      ）

A．              B．       C．                D．

11．已知函数，则下列说法正确的是（      ）

A．函数是偶函数                          B．函数是奇函数

C．函数在上为增函数               D．函数的值域为

12．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心）的外接球，，

，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（      ）

A．                 B．                 C．                  D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．的展开式中的常数项为______________．

14．若点是抛物线上一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为______________．

15．已知，，是正数，且，则，，的大小关系为_______________（用“”联结）．

16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线：的性质，其形美观常用于超轻材料的设计．曲线围成的图形的面积______________2（选填“”、“”或“”），曲线上的动点到原点的距离的取值范围是______________．（第一空2分，第二空3分）

四、解答题（本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

求函数在区间上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）

为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内的27个气象观测站中各随机选择气象数据样本一份，对样本中的PM2.5和的含量进行了检测，并按照国家大气污染评价等级标准（优、良、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图。

（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的观测站中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的观测中分别抽取的个数；

的观测中分别抽取的个数；

（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3，从（1）中抽取的6个观测站中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，．

（1）若，求二面角的正弦值；

（2）若平面平面，求的长．

20．（本小题满分12分）

某新建工厂落成后，开工后的前5个月的利润情况如下表所示：

设第个月的利润为万元．

（1）根据表中数据，求关于的回归方程：（注：，的值要求保留小数点后两位有效数字）

（2）根据已知数据求得回归方程后，为验证该方程的可靠性，可用一个新数据加以验证，方法如下：先计算新数据对应的残差，再计算，若，则说明该方程是可靠的，否则说明不可靠．现已知该厂第6个月的利润为120万元，试判断（1）中求得的回归方程是否可靠，说明你的理由．

参考数据：，取．

回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

21．（本小题满分12分）

已知点，直线：，动点满足到点的距离与到直线的距离之比为．

（1）求动点的轨迹的方程．

（2）经过点的直线与曲线交于，两点，直线、的斜率分别为，，为定值，求证：．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若在上是减函数，求实数的取值范围：

（2）当，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

2021年湖北省新高考联考协作体高二下学期期末考试

数学参考答案

1．B

解析：，要使原式是实数，则，，选B．

2．C

解析：因为，所以，又，故，选C．

3．D

解析：首先判断出该函数是奇函数，排除AB选项，当时，，选D．

4．C

解析：显然丙丁有一个错误，倘若丙正确，则与甲矛盾，故丁错误．故选C．

5．A

解析：，有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关，故选A．

6．D

解析：．故选D．

7．C

解析：设，则．又，且，则．则有，所以，所以．

令，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的最小值为．故选C．

8．C

解析：根据题意作图，由算两次可知，，所以，，故选C．

9．ABD

解析：ABD．解析：相关指数的值越大，表示回归模型的拟合效果越好．故选ABD，

10．AC

解析：时必有解，当时，或，故选AC．

11．AD

解析：，所以函数是偶函数，B错误；

，故C错．故选AD．

12．BCD

12．解析：其中是球心，为等边三角形的中心，

可得：，．

设球的半径为，在三角形中，，即，得，故最大的截面面积为．

在中，，，由余弦定理得．

在中，．设过且垂直于的截面圆的半径为

，故最小的截面面积为．所以选BCD．

13．240

解析：

令得，

所以．

14．4

解析：等于点到抛物线准线的距离，所以的最小值为点到抛物线准线的距离4．

15．

解析：设，所以在上单调递减，则，∴，

设，则，，．

∴，即．故．

16．   

解析：①星形线如图红线所示，当时，；当时，，所以星形线顶点坐标分别为，，，，连接这四个点，构成一个正方形，如图黑色线所示，正方形面积为，星形线面积小于正方形面积，所以．

②当动点运动至曲线顶点时，到原点距离最大，最大值为1，

将换为，换为，可知曲线方程不变，即曲线关于直线对称，

所以当动点运动至如图点横纵坐标相等时，到原点的距离最小，

将代入方程中，解得，此时动点与原点的距离为，故取值范围为．故答案为，．

17．解：依题意，，

令，得或，2分

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

又，，，．

所以，．

18．解：（1）轻度污染以上的观测站共个，所以抽样比为：，

所以从轻度污染的观测站中抽取个，中度污染的观测站抽取个，

重度污染的观测站抽取个．4分

（2）的所有可能取值为3，4，5，6，7，，，

，，，

∴的分布列为：

∴．

19．解：

（1）因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面．所以，．又．

所以，以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系．

则，，，，

则，．

设平面的一个法向量为，则，．

所以，即，不妨取，则，

所以．又，，，

所以，．所以，，又，

所以为平面的一个法向量．所以．

所以二面角的正弦值为．6分

（2）设，则．

，，，，

设平面BCE的一个法向量为n=（a，b，C），则n⊥，n⊥．

所以，即，不妨令，则，所以．

设平面的一个法向量为，则由，，得，

不妨取，则，得．因为平面平面，

所以，即，得，即．

20．解：

（1）设，则，，

则，

所以，

故关于的回归方程．

（2）由（1）知，当时，，

因为，所以（1）中求得的方程可靠．

21．解：

（1）设，根据题意，得．

整理得．

所以动点的轨迹的方程为．

（2）设，，设直线AB：，代入椭圆方程可得：．所以，．

故．

又均不为，故即为定值．

22．解：

（1）由题意得，

因为在上是减函数，则，所以在恒成立，

所以．

（2）当时，．

对任意的，恒成立，

即恒成立，亦即恒成立6分

因为，所以，易知在上单调递增，

且在上，所以，即对任意的恒成立8分

令，则，

当时，；当时，，则在上单调递减，

在上单调递增，所以，

所以，显然，故实数的取值范围是．