2021南昌八一中学高二下学期期末考试数学理科试题含答案

2020~2021学年度第二学期南昌市八一中学高二理科数学期末考试试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）

1．已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

2．正方体的内切球和外接球的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

3．有名男生、名女生排成一排，女生相邻且不排在两端的不同排法有 （    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

4．下列说法正确的是（    ）

A．两个变量的相关关系一定是线性相关

B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于0

C．在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，当变量x每增加1个单位时，预测变量平均增加1个单位

D．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大

5．疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（    ）

(四舍五入保留整数)参考数据：，，.

A．15 B．16 C．31 D．32

6．已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（   ）

A． B． C． D．

7．已知，则 （    ）

A． B． C． D．

8．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择物化生组合的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（    ） 

 A．            B．            C．            D．

10．已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么的值为

A． B． C． D．                （   ）

11．如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（    ）

A．0 B． C． D．

12．如图，在棱长为1的正方体中，､､分别为线段､､的中点，下述四个结论：

①直线､､共点；

②直线､为异面直线；

③四面体的体积为；

④线段上存在一点使得直线平面.

其中所有正确结论的序号为（    ）

A．①④ B．①② C．①③      D．①②③

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．已知向量，满足，向量，夹角为，且，则向量________．

14．设随机变量ξ 服从二项分布，则函数存在零点的概率是________.

15．已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则___________.

16．下列说法正确的是______________

① 方程（，其中为复数集）无解；

②若彼此相互独立，则；

③已知点，且为原点，则向量在向量上的投影的数量为；

④通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，可知过点；

⑤通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积.

18．（12分）随着我国人民生活条件持续改善，国民身体素质明显增强，人均预期寿命不断延长，2019年我国人均预期寿命达到77岁.居民人均寿命提升､健康状况改善，使得群众生产生活中驾车出行需求持续增长，呼吁进一步放宽学驾年龄，进一步方便就近体检.2020年10月22日，公安部新闻发布会上宣布，取消申请小型汽车､小型自动挡汽车､轻便摩托车驾驶证70周岁的年龄上限.为了了解70岁以上人群对考取小型汽车驾照新规的态度，某研究单位对某市的一个大型社区中70岁以上人员进行了随机走访调研，在48名男性人员中有36人持“积极响应”态度､12人持“不积极响应”态度，在24名女性人员中持“积极响应”态度和“持不积极响应态度”的各有12人.

（1）完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关？

（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为X，求X的分布列和数学期望E(X).

附：，.

19．（12分）如图1，在平行四边形中，＝60°，，，，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起如图2所示，连接，，．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的正弦值．

20．（12分）2020年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为，现在对他们的成绩进行量化：

级记为2分，级记为1分，级记为0分，用表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标的值评定该同学的得分等级：若，则得分等级为一级；若，则得分等级为二级；若，则得分等级为三级，得到如下结果：

（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；

（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为，从得分等级不是一级的同学中任取一人，

其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.

21．（12分）已知函数的一个极值点是．

（1）当时，求b的值，并求的单调增区间；

（2）设，若，使得成立，求实数a的范围．

22．（12分）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆相交于不同的两点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由.

高二理科数学期末参考答案

1. A    2．A   3．D   4．D    5．B   6．B 

 7．D    8．D   9．B   10．A   11．C  12．D

13．   14．  15．2  16．②③⑤

17．【详解】

解：（1）由题意得：，消去，∴

∴的极坐标方程为：，，

由得：

∴即：

∴的直角坐标方程为：........................................................................(5分）

（2）由得：，

由得：，∴，

................................................(10分）

18．【详解】

解：（1）完成列联表，得：

∴.

∴有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关................................(6分）

（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为，

则的可能取值为0，1，2，

，，，

∴的分布列为：

数学期望....................................................(12分）

19．【详解】

证明：（1）取的中点，连接，，，

∵在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，

∴，，为正三角形，

则，，又∵，

∴平面，

∵平面

∴；.................................................................................(6分）

（2）∵，，，，分别为，的中点，

∴，，，

若，

则，

则三角形为直角三角形，

则，

以O为原点，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

则，

则，，，

设平面的法向量为，

则，即

令，则，，则，

设平面的法向量为，则，

令，则，，即，

则

∴二面角的正弦值是．..................................................(12分）

20．【解析】

（1）设事件为“从10名同学中随机抽取两人，他们的英语得分相同”.

英语得分为1的有

英语得分为2的有

从10名同学中随机抽取两人的所有可能结果数为，英语得分相同的所有可能结果数为，

所以英语得分相同的概率..................................................(4分）

（2）计算10名同学的综合指标，可得下表：

其中综合指标是一级的有，共7名，

综合指标不是一级的有共3名.

随机变量的所有可能取值为：1,2,3,4,5.

，

，

所以的分布列为：

所以................................................(12分）

21．【详解】

（1）当时，，................................................................(2分）.

的一个极值点是，则，即，

解得   .......................................................................................................(4分）

此时由解得，

所以，的单调增区间为；....................................................(6分）

（2），是极值点，

则，解得且，

因为，因此由知在单调递增，在单调递减，

，

则由题可得，解得，....................................................(12分）

22．【详解】

（1）由题意可得，点，代入椭圆方程，可得，又，

解得，，则椭圆的方程为，

即；..........................................................................................(4分）

（2）在轴上存在点，，使是与无关的常数．

证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数，

将直线的方程，代入椭圆方程，

得；

设，，，，，

则，，..........................................................(6分）

由，，，，

可得

，

，

设常数为，则，

整理得对任意的恒成立，

即有，解得，.

即在轴上存在点，，使是与无关的常数．......................(12分）