2021二中高一下学期期中考试数学试题含答案

吉林二中2020-2021学年度下学期期中考试

高一数学试卷 

第Ⅰ卷

说明：1、本试卷分第I试卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分；

2、满分150分，考试时间 120分钟。

一、单选题（共8题，每题5分，共40分）

1．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为(   )

A． B． C．1 D．

2．已知向量，满足，，则向量，的夹角为(   )

A． B． C． D．

3．如图，在平行四边形中，E是的中点，，则=（    ）

A．        B．

C．           D．

4. 若一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的倍（    ）

A. 2 B. 4              C. 6 D. 8

5．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（    ）

A．   B．   C．   D．

6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(   )

A．，，，   B．，， 

C．， D．，

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(   )

A. 14斛                  B. 22斛

C. 36斛                  D. 66斛

8．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若，，，且，则球O的表面积为（    ）

A．48π B． C．12π D．

二、多选题（共4题，每题5分，共20分，全对得5分，漏选得2 分，错选得0分）

9．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么（    ）

A．z的虚部为 B．z的虚部为1

C．z＝－－i D．z＝＋i

10．下列说法中正确的是（    ）

A．                 B． 若非零向量且，则

C．若且，则     D．若，则有且只有一个实数，使得

11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．的面积为6

12．如图，在长方体中，，，M、N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．A、M、N、B四点共面    B．平面平面

C．与BN所成角    D．平面ADM

第II卷

三、填空题（共4题，每题5分，共计20分）

13．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高_____m．

14．正方体中，异面直线与所成角的大小为________．

15．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长___________.

16．已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①_____；②若，则_______.

四、解答题（共6题，17题10分，18-22每题12分，共计70分）

17．已知复数

（1）若z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值.

18．已知是同一平面内的三个向量，其中．

（1）若，且，求；

（2）若，且与垂直，求实数的值．

19． 中，．

（1）求；  （2）若，求周长的最大值．

20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，                   （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.

（1）求证：EF∥平面PBC；

（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．

22．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，为线段中点，， 分别是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面.

吉林二中2020-2021学年度下学期期中考试

高一数学   答案  分值：150

一、单选题（共8题，每题5分，共40分）

ACCD   ADBC

二、多选题（共4题，每题5分，共20分，全对得5分，漏选得2 分，错选得0分）

9.BD     10.AB     11.ABD     12.BC

三、填空题（共4题，每题5分，共计20分）

13 .30              14. 1或2  

15.               16. 3；

四、解答题（共6题，17题10分，18-22每题12分，共计70分）

17. 解：（1）为纯虚数，

且

（2）在复平面内的对应点为

由题意：，．

即实数的取值范围是．

而，

当时，．

18解（1）因为，，

所以，，，

所以．

（2）因为，，所以，．

因为与垂直，所以，

即，．

19【解析】（1）由正弦定理可得：，，

，．

（2）由余弦定理得：，

即．（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为．

20【解析】选择条件①的解析：

由可得：，不妨设，

则：，即．

据此可得：，，此时．

选择条件②的解析：由可得：，不妨设，

则：，即．

据此可得：，则：，此时：，则：．

选择条件③的解析：由可得：，不妨设，

则：，即．

据此可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．

21证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：

∵F是PD的中点，

∴FG∥CD，且，

又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，

∴BE∥CD，且，

∴BE∥FG，且BE＝FG，

∴四边形BEFG是平行四边形，

∴EF∥BG，

又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，

∴EF∥平面PBC；

（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，

∵底面ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，

又∵PB＝PD，O是BD中点，

∴BD⊥PO，

又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

∵BD⊂平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC.

22【详解】（1）分别是线段的中点，

所以，又为正方形，，

所以，

又平面，所以平面.

因为分别是线段的中点，所以，

又平面，所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（2）连接，

由于，所以为平面四边形，

由平面，得，

又，，所以平面，

所以，

又三角形为等腰直角三角形，为斜边中点，所以，

因为，平面.，所以平面.

备选22．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积.

(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，             

又∵平面，平面，∴平面；     

(2)证明：∵，为的中点，∴，                       

又∵平面平面，平面平面，

且平面，∴平面，又平面，

∴平面平面；                                           

(3)解：在等腰直角三角形中，，

∴，，∴等边三角形的面积，           

又∵平面，∴三棱锥的体积，

∴.