2021重庆市缙云教育联盟高一下学期期末数学试题含答案

这是一份2021重庆市缙云教育联盟高一下学期期末数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了07等内容，欢迎下载使用。
★秘密·启封前重庆市2020-2021学年（下）年度质量检测高一数学 【命题单位：重庆缙云教育联盟】 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在没每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题不正确的是   A. ，则
B. 若，则
C. 若A，B，C成等差数列，则
D. 若，则2.已知复数z满足，则  A. 1 B.  C. 2 D. 3.在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为    A.  B.  C.  D. 4.下列说法正确的有
回归直线一定过样本点中心；
我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；
若一组数据，，的方差为5，则另一组数据，，的方差为6；
把六进制数转换成十进制数为：．A.  B.  C.  D. 5.北碚区在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为    A.  B.  C.  D. 6.设的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则的最小值为A. 4 B.  C. 3 D. 7.已知正实数满足，若恒成立，则正整数m的最大值是A. 1 B. 2 C. 3 D. 48.已知a为正常数，，若存在，满足，则实数a的取值范围是A.  B.  C.  D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9.若直线与函数，且的图象有两个公共点，则a的取值可以是    A.  B.  C.  D. 210.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是A.
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于点成中心对称
D. 函数的一个单调递减区间为11.已知分别是三角形ABC三内角A，B，C的对边，且满足则下列说法正确的是    A.  B.
C. 的面积最大值为 D. 的面积最大值为12.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是　　A. E为PA的中点
B. PB与CD所成的角为
C. 平面PAC
D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知复数满足为虚数单位，则一个以z为根的实系数一元二次方程为__________________．14.在四边形ABCD中，，，，，，，则对角线BD的长为______ ．15.小明计划7月中旬去重庆参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为、，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为则小明能准时到达的概率为______；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为______结果保留两位小数16.欲将一底面半径为，体积为的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为______ ．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知集合，．
若，求实数m的值；
若，求实数m的取值范围．    18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．求B；若，求的值．
   19.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足，，，设，．用，表示，；若，，求角A的值．   20.如图，在直三棱柱中，已知，．
求四棱锥的体积；
求二面角的大小．
      21.2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”．
如表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额单位：万元年份20142015201620172018线下销售额90170210280340为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度．某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种，其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人．
从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；
请根据以上信息列出列联表，并判断能否有的把握认为支持程度与年龄有关．
附：，其中
参考数据：     22.已知定义域为R的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点．求的表达式；若对任意的不等式恒成立，求实数a的取值范围；若方程恰有2个互异的实数根，求实数a的取值集合．
     ★秘密·考试结束前重庆市2020-2021学年（下）年度质量检测高一数学答案及评分标准 【命题单位：重庆缙云教育联盟】  1.【答案】B
 【解析】【分析】
本题考查命题的真假、正弦定理，二倍角，等差数列性质及其应用，属基础题．
对选项逐一判断即可．
【解答】
解：A．，故A正确．
B.若，则，或，即得或，故B错误．
C.若A，B，C成等差数列，则，则故C正确．
D.若，则，则，故D正确．
故选B．
2.【答案】D
 【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题．
根据复数的四则运算可求得z，即可求得．
【解答】
解：因为，所以，
则．
故选D．
3.【答案】B
 【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查利用空间向量求异面直线的夹角，考查运算求解能力，是中档题．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与AC所成角的余弦值．
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则0，，1，，0，，2，，
1，，2，，
设异面直线DE与AC所成角为，
则．
异面直线DE与AC所成角的余弦值为．
故选B．

4.【答案】A
 【解析】解：对于，回归直线一定过样本点中心，故正确；
对于，我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人．为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取50人，故错误；
对于，若一组数据，，的方差为5，则另一组数据，，的方差为5，故错误；
对于，把六进制数转换成十进制数为：，故正确．
故选：A．
直接利用回归直线的方程，分层抽样，平均数和方差的关系，十进制和六进制的转换判断的结论．
本题考查的知识要点：回归直线的方程，分层抽样，平均数和方差的关系，十进制和六进制的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】D
 【解析】解：某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．
一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，
基本事件总数，
其中恰好有两袋垃圾投对包含的基本事件个数种
则恰好有一袋垃圾投对的概率为．
故选：D．
先求得基本事件总数，再求得其中恰好有两袋垃圾投对包含的基本事件个数，由此能求出恰好有两袋垃圾投对的概率．
本题考查概率的求法，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
6.【答案】C
 【解析】【分析】
本题考查余弦定理和基本不等式，属于中档题，
把代入，整理得：，运用基本不等式即可求得最小值．
【解答】
解：因为，
由余弦定理可得
整理得：
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C．
7.【答案】B
 【解析】【分析】
本题考查对数运算，基本不等式求最值，属于中档题．
先求出，进而得到，再利用基本不等式求，即可解决．
【解答】
解因为正实数a，b满足，故，
所以，
故化为，
又因为，当且仅当，等号成立，
故，即，
所以正整数m的最大值是2．
故选B．
8.【答案】D
 【解析】【分析】
本题考查了函数的对称性判断，三角恒等变换，属于较难题．
判断函数的单调性和对称性，根据对称性得出结合的范围得出a的范围．
【解答】
解：，
在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
，
，
同理：当时，上式也成立，
的图象关于直线对称，
，
，即
，，
，即．
故选D．
9.【答案】AB
 【解析】【分析】本题考查指数函数的变换，形如的图象的作法：先做出的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方．
的图象由的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分和两种情况分别作图．
【解答】
解：的图象由的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分和两种情况分别作图．
如图所示：
当时不合题意；时，需要，即所以a的取值可以是，
故选：AB．
10.【答案】BD
 【解析】【分析】本题考查了三角函数图象平移变换以及函数的性质的应用，属于基础题．
先由三角函数的图象变换求出的值，即可判断A选项错误，求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐项判断B，C，D即可．【解答】解：的图象向右平移个单位长度后得到
，
，
，即，故A不正确；
，
B.的最小正周期 ，故B正确；
C.令，，得，
即的对称中心为，故C不正确；
D.令，，
解得，
函数的递减区间为，
当时，函数的递减区间为，故D正确；
故选BD．
11.【答案】BC
 【解析】【分析】
此题考查了余弦定理、面积公式和基本不等式的应用，属中档题．
利用余弦定理化已知得到，利用基本不等式得，再利用面积公式即可求面积的最大值．
【解答】
解：，
，
，
为三角形内角，
；
，
当且仅当时取等号，
所以，
的面积最大值为，
故选BC．
12.【答案】ACD
 【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查了直线与平面所成角，棱锥体积的求法，线面垂直的判定，以及线面平行的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面平面，推导出，由四边形ABCD是正方形，从而，进而；在B中，由，得或其补角为PB与CD所成角，推导出，从而PB与CD所成角为；在C中，推导出，，由此能证明平面PAC；在D中，设，则，由此能求出三棱锥与四棱锥的体积之比等于1：4．【解答】
解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面平面，平面BDE，平面PAC，，四边形ABCD是正方形，，，故A正确；在B中，，或其补角为PB与CD所成角，平面ABCD，平面ABCD，，在中，，，与CD所成角为，故B错误；在C中，四边形ABCD为正方形，，平面ABCD，平面ABCD，，，PA、平面PAC，
平面PAC，故C正确；在D中，设，则，．：：4，故D正确． 故选：ACD．
13.【答案】
 【解析】【分析】本题考查复数的乘除运算，考查复数的模长运算，考查实系数一元二次方程的根与系数的关系，属于中档题．
根据条件可得，然后得到由实系数一元二次方程的两根，，即可得结果．
【解答】
解：复数满足
 ，
即，
故．
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根，
，
所求的一个一元二次方程可以是．
14.【答案】
 【解析】解：在四边形ABCD中，，，，，，，
即内角和为，A，B，C，D四点共圆，
则，
，
设的外接圆半径为R，则，
，，
故BD为圆的直径，
所以．
故答案为：．
直接利用余弦定理和正弦定理的性质，求出结果．
本题考查正弦定理、余弦定理和四点共圆的性质，考查转化思想，属于中档题．
15.【答案】；
 【解析】【分析】
本题主要考查了互斥事件与对立事件的概率、独立事件同时发生的概率及条件概率，属于中档题．
准时到达包含两种情况，分别求得相应的概率相加即可求解，根据条件概率求得准时到达的前提下小明乘火车去的概率即可．
【解答】
解：因为天气预报显示天晴的概率为，则不天晴的概率为，
所以当天小明坐飞机准时到达的概率为，
当天小明乘火车准时到达的概率为，
由于小明坐飞机去与乘火车去是互斥事件，所以小明能准时到达的概率为
；
因为小明乘火车准时到达的概率为，小明准时到达的概率为，
由条件概率知：小明是乘火车准时到达的概率为．
故答案为：；．
16.【答案】
 【解析】解：如下轴截面图所示：

设球的半径为r，圆锥的高为h，由圆锥的底面半径为3cm，
所以，解得．
则，为等边三角形，
故可得，，，
，，
圆锥体与球体体积之和为：，
则，
令，解得
时，，时，，
时，，
故答案为：．
本题通过实际问题转化为数学的内切圆柱以及内切球的模型，画出其切面图，列出相关体积与内切球半径的函数关系式通过求导得出结果．
此题根据轴截面图，求出球体与圆柱的体积之和，利用导数求出函数的最大值，是解题的关键，属于难题．
17.【答案】解：，；
；
；
；
，或；
；
或；
或；
的取值范围为．
 【解析】可求出，，根据即可得出，解出m即可；
可求出，或，根据即可得出或，解出m的范围即可．
考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义．
18.【答案】解：由正弦定理知，，
，
，，因为；
，，．
 【解析】本题考查正弦定理解三角形，两角和的正弦公式．
利用正弦定理，将边化角，即可得出cosB，即可求角B；
利用同角三角函数关系式可求出sinA，利用两角和的正弦公式计算即可求出，即可求sinC．
19.【答案】解：因为
，
若，则，
即
，
即，所以，

，
即
所以，则，
又因为，所以．
 【解析】本题主要考查向量的向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积，向量垂直的判断，属于基础题．
根据题意得到，即可；
，则，得到，进而得到即可．
20.【答案】解：因为，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高．
四棱锥的体积为
如图图略，建立空间直角坐标系．
则0，，2，，0，，
0，，2，，
设AC的中点为M，，，
平面，
即1，是平面的一个法向量．
设平面的一个法向量是y，，2，，0，
，，
令，解得，．1，，
设法向量与的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角．
，．
二面角的大小为
 【解析】证明，说明是四棱锥的高，然后求解四棱锥的体积．
建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出1，是平面的一个法向量．平面的一个法向量利用向量的数量积求解二面角的大小．
本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
21.【答案】解：分别记“2014年、2015年、2016年、2017年、2018年”为“a，b，c，d，e”
从以上5年中任选2年，其基本事件为：
共10个；
其中销售额均超过200万元的有：共3个；
故所求的概率为；
根据题意，整理数据得如下列联表； 年轻市民老年市民合计支持151025很支持253055合计404080计算，
所以没有的把握认为支持程度与年龄有关．
 【解析】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．
用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；
根据列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．
22.【答案】解：由题意，设，因为过点，可得，解得，即，所以，又因为为奇函数，可得，即，解得，经检验，符合，所以．由函数，可得在R上单调递减，又因为为奇函数，所以，所以，即，又因为对任意的，不等式恒成立，令，即对任意的恒成立，可得，即，解得，所以实数a的取值范围为
由于为奇函数，所以由，可得，                            又因为在R上递减，即，显然，所以，令，则，又由当时，，当且仅当时，即时等号成立；当时，，当且仅当时，即时等号成立，方程有2个互异实数根，画出的图象，如图所示，
 原方程有2个互异实数根，则函数与有两个交点，由图可得，实数a的取值集合为或．
 【解析】本题考查了函数解析式的求法，函数的奇偶性，基本不等式求最值，不等式恒成立和方程有解问题，考查了转化思想和数形结合思想，属于难题．
设，根据为指数函数且的图象过点，求出a，再由为奇函数求出n，从而得到的表达式；
由不等式恒成立，根据条件可得恒成立，然后构造二次函数，由对任意的恒成立建立不等式组，求出a的范围；
由条件可得，然后令，则，再画出函数的图象，根据图象结合条件得到a的范围．