2021-2022学年山东省济宁市梁山县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济宁市梁山县八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

2. 已知菱形的对角线、的长分别为、，则此菱形的面积为

A.  B.  C.  D.

3. 函数的自变量的取值范围是

A.  B.  C.  D. 且

4. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是

A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是正方形
C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是矩形

5. 如图，正方形的边长为，将正方形沿直线翻折，则图中折成的个阴影三角形的周长之和是

A.
B.
C.
D. 以上都不正确

6. 按如图所示的运算程序，若输入数字“”，则输出的结果是

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、、三点均在正方形格点上，则的大小是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，已知，且，，，则，两点间的距离是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，平行四边形和正方形，其中，点在边上若，，则的大小是

A.
B.
C.
D.

10. 九章算术内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐引木却行一尺，其木至地问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上问木杆长多少尺？”说明：丈尺
    设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是

A.
B.
C.
D.

12. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 若，则等于______．
14. 已知，，则 ______ ．
15. 如图，借助边长为的正方形，可以准确地将表示在数轴上，若在数轴上以点为圆心，边长为的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点，与数轴的左交点为点，若点表示的数是，则点表示的数为______．
     
16. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______．

17. 如图，是一个封闭的勾股水箱，其中，，部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知，，，开始时刚好盛满水，而，无水．
    如图摆放时，水面刚好经过的中心正方形两条对角线的交点，则中有水部分的面积为______．

18. 如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，连接，作，得到四边形，它的周长记作，照此规律作下去，则等于______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

19. 已知，，求的值．
20. 如图，四边形是平行四边形，、分别为边、的中点，连结、、．
    求证：；
    若，证明：四边形是菱形．
21. 如图，已知中，点，点在上，垂直平分交于点，垂直平分交于点，，．
    判断的形状，并说明理由；
    求的周长．

22. 观察下列等式：
    ；
    ；
    ；，回答下列问题：
    利用你观察到的规律，化简：______．
    ______为正整数．
    利用上面所揭示的规律计算：．
23. 如图，在一棵大树的高的处有两只猴子，它们同时发现地面上的点处有一根香蕉，一只猴子从点处上爬到树顶点处，利用拉在点处的滑绳，滑到点处，另一只猴子从点处滑到地面点处，再由点跑到点，已知两只猴子所经过的路程都是，那么这棵树有多高？
    
     

24. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，求的最小值．

25. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
    求证：；
    当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．

26. 如图，在中，，，，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作于点．
     

Ⅰ试用含的式子表示、、的长；

Ⅱ如图，连接，求证：四边形是平行四边形；

Ⅲ如图，连接，当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B.，因此不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；
C.，因此不是最简二次根式，所以选项C不符合题意；
D.，因此不是最简二次根式，所以选项D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确解答的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：菱形的对角线长的长度分别为、，
菱形的面积．
故选B．
根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形的面积．
本题考查了菱形对角线互相平分的性质，本题中菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：．
本题中，根号内的数大于等于零，分式中，分母不等于零，因此题目中要想使式子有意义，只要有且，就可以求出的范围．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

4.【答案】

【解析】解：、四边形是平行四边形，
当时，它是菱形，故本选项正确；
B、四边形是平行四边形，
当时，它是平行四边形，故本选项错误；
C、四边形是平行四边形，
当时，它是菱形，故本选项正确；
D、四边形是平行四边形，
当时，它是矩形，故本选项正确．
故选B．
由四边形是平行四边形，根据菱形与矩形的判定定理，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了菱形与矩形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：由翻折变换可知，，，，
阴影部分的周长为，
阴影部分的周长为正方形的周长，
又正方形的边长为，
正方形的周长为，
即阴影部分的周长为，
故选：．
根据翻折变换的性质可知，，，进而将阴影部分的周长转化为正方形的周长，即可得到结论．
本题考查翻折变换，正方形的性质，掌握翻折变换的性质，正方形的周长与面积的计算方法是得出答案的前提．
 

6.【答案】

【解析】解：由题意得：
，


，
若输入数字“”，则输出的结果是，
故选：．
根据题意可得，然后再计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
是直角三角形，
．
故选：．
根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案．
本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么熟记勾股定理的内容是解题得关键．
 

8.【答案】

【解析】解：过点作交的延长线于点，
则，，
由勾股定理得，，
故选：．
过点作交的延长线于点，根据题意求出、，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据正方形的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出，再根据平行四边形的性质得出即可．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理等知识点，注意：正方形的四个角都是直角，平行四边形的对角相等．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端离墙的距离即的长有尺，
在中，
，
，
故选：．
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．连接 、 ，根据正方形的性质求出 、 ，并判断出 是直角三角形，再利用勾股定理列式求出 ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解．
【解答】
解：如图，连接 、 ，

在正方形 和正方形 中， ， ，
，
所以， ，
所以， 是直角三角形，
由勾股定理得， ，
是 的中点，
．
故选 B ．   

12.【答案】

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
以此类推：，，是直角三角形，，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得到，，再根据勾股定理即可解答．
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
原式

，
故答案为：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

14.【答案】

【解析】解：，，
，，


．
故答案为：．
由题意可知：，，由此把代数式因式分解，进一步代入求得答案即可．
此题考查二次根式的化简求值，注意代数式的特点，先分解因式再代入求得数值即可．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，

正方形的边长为，
圆的半径为，
即，，
点表示的数是，
故答案为：．
利用勾股定理列式求出半径，再根据数轴上的数左边的数比右边的数小表示出即可．
本题考查了实数与数轴，利用勾股定理求出是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：作于，交于．

则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，

，
，
故答案为：．
由矩形的性质可证明，即可求解．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
 

17.【答案】

【解析】解：，，，
，
Ⅲ部分的面积是，
水面刚好经过Ⅲ的中心，
Ⅲ部分的水为整个正方形面积的一半，
即Ⅲ部分的有水部分的面积为，
Ⅱ中有水部分的面积为，
故答案为：．
由勾股定理求出，根据已知条件得到Ⅲ部分的水为整个正方形面积的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面积为，于是得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：点，分别为，边的中点，
，，，
，
，
四边形为菱形，
四边形的周长，
同理：四边形的周长记作，

，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，进而证明四边形为菱形，求出菱形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、菱形的判定定理，图形的变化规律，根据三角形中位线定理总结出规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，
，




．

【解析】由题意可得，，再把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
且，
，分别为边、上的中点，
，，且，
且，
四边形是平行四边形，
；
证明：为边的中点，
，
，
为直角三角形
，
由得，四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．

【解析】根据平行四边形的性质可得，，，根据平行四边形的性质即可得到结论；
首先利用平行四边形的性质证明，，可得四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，进而可得，从而可证明四边形是菱形．
此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：为直角三角形．
是的垂直平分线，
，
．
是的垂直平分线，
，
．
，
，
，
，
为直角三角形；

在中，
，
，
，，
，
，
的周长．

【解析】根据线段垂直平分线的性质得出，，再由得出，故，由此可得出结论；
由知是直角三角形，再根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：原式；
故答案为：；
原式；
故答案为：；
原式
．
把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设树高，则，，
由勾股定理，得．
解之得．
答：树高为．

【解析】直接用设出的未知数表示出两条线段、；根据勾股定理列出方程，解方程后即可确定的值．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度中等．
 

24.【答案】解：连接，如图所示：
，，，
，
，，
四边形是矩形，
，与互相平分，
是的中点，
为的中点，
，
时，最短，同样也最短，
当时，，
最短时，，
当最短时，．
即的最小值为．

【解析】根据矩形的性质就可以得出，互相平分，且，根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可．
此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键，属于中考常考题型．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是菱形，理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形．

【解析】先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
 

26.【答案】解：Ⅰ由题意得，，，
则，
，，
；
Ⅱ，，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
Ⅲ当时，四边形是矩形，
理由如下：，，，
，，
，
时，四边形是平行四边形，即，
解得，，
，
四边形是矩形，
时，四边形是矩形．

【解析】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．
Ⅰ根据题意用含的式子表示、，结合图形表示出，根据直角三角形的性质表示出；
Ⅱ根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
Ⅲ根据矩形的判定列出方程，解方程即可．