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第5讲复数的四则运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）
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这是一份第5讲复数的四则运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版），共31页。试卷主要包含了复数与的和的定义，复数与的差的定义，交换律，结合律，乘法运算规则，乘法运算律，复数除法定义等内容，欢迎下载使用。
第5讲复数的四则运算(核心考点讲与练)
1.复数与的和的定义：
2.复数与的差的定义：
3.交换律：
4.结合律：
5.乘法运算规则：设， (、、、)是任意两个复数，那么它们的积。其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
6.乘法运算律：
1）
2）
3）
7.复数除法定义：满足的复数()叫复数除以复数的商，记为：或者．
考点一：复数的加、减运算及其几何意义
例1．（2021·全国·高一课时练习）如果，那么复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接计算得到答案.
【详解】
，故.
故选：A.
例2．（2021·全国·高一课时练习）设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（ ）
A．1+ B．2+
C．3 D．
【答案】D
【分析】
由已知可得(2+a)+(b+1)=0，即可求，写出复数a＋b即可.
【详解】
因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0，
所以于是
故.
故选：D.
例3．（2022·全国·高一）若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
设,由是实数和，互为共轭复数得到的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，不妨设
若是实数，则
故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
例4．（2021·山东济宁·高一期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A． B．是纯虚数
C．若，则 D．若，则的最大值为2
【答案】AD
【分析】
利用复数的运算法则判断A的正误；复数的解法判断复数是实数，判断B；利用复数的模的运算法则判断C；利用复数模的几何意义判断D．
【详解】
解：因为复数与其共轭复数为的实部相等，虚部互为相反数，所以，A正确；
当为实数时，也为实数，则是实数，B错误；
若，则，C错误；
若，设，即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确，
故选：AD．
例5．（2021·浙江·高一期中）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．点位于第二象 B． C． D．
【答案】BC
【分析】
由题意画出图形，求出的坐标，得到，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解：如图，
由题意，，，，
为平行四边形，则，
，点位于虚轴上，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故错误．
故选：．
例6．（2021·全国·高一课前预习）设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么（ ）
A．z的虚部为 B．z的虚部为1
C．z＝－－i D．z＝＋i
【答案】BD
【分析】
设复数，、，由复数相等列方程求出的值即可．
【详解】
解：设复数，、，
由，得，
即；
所以，所以，所以
即的虚部为1．
故选：．
例7．（2022·全国·高一）______.
【答案】##
【分析】
直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.
【详解】
解：.
故答案为：.
例8．（2022·全国·高一）已知为复数，且，则的最大值为____________.
【答案】
【分析】
由题意，设，得到，则，利用复数的模的几何意义，即可得解.
【详解】
由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：
例9．（2021·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】
（1）根据复数的加法与减法的运算，准确运算，即可求解；
（2）根据复数的加法与减法的运算，准确运算，即可求解；
（3）根据虚数单位的运算法则，准确运算，即可求解.
(1)解：由复数的运算法则，可得.
(2)解：由复数的运算法则，可得.
(3)由的运算规律及方法，可得.
例10．（2022·全国·高一）已知向量对应的复数为，若点对应的复数为，求点对应的复数．
【答案】
【分析】
设点对应的复数为，利用复数的几何意义可以及复数相等可求得实数、的值，即可得解.
【详解】
设点对应的复数为，
则向量对应的复数为，
所以，解得，
因此，点对应的复数为.
例11．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
(1)；
(2)．
【分析】
（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为
（2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为．
(1)设复数对应的向量为．
图1
设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为
(2)设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为．
图2
例12．（2022·全国·高一）已知复数在复平面内所对应的点为A
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围
【答案】(1)-6 (2)
【分析】
（1）先求得，根据其为纯虚数，可得，即可求得m值.
（2）先求得点A在复平面内坐标，根据其在第二象限，可得，即可求得m的范围.
(1)由题意得，
因为为纯虚数，
所以，解得.
(2)复数z在平面内所对应的点为，
因为点A在第二象限，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为
例13．（2021·全国·高一课时练习）求证：若复数，则z为纯虚数的充要条件是.
【分析】
分别证明充分性和必要性，设，，则，带入计算得到证明；设，不同时为0，则，得到，得到证明.
【详解】
必要性：设，，则，；
充分性：设，不同时为0，则，，
故，故，，即为纯虚数.
综上所述：z为纯虚数的充要条件是.
例14．（2022·全国·高一）根据复数加法的几何意义，证明：．
【分析】
设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,分复数，有一个为0，或者均为0，向量，不是零向量且共线以及向量，不是零向量且不共线三种情况分类讨论即可证出结论.
【详解】
设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,
若复数，有一个为0，或者均为0，不等式显然成立；
若向量，不是零向量且共线时，显然成立，
不等式左侧在两向量共线反向时等号成立，不等式右侧在两向量共线同向时等号成立；
若向量，不是零向量且不共线时，如图：
由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得成立.
综上：.
考点二：复数的乘、除运算
例1．（2022·全国·高一）若．设，则（ ）
A．2i B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
根据求出，结合复数的乘法运算即可.
【详解】
由，得，
所以.
故选：B
例2．（2022·全国·高一）设复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由，得，．
故选：D．
例3．（2022·全国·高一）已知为虚数单位，复数，则的模为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
利用复数的除法运算求出复数，再用复数模的定义计算作答.
【详解】
依题意，，则，
所以的模为.
故选：D
例4．（2022·全国·高一）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
根据复数相等的定义得解.
【详解】
，，
，，，
故选：AD.
例5．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z=1+2i(i为虚数单位)，则下列结论错误的是（ ）
A．|z|= B．z2≥0
C．|z-|=2 D．z·=5
【答案】ABC
【分析】
利用复数模的计算，共轭复数的概念及复数四则运算，即可得到答案；
【详解】
对,,故不正确;
对,,不能和0比较大小,故不正确;
对C中,,故不正确;
对中,，故D正确；
故选：ABC
例6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）设有下面四个命题：
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则.
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据复数的定义以及复数的分类，对命题的真假进行逐一判断即可.
【详解】
设，，
对于，若，即，则,
当，时，，故为假命题.
对于，若，则，即，则，故为真命题.
对于，若，则，即，，则，故为真命题.
对于，若，即，
则，不能推出，故不一定属于，故为假命题.
故选：BC.
例7．（2021·湖北·大冶市第一中学高一阶段练习）下列命题中正确的有（ ）
A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；
C．若复数满足，则； D．若复数，则．
【答案】AD
【分析】
根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.
【详解】
对于A中，设复数，
可得，
因为，可得，所以，所以A正确；
对于B中，取，可得，所以B不正确；
对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；
对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.
故选：AD
例8．（2021·全国·高一单元测试）复数的值等于______.
【答案】
【分析】
根据复数的运算直接化简即可.
【详解】
由，
故，
故答案为：.
例9．（2022·全国·高一）已知复数（i为虚数单位），则的虚部为______．
【答案】12
【分析】
先求出，然后可得其虚部，得到答案.
【详解】
由复数，则
所以的虚部为12
故答案为：12
例10．（2021·全国·高一课时练习）若是实系数一元二次方程的一个根，则______．
【答案】
【分析】
将代入方程可得，即可求出.
【详解】
因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以，即，
整理得，
所以，解得，则.
故答案为：.
例11．（2021·全国·高一单元测试）已知复数，，那么的共轭复数为______.
【答案】##
【分析】
应用复数的加法及共轭复数的概念，即可得的共轭复数.
【详解】
，
∴的共轭复数为.
故答案为：
例12．（2021·全国·高一课时练习）计算：．
【答案】
【分析】
利用复数的除法可得结果.
【详解】
.
例13．（2021·湖北·高一期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
(1)求的值；
(2)记复数，求复数的模．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）由题知，即，再根据复数相等求解即可；
（2）由（1）得，故，再求模即可.
(1)解：知是关于的方程的一个根，
所以，即，
所以，解得.
所以
(2)解：由（1）得复数，
所以
所以复数的模为
例14．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.
(1)
(2)
(3)∵
∴
∴
例15．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
【答案】(1) (2)，
【分析】
（1）第一步求出复数复数z的实部与虚部，可以设，所以，代入求解
（2）由（1）可知代入可以利用对应系数相等求的的值.
(1)
，
(2)
由，得解得，
故答案为：；，.
例16．（2021·全国·高一单元测试）计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1)1＋7i(2)1－34i(3)－1(4)5＋i
【分析】
应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
(1).
(2).
(3).
(4).
例17．（2021·江苏省运河中学高一期中）已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合.
【答案】.
【分析】
设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1），代入原方程化简，实部和虚部都等于0，解方程组即可求得.
【详解】
设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1）.
将原方程改为（a+bi）x2+2（a-bi）x+2=0，分离实部与虚部后等价于：
…… ①
…… ②
若b=0，则a2=1，但当a=1时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①、②，故z=-1满足条件.
若b≠0，则由②知x∈{0，2}，但显然x=0不满足①，故只能是x=2，代入①解得，进而，相应有
综上，满足条件的所有复数构成的集合为.
例18．（2021·全国·高一课时练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作α=z1,z2．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量α=z1,z2，β=z1',z2'的数量积定义为一个复数，记作，满足α⋅β=z1z1'+z2z2'，复向量的模定义为α=α⋅α．
（1）设α=1-i,i()，，求复向量，的模；
（2）设、是两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：α⋅β≤αβ；
（3）当α⋅β=αβ时，称复向量与平行.设α=1+i,2-i()、β=i,zz∈C，若复向量与平行，求复数的值．
【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
(1)根据题意，直接求解即可；
(2)根据题意，结合三角不等式，即可求解；
(3)根据题意，结合(2)中等号成立的条件，即可求解.
【详解】
(1)，所以，
，所以；
(2)，，所以，
根据复数的三角不等式 ，
由，得，
所以，
综上所述，；
(3)考虑(2)中的等号成立条件：对于复数的三角不等式而言，复向量各分量均不为零时，
其等号成立条件是存在在非负实数使得，即，
另一方面，根据的等号成立条件，
应有，
即，结合，知，
即，也即．
例19．（2021·全国·高一专题练习）求证：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【解析】
（1）设，分别计算即可得到两式相等；
（2）设，分别计算即可得证；
（3）设，，分别计算即可得证；
（4）设，，分别计算即可得证.
【详解】
证明：对于（1）（2），设，则.
（1），
.
（2）.
对于（3）（4），设，，则，.
（3），
，∴.
（4）∵，
∴，
又，
∴.
【点睛】
此题考查复数的运算，涉及共轭复数概念，复数模长计算，乘法、除法、乘方运算.
一、单选题
1．（2021·全国·高一单元测试）在复平面内，向量对应的复数的共轭复数是，则向量对应的复数是（ ）
A． B． C． D．i
【答案】B
【分析】
由已知对应的共轭复数，直接写出对应的复数即可.
【详解】
由共轭复数的概念知：对应的复数为.
故选：B
2．（2022·全国·高一）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意根据复数的几何意义得到，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.
【详解】
解：由题知，，则，所以，
故选：D．
3．（2022·全国·高一）在复平面内，若复数z对应的点为（1，1），则（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】
首先由坐标确定复数z，并化简，最后求出模长
【详解】
由已知复数z对应的点为（1，1），则,
因此,所以
故选：B.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解．
【详解】
因为为纯虚数，
所以，．
故选：B．
5．（2021·全国·高一课时练习）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用复数的除法运算法则化简复数，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线对称的点，得到复数，最后利用复数的乘法运算法则即可求得．
【详解】
因为，所以复数在复平面内对应的点为，
其关于直线对称的点为，所以，
所以，
故选：C．
6．（2021·全国·高一课时练习）方程在复数集内解的个数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，再根据复数的运算及复数的模，解方程.
【详解】
令，则，
得
当时，，或；
当时，，或（舍）.
综上共有6个解：，，，
故选；C.
7．（2021·全国·高一单元测试）复数的平方是一个实数的充要条件是（ ）.
A．且 B．且
C． D．
【答案】D
【分析】
利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】
因为为实数，
所以，
反之，当时，复数的平方是一个实数，
所以复数的平方是一个实数的充要条件是，
故选：D
8．（2021·全国·高一单元测试）在复数集中，一个数的平方恰好是这个数的共轭复数，具有这种特性的数共有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
利用复数相等的条件求解即可
【详解】
设复数，则由题意可得
，
所以，
所以，解得，或，或，或，
所以具有这种特性的数共有4个，
故选：D
9．（2022·全国·高一）设复数，满足，，则的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
设，，其中a，b，c，d都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得，从而可得选项.
【详解】
解：设，，其中a，b，c，d都是实数，
所以①，②.
又，所以，
所以③，④.
由①+②-③×2，得，所以，.
所以，由①知，故.
故选：B.
二、多选题
10．（2021·全国·高一课时练习）对任意复数为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
写出共轭复数，然后计算判断各选项．
【详解】
由已知，
因此，，．
故选：BC．
11．（2021·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共扼复数为，则（ ）
A． B．的实部是2
C．的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABD
【分析】
首先根据计算出，再计算出其共扼复数为即可.
【详解】
由
所以
对于A答案，故A对.
对于B答案的实部是2，故B对.
对于C答案的虚部为，故C错误.
对于答案复平面内对应的点为在第一象限，故D对.
故选：ABD
12．（2021·江苏省郑集高级中学高一阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．是第三象限的点
【答案】BC
【分析】
利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
，，
所以，复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
共轭复数为，故C正确；
复数在复平面对应的点在第四象限，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．（2022·全国·高一）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则__________．
【答案】2
【分析】
由已知求得,进一步求得.
【详解】
由题意可知,.
所以
故答案为:2.
14．（2021·全国·高一课时练习）______.
【答案】1
【分析】
根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.
【详解】
根据复数的运算规则知，
故答案为：1.
15．（2021·全国·高一课时练习）______.
【答案】##
【分析】
根据复数的运算规则计算.
【详解】
根据复数的运算规则得，
故答案为：.
16．（2021·全国·高一课时练习）______.
【答案】##
【分析】
根据复数的除法运算即可得出答案.
【详解】
解：.
故答案为：.
17．（2021·全国·高一单元测试）设是虚数单位，若复数是实数，则a的值为______．
【答案】2
【分析】
根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可.
【详解】
复数
因为原复数是实数，故得到
故答案为：2
18．（2021·全国·高一单元测试）若复数z满足：，则______.
【答案】
【分析】
设，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得求a、b，写出复数.
【详解】
设，原式化为，则解得
∴.
故答案为：
19．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|
【分析】
根据|z1|
因为|z1|
故答案为：.
四、解答题
20．（2021·全国·高一课时练习）计算：i2 019＋(＋i)8－50＋.
【答案】256－i
【分析】
根据复数的运算规则化简计算即可.
【详解】
原式＝i4×504＋3＋[2(1＋i)2]4－＋
＝i3＋(4i)4－＋i
＝－i＋256＋＋i
＝256＋
＝256－i.
21．（2021·全国·高一课时练习）计算i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
【答案】1010＋1011i
【分析】
根据的概念和运算规则化简计算即可得出答案.
【详解】
原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.
22．（2021·全国·高一课时练习）1.计算：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】
（1）分子分母同乘；（2）分子分母同乘；（3）先化简，再分子分母同乘；（4）先化简与，再分子分母同乘
(1)
(2)
(3)
(4)
23．（2021·全国·高一课时练习）设实数x､y满足，求x､y的值.
【答案】，
【分析】
根据复数乘法的运算性质，结合复数相等的性质进行求解即可.
【详解】
，
所以，.
24．（2021·全国·高一课时练习）1.计算：
【答案】－2i
【分析】
根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.
【详解】
.
25．（2021·上海·高一单元测试）已知复数满足，且，求负实数的值.
【答案】
【解析】
设，代入，得到：
求解a，即得解.
【详解】
设.因为，所以
，
则
当时，，由，解得；
当时，则或，因为，所以此时无解.
综上所述，.
【点睛】
本题考查了复数的三角形式及四则运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.
第5讲复数的四则运算(核心考点讲与练)
1.复数与的和的定义：
2.复数与的差的定义：
3.交换律：
4.结合律：
5.乘法运算规则：设， (、、、)是任意两个复数，那么它们的积。其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
6.乘法运算律：
1）
2）
3）
7.复数除法定义：满足的复数()叫复数除以复数的商，记为：或者．
考点一：复数的加、减运算及其几何意义
例1．（2021·全国·高一课时练习）如果，那么复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接计算得到答案.
【详解】
，故.
故选：A.
例2．（2021·全国·高一课时练习）设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（ ）
A．1+ B．2+
C．3 D．
【答案】D
【分析】
由已知可得(2+a)+(b+1)=0，即可求，写出复数a＋b即可.
【详解】
因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0，
所以于是
故.
故选：D.
例3．（2022·全国·高一）若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
设,由是实数和，互为共轭复数得到的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，不妨设
若是实数，则
故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
例4．（2021·山东济宁·高一期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A． B．是纯虚数
C．若，则 D．若，则的最大值为2
【答案】AD
【分析】
利用复数的运算法则判断A的正误；复数的解法判断复数是实数，判断B；利用复数的模的运算法则判断C；利用复数模的几何意义判断D．
【详解】
解：因为复数与其共轭复数为的实部相等，虚部互为相反数，所以，A正确；
当为实数时，也为实数，则是实数，B错误；
若，则，C错误；
若，设，即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确，
故选：AD．
例5．（2021·浙江·高一期中）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．点位于第二象 B． C． D．
【答案】BC
【分析】
由题意画出图形，求出的坐标，得到，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解：如图，
由题意，，，，
为平行四边形，则，
，点位于虚轴上，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故错误．
故选：．
例6．（2021·全国·高一课前预习）设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么（ ）
A．z的虚部为 B．z的虚部为1
C．z＝－－i D．z＝＋i
【答案】BD
【分析】
设复数，、，由复数相等列方程求出的值即可．
【详解】
解：设复数，、，
由，得，
即；
所以，所以，所以
即的虚部为1．
故选：．
例7．（2022·全国·高一）______.
【答案】##
【分析】
直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.
【详解】
解：.
故答案为：.
例8．（2022·全国·高一）已知为复数，且，则的最大值为____________.
【答案】
【分析】
由题意，设，得到，则，利用复数的模的几何意义，即可得解.
【详解】
由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：
例9．（2021·全国·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】
（1）根据复数的加法与减法的运算，准确运算，即可求解；
（2）根据复数的加法与减法的运算，准确运算，即可求解；
（3）根据虚数单位的运算法则，准确运算，即可求解.
(1)解：由复数的运算法则，可得.
(2)解：由复数的运算法则，可得.
(3)由的运算规律及方法，可得.
例10．（2022·全国·高一）已知向量对应的复数为，若点对应的复数为，求点对应的复数．
【答案】
【分析】
设点对应的复数为，利用复数的几何意义可以及复数相等可求得实数、的值，即可得解.
【详解】
设点对应的复数为，
则向量对应的复数为，
所以，解得，
因此，点对应的复数为.
例11．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
(1)；
(2)．
【分析】
（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为
（2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为．
(1)设复数对应的向量为．
图1
设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为
(2)设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为．
图2
例12．（2022·全国·高一）已知复数在复平面内所对应的点为A
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围
【答案】(1)-6 (2)
【分析】
（1）先求得，根据其为纯虚数，可得，即可求得m值.
（2）先求得点A在复平面内坐标，根据其在第二象限，可得，即可求得m的范围.
(1)由题意得，
因为为纯虚数，
所以，解得.
(2)复数z在平面内所对应的点为，
因为点A在第二象限，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为
例13．（2021·全国·高一课时练习）求证：若复数，则z为纯虚数的充要条件是.
【分析】
分别证明充分性和必要性，设，，则，带入计算得到证明；设，不同时为0，则，得到，得到证明.
【详解】
必要性：设，，则，；
充分性：设，不同时为0，则，，
故，故，，即为纯虚数.
综上所述：z为纯虚数的充要条件是.
例14．（2022·全国·高一）根据复数加法的几何意义，证明：．
【分析】
设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,分复数，有一个为0，或者均为0，向量，不是零向量且共线以及向量，不是零向量且不共线三种情况分类讨论即可证出结论.
【详解】
设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,
若复数，有一个为0，或者均为0，不等式显然成立；
若向量，不是零向量且共线时，显然成立，
不等式左侧在两向量共线反向时等号成立，不等式右侧在两向量共线同向时等号成立；
若向量，不是零向量且不共线时，如图：
由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得成立.
综上：.
考点二：复数的乘、除运算
例1．（2022·全国·高一）若．设，则（ ）
A．2i B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
根据求出，结合复数的乘法运算即可.
【详解】
由，得，
所以.
故选：B
例2．（2022·全国·高一）设复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由，得，．
故选：D．
例3．（2022·全国·高一）已知为虚数单位，复数，则的模为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
利用复数的除法运算求出复数，再用复数模的定义计算作答.
【详解】
依题意，，则，
所以的模为.
故选：D
例4．（2022·全国·高一）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
根据复数相等的定义得解.
【详解】
，，
，，，
故选：AD.
例5．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z=1+2i(i为虚数单位)，则下列结论错误的是（ ）
A．|z|= B．z2≥0
C．|z-|=2 D．z·=5
【答案】ABC
【分析】
利用复数模的计算，共轭复数的概念及复数四则运算，即可得到答案；
【详解】
对,,故不正确;
对,,不能和0比较大小,故不正确;
对C中,,故不正确;
对中,，故D正确；
故选：ABC
例6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）设有下面四个命题：
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则.
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据复数的定义以及复数的分类，对命题的真假进行逐一判断即可.
【详解】
设，，
对于，若，即，则,
当，时，，故为假命题.
对于，若，则，即，则，故为真命题.
对于，若，则，即，，则，故为真命题.
对于，若，即，
则，不能推出，故不一定属于，故为假命题.
故选：BC.
例7．（2021·湖北·大冶市第一中学高一阶段练习）下列命题中正确的有（ ）
A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；
C．若复数满足，则； D．若复数，则．
【答案】AD
【分析】
根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.
【详解】
对于A中，设复数，
可得，
因为，可得，所以，所以A正确；
对于B中，取，可得，所以B不正确；
对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；
对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.
故选：AD
例8．（2021·全国·高一单元测试）复数的值等于______.
【答案】
【分析】
根据复数的运算直接化简即可.
【详解】
由，
故，
故答案为：.
例9．（2022·全国·高一）已知复数（i为虚数单位），则的虚部为______．
【答案】12
【分析】
先求出，然后可得其虚部，得到答案.
【详解】
由复数，则
所以的虚部为12
故答案为：12
例10．（2021·全国·高一课时练习）若是实系数一元二次方程的一个根，则______．
【答案】
【分析】
将代入方程可得，即可求出.
【详解】
因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以，即，
整理得，
所以，解得，则.
故答案为：.
例11．（2021·全国·高一单元测试）已知复数，，那么的共轭复数为______.
【答案】##
【分析】
应用复数的加法及共轭复数的概念，即可得的共轭复数.
【详解】
，
∴的共轭复数为.
故答案为：
例12．（2021·全国·高一课时练习）计算：．
【答案】
【分析】
利用复数的除法可得结果.
【详解】
.
例13．（2021·湖北·高一期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
(1)求的值；
(2)记复数，求复数的模．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）由题知，即，再根据复数相等求解即可；
（2）由（1）得，故，再求模即可.
(1)解：知是关于的方程的一个根，
所以，即，
所以，解得.
所以
(2)解：由（1）得复数，
所以
所以复数的模为
例14．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.
(1)
(2)
(3)∵
∴
∴
例15．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
【答案】(1) (2)，
【分析】
（1）第一步求出复数复数z的实部与虚部，可以设，所以，代入求解
（2）由（1）可知代入可以利用对应系数相等求的的值.
(1)
，
(2)
由，得解得，
故答案为：；，.
例16．（2021·全国·高一单元测试）计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1)1＋7i(2)1－34i(3)－1(4)5＋i
【分析】
应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
(1).
(2).
(3).
(4).
例17．（2021·江苏省运河中学高一期中）已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合.
【答案】.
【分析】
设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1），代入原方程化简，实部和虚部都等于0，解方程组即可求得.
【详解】
设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1）.
将原方程改为（a+bi）x2+2（a-bi）x+2=0，分离实部与虚部后等价于：
…… ①
…… ②
若b=0，则a2=1，但当a=1时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①、②，故z=-1满足条件.
若b≠0，则由②知x∈{0，2}，但显然x=0不满足①，故只能是x=2，代入①解得，进而，相应有
综上，满足条件的所有复数构成的集合为.
例18．（2021·全国·高一课时练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作α=z1,z2．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量α=z1,z2，β=z1',z2'的数量积定义为一个复数，记作，满足α⋅β=z1z1'+z2z2'，复向量的模定义为α=α⋅α．
（1）设α=1-i,i()，，求复向量，的模；
（2）设、是两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：α⋅β≤αβ；
（3）当α⋅β=αβ时，称复向量与平行.设α=1+i,2-i()、β=i,zz∈C，若复向量与平行，求复数的值．
【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
(1)根据题意，直接求解即可；
(2)根据题意，结合三角不等式，即可求解；
(3)根据题意，结合(2)中等号成立的条件，即可求解.
【详解】
(1)，所以，
，所以；
(2)，，所以，
根据复数的三角不等式 ，
由，得，
所以，
综上所述，；
(3)考虑(2)中的等号成立条件：对于复数的三角不等式而言，复向量各分量均不为零时，
其等号成立条件是存在在非负实数使得，即，
另一方面，根据的等号成立条件，
应有，
即，结合，知，
即，也即．
例19．（2021·全国·高一专题练习）求证：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【解析】
（1）设，分别计算即可得到两式相等；
（2）设，分别计算即可得证；
（3）设，，分别计算即可得证；
（4）设，，分别计算即可得证.
【详解】
证明：对于（1）（2），设，则.
（1），
.
（2）.
对于（3）（4），设，，则，.
（3），
，∴.
（4）∵，
∴，
又，
∴.
【点睛】
此题考查复数的运算，涉及共轭复数概念，复数模长计算，乘法、除法、乘方运算.
一、单选题
1．（2021·全国·高一单元测试）在复平面内，向量对应的复数的共轭复数是，则向量对应的复数是（ ）
A． B． C． D．i
【答案】B
【分析】
由已知对应的共轭复数，直接写出对应的复数即可.
【详解】
由共轭复数的概念知：对应的复数为.
故选：B
2．（2022·全国·高一）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意根据复数的几何意义得到，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.
【详解】
解：由题知，，则，所以，
故选：D．
3．（2022·全国·高一）在复平面内，若复数z对应的点为（1，1），则（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】
首先由坐标确定复数z，并化简，最后求出模长
【详解】
由已知复数z对应的点为（1，1），则,
因此,所以
故选：B.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解．
【详解】
因为为纯虚数，
所以，．
故选：B．
5．（2021·全国·高一课时练习）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用复数的除法运算法则化简复数，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线对称的点，得到复数，最后利用复数的乘法运算法则即可求得．
【详解】
因为，所以复数在复平面内对应的点为，
其关于直线对称的点为，所以，
所以，
故选：C．
6．（2021·全国·高一课时练习）方程在复数集内解的个数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，再根据复数的运算及复数的模，解方程.
【详解】
令，则，
得
当时，，或；
当时，，或（舍）.
综上共有6个解：，，，
故选；C.
7．（2021·全国·高一单元测试）复数的平方是一个实数的充要条件是（ ）.
A．且 B．且
C． D．
【答案】D
【分析】
利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】
因为为实数，
所以，
反之，当时，复数的平方是一个实数，
所以复数的平方是一个实数的充要条件是，
故选：D
8．（2021·全国·高一单元测试）在复数集中，一个数的平方恰好是这个数的共轭复数，具有这种特性的数共有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
利用复数相等的条件求解即可
【详解】
设复数，则由题意可得
，
所以，
所以，解得，或，或，或，
所以具有这种特性的数共有4个，
故选：D
9．（2022·全国·高一）设复数，满足，，则的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
设，，其中a，b，c，d都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得，从而可得选项.
【详解】
解：设，，其中a，b，c，d都是实数，
所以①，②.
又，所以，
所以③，④.
由①+②-③×2，得，所以，.
所以，由①知，故.
故选：B.
二、多选题
10．（2021·全国·高一课时练习）对任意复数为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
写出共轭复数，然后计算判断各选项．
【详解】
由已知，
因此，，．
故选：BC．
11．（2021·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共扼复数为，则（ ）
A． B．的实部是2
C．的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABD
【分析】
首先根据计算出，再计算出其共扼复数为即可.
【详解】
由
所以
对于A答案，故A对.
对于B答案的实部是2，故B对.
对于C答案的虚部为，故C错误.
对于答案复平面内对应的点为在第一象限，故D对.
故选：ABD
12．（2021·江苏省郑集高级中学高一阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．是第三象限的点
【答案】BC
【分析】
利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
，，
所以，复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
共轭复数为，故C正确；
复数在复平面对应的点在第四象限，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．（2022·全国·高一）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则__________．
【答案】2
【分析】
由已知求得,进一步求得.
【详解】
由题意可知,.
所以
故答案为:2.
14．（2021·全国·高一课时练习）______.
【答案】1
【分析】
根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.
【详解】
根据复数的运算规则知，
故答案为：1.
15．（2021·全国·高一课时练习）______.
【答案】##
【分析】
根据复数的运算规则计算.
【详解】
根据复数的运算规则得，
故答案为：.
16．（2021·全国·高一课时练习）______.
【答案】##
【分析】
根据复数的除法运算即可得出答案.
【详解】
解：.
故答案为：.
17．（2021·全国·高一单元测试）设是虚数单位，若复数是实数，则a的值为______．
【答案】2
【分析】
根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可.
【详解】
复数
因为原复数是实数，故得到
故答案为：2
18．（2021·全国·高一单元测试）若复数z满足：，则______.
【答案】
【分析】
设，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得求a、b，写出复数.
【详解】
设，原式化为，则解得
∴.
故答案为：
19．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|
【分析】
根据|z1|
因为|z1|
故答案为：.
四、解答题
20．（2021·全国·高一课时练习）计算：i2 019＋(＋i)8－50＋.
【答案】256－i
【分析】
根据复数的运算规则化简计算即可.
【详解】
原式＝i4×504＋3＋[2(1＋i)2]4－＋
＝i3＋(4i)4－＋i
＝－i＋256＋＋i
＝256＋
＝256－i.
21．（2021·全国·高一课时练习）计算i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
【答案】1010＋1011i
【分析】
根据的概念和运算规则化简计算即可得出答案.
【详解】
原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.
22．（2021·全国·高一课时练习）1.计算：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】
（1）分子分母同乘；（2）分子分母同乘；（3）先化简，再分子分母同乘；（4）先化简与，再分子分母同乘
(1)
(2)
(3)
(4)
23．（2021·全国·高一课时练习）设实数x､y满足，求x､y的值.
【答案】，
【分析】
根据复数乘法的运算性质，结合复数相等的性质进行求解即可.
【详解】
，
所以，.
24．（2021·全国·高一课时练习）1.计算：
【答案】－2i
【分析】
根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.
【详解】
.
25．（2021·上海·高一单元测试）已知复数满足，且，求负实数的值.
【答案】
【解析】
设，代入，得到：
求解a，即得解.
【详解】
设.因为，所以
，
则
当时，，由，解得；
当时，则或，因为，所以此时无解.
综上所述，.
【点睛】
本题考查了复数的三角形式及四则运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.
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