第3讲 平面向量的应用(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）

这是一份第3讲 平面向量的应用(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版），共32页。试卷主要包含了正弦定理， 余弦定理，1N）等内容，欢迎下载使用。
第3讲 平面向量的应用(核心考点讲与练)

一.向量在平面几何中常见的应用
，
（1）求线段长度或证明线段相等，用向量的模长公式：，例如证明,只要证明或.
（2）证明直线或线段平行，用向量共线定理：
（3）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，使得或或,即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可.
（4）证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件：.
例如证明,只要证明.
（5）求夹角问题，利用夹角公式：cos＝＝．
二.向量在物理中的应用
（1）向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上.
（2）向量与速度，加速度及位移
速度，加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
（3）向量与功，动量
力做的功是力在物体前进的方向上的力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，，动量实际上是数乘向量.
三.正弦定理、余弦定理
1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：
（为的外接圆半径）
2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：

要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.
（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角.
(4) 利用余弦定理判断三角形形状：
①勾股定理是余弦定理的特殊情况，.
②在中，，所以为锐角；
若，，同理可得角、为锐角.
当，，都成立时，为锐角三角形．
③在中，若，
所以为钝角，则是钝角三角形．
同理：若，则是钝角三角形且为钝角；
若，则是钝角三角形且为钝角．
四.三角形面积公式
1．（表示边上的高）；
2．；
3．；
4．；
5.

考点一：向量在平面几何中常见的应用
例1．（2021·全国·高一课时练习）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设船的实际速度为，根据题意作图，设与南岸上游的夹角为，由题意可得的值，再计算的值即可.
【详解】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，
要使得游船正好到达处，则，即，
又因为，所以，
故选：D.

例2．（2021·全国·高一课时练习）设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点M是边BC的中点
C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D．若，则点M在边BC的延长线上
【答案】AB
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.
【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，

由AB⋅BC=BC⋅CA，得，
即，结合三角形性质易知，，
同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；
对于选项B，由，得，即，
因此点M是边BC的中点，故B正确；
对于选项C，如图当过点时，，

由，得，则直线经过的中点，
同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；
对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.
故选：AB.
例3．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.
【答案】
【分析】设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解.
【详解】设，，，，，，
则，，
整理得：，所以，
则，解得：，
所以，
故答案为：.
例4．（2021·全国·高一课时练习）点为内一点，，则的面积之比是___________.
【答案】
【分析】先将已知的向量关系式化为，设为中点，为中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出，从而可知三点共线，且，进而得出，，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比.
【详解】解：因为，所以，
设为中点，为中点，为三角形的中位线，则，
因为，
可得，所以三点共线，且，
则，，
分别设，
由图可知，，，
则，所以，而，所以，
所以，，
所以，
即的面积之比等于.
故答案为：.

例5．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东 ；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.

【答案】
【分析】如图建立平面直角坐标系，求出，，以及位移的坐标，进而可得合力的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算即可求解.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
由题意可得，，，位移，
所以，
所以合力所做的功为，

例6．（2021·全国·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1)，分别对该质点做的功；
(2)，的合力对该质点做的功.
【答案】(1)对该质点做的功为（），对该质点做的功（）；
(2)（）.
【分析】（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.
(1)根据题意，，，，
故对该质点做的功（）；
对该质点做的功（）.
(2)根据题意，，的合力，
故，的合力对该质点做的功（）.
例7．（2021·全国·高一课时练习）已知，，一动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为.另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设P，Q在时分别在，处，问当时，所需的时间t为多少？
【答案】
【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知，
，
两式相减得，，
由，，，得，
因为，所以，解得.
故当时，所需的时间t为.
例8．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，直角梯形ABCD，，，．

(1)设线段BC的中点为M且，求和的值；
(2)若点P在线段BC上且，求满足的实数t的值．
【答案】(1)(2)
【分析】利用向量坐标或者向量的基本定理即可.
(1)（法一）如下图所示，以A为原点，，方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，，，
，即
所以，

（法二）因为M为BC中点，所以
又因为且，
所以
因为，不共线，根据平面向量基本定理可知，
(2)（法一）如下图所示，，则
则
因为，所以
解得（舍）或，所以t值为.

（法二）如下图所示，以A为原点，，方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系

则，，，，设，则，
因为，则①
，，又，与共线
所以②
由①②解得或，
若则（舍），若则．
考点二：向量在物理中的应用
例1．（2021·全国·高一课时练习）已知，作用于同一质点，使其由原点移动到点，则合力对质点所做的功为___________.
【答案】60
【分析】先求合力，然后根据公式即可求出合力对质点做的功.
【详解】因为，，所以，
所以.
故答案为：.
例2．（2021·全国·高一课时练习）某人在静水中游泳时速度为4km/h，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进.
【答案】120
【分析】首先设表示人游泳的速度，表示水速，然后画出示意图，根据，可求出，从而可求出答案.
【详解】设表示人游泳的速度，表示水速，
由题意可知，若人能沿正北方向前进，则人游泳的速度与水速的合速度方向为正北，
因为，，所以，所以，
即此人必须沿与水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前进.

故答案为：.
例3．（2021·全国·高一课时练习）如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.

【答案】大小为，方向与相同
【分析】从点处进行受力分析，进而画出受力图，即可得出结果.
【详解】解：如图，在点处进行受力分析，由已知条件有，

根据平衡条件有，，
则，方向水平向右.
则边上点处的受力情况是大小为，方向与相同.
故答案为：大小为，方向与相同.
例4．（2021·全国·高一课时练习）如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F．

（1）如果，求F的大小；
（2）试研究：当时，随着的增大，F的变化趋势．
【答案】（1） N.（2）在逐渐变小.
【分析】由已知，根据物理学力的合成知，结合各问的条件求F的大小、变化趋势即可.
（1）由题设， N.
（2）由（1）知：，当上增大时，随之递减，
∴在逐渐变小.
例5．（2021·全国·高一课时练习）家有重物，爸､妈､孩三人合力拉拍，用力依次为，三个力的方向两两成角，大小依次为，，，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面.

（1）求物重；
（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角的余弦值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由已知得物重
（2）利用向量数量积公式直接计算即可.
（1）解：因为，所以，
所以
所以物重；
（2）设所求角为，则，
则孩子用力方向与坚直方向所成的较小角的余弦值为.
例6．（2021·全国·高一课时练习）如图，一个质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，两根绳子与铅垂线的夹角分别为30°和45°.求这两根绳子所承受的力和的大小（精确到0.1N）.（重力加速度）

【答案】N，N
【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0，竖直方向上分力之和与重力平衡，从而可求出答案.
【详解】易知的模为N，方向竖直向上.
设N，N，
则，，
解得，
所以N， N.
例7．（2021·全国·高一单元测试）三个力､和作用于同一质点，且N，N，N，若三个力的夹角都为120°，求合力的大小和方向.

【答案】合力的大小为N，方向与､分别成90°､30°的角
【分析】建立直角坐标系，运用正交分解法，先分解再合成，求解三个力的合力，从而即可求解.
【详解】建立如图所示的坐标系，采用正交分解法，将三个共点力
分别投影到坐标轴上，进行合成与分解，

则，
，
，
，
，
，
那么三个力的合力大小，
与轴的夹角为，
即方向与､分别成90°､30°的角
答：合力的大小为N，方向与､分别成90°､30°的角
例8．（2021·全国·高一课时练习）如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.

【答案】
【分析】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解.
【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，
由已知得，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有.
又，，，
所以绳的拉力为.
考试三：余弦定理、正弦定理
例1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．sin(B+C)=sinA
B．cos(B+C)=cosA
C．若，则为直角三角形
D．若，则为锐角三角形
【答案】AC
【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答.
【详解】依题意，中，，，A正确；
，B不正确；
因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；
因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确.
故选：AC

例2．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=acosB+bcosA，b=2，则△ABC的面积的最大值是___________.
【答案】
【分析】由余弦定理得出，，由基本不等式得出，最后由三角形面积公式得出面积的最大值.
【详解】因为2ccosB=acosB+bcosA，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，，由，b=2，得出，所以（当且仅当时，取等号），即，故，故△ABC的面积的最大值是.
故答案为：

例3．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.

（1）求角C；
（2）求边c.
【答案】（1）C=45°（2）
【分析】（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；
（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.
（1）解：在△ABC中，因为A=60°，B=75°，所以角；
（2）解：在△ABC中，因为a=6，A=60°，又由（1）知C=45°，
所以由正弦定理有，即，解得.
例4．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA，若a=4，b+c=6，且b2 B．0