专题06 抛物线及其标准方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题06 抛物线及其标准方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共12页。
专题06 抛物线及其标准方程

要点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【方法技巧】
(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
例如，到点F(0,1)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y＋1＝0，轨迹是一条直线．
要点二　抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程

y2＝2px(p>0)

F

x＝－



y2＝－2px(p>0)

F
x＝



x2＝2py(p>0)

F

y＝－


x2＝－2py(p>0)

F

y＝

【方法技巧】
1.只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．
2．标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
3．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　　)
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)
(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．(　　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）√（4）√
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.故选C.
3．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　)
A．y＝ B．y＝－1 C．x＝－ D．x＝
【答案】C
【解析】由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.故选C.
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
【答案】±4
【解析】由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.


题型一　求抛物线的标准方程
探究1　直接法求抛物线方程
【例1】(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)准线方程为y＝的抛物线的标准方程是________.
【答案】(1)C (2)x2＝－y
【解析】(1)由已知得＝3，p＝6.∴抛物线的标准方程是x2＝±12y.
(2)由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是x2＝－y.
【方法技巧】
在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程．
探究2　待定系数法求抛物线方程
【例2】　(1)顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－4x B．x2＝4y C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为________.
【答案】(1)C　(2)x2＝10y或x2＝－10y
【解析】(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
【方法技巧】
根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类：(1)焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以设为y2＝mx(m≠0)，m>0时焦点在x轴的正半轴上，m0时焦点在y轴的正半轴上，m0，
则|PC|＝x＋5，
∴点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，x0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
【答案】
【解析】根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
9．根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点到准线的距离是5；
(2) 准线与直线x=1的距离为3. 
【解析】设所求抛物线方程为y2=mx，
当m>0时,准线方程为x=-=-2,所以m=8,此时抛物线方程为y2=8x,当m